第四節(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

法那么及其應(yīng)用一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么二、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題三、一階微分的形式不變性四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、對數(shù)求導(dǎo)法六、參數(shù)形式的函數(shù)的求導(dǎo)公式1整理ppt一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么而函數(shù)在處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)定理4.4.1(復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

)設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，在可導(dǎo)，且有:即

證明：由在可導(dǎo)也即可微2整理ppt又由在可導(dǎo)，因此

而

于是

令則3整理ppt復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么可以寫成:即因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo)，我們稱它為鏈?zhǔn)椒敲?

復(fù)合函數(shù)的微分公式為:4整理ppt解:例4.4.1推廣5整理ppt解:例4.4.2例4.4.3解:6整理ppt二、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式7整理ppt2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么設(shè)u=u(x),v=v(x)可導(dǎo)，則8整理ppt3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么利用上述公式及法那么初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).例4.4.4解:9整理ppt設(shè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)（1）若x是自變量時，三、一階微分的形式不變性〔2〕假設(shè)x是中間變量時，即是另一變量t的可微函數(shù)則.10整理ppt結(jié)論：不論x是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是.例4.4.5設(shè),求.解:例4.4.6設(shè)，求.11整理ppt四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:定義4.4.1由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?12整理ppt隱函數(shù)求導(dǎo)法那么:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對方程兩邊求導(dǎo),或利用一階微分的形式不變性對方程兩邊求微分.例4.4.7的導(dǎo)數(shù).解:法一、方程兩邊對x求導(dǎo)(注:y看成x的函數(shù))求由方程確定的隱函數(shù)13整理ppt法二、方程兩邊同時求微分例4.4.8設(shè)曲線C的方程為，14整理ppt求過C上點(diǎn)的切線方程，并證明曲線C在該點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).解:所求切線方程為的法線通過原點(diǎn).15整理ppt五、對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:例4.4.9解:等式兩邊取對數(shù)得16整理ppt例4.4.10解:等式兩邊取對數(shù)得17整理ppt六、參數(shù)形式的函數(shù)的求導(dǎo)公式定義4.4.2若參數(shù)方程確定x與y間的函數(shù)關(guān)系，稱此為參數(shù)形式的函數(shù).例如消去參數(shù)18整理ppt問題:消參困難或無法消參的如何求導(dǎo)？在方程中，設(shè)和在即

在上嚴(yán)格單調(diào)且，上可導(dǎo),上存在反函數(shù)

由反函數(shù)求導(dǎo)法則，在由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么:從而且成立19整理ppt也可以直接求微分兩邊相除，得例4.4.11求擺線在處的切線方程.解:20整理ppt

所求切線方程為21整理ppt七.小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么初等函數(shù)的求導(dǎo)問題一階微分的形式不變性隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)形式的函數(shù)的求導(dǎo)公