2023-2024學年湖北省小池濱江高級中學數學高二上期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題，則為A. B.C. D.2．已知點是拋物線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為（）A. B.C. D.3．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.4．圓錐曲線具有豐富的光學性質，從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．直線l：與橢圓C：相切于點P，橢圓C的焦點為，，由光學性質知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內切球的表面積為A.B.C.D.6．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.88．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.9．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.210．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，為一條漸近線上的一點，且，則的面積為（）A. B.C. D.111．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，各層球數之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數列．現有一個高階等差數列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，則該數列的第8項為（）A.51 B.68C.106 D.15712．已知是兩個數1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數極值點的個數是______14．在等比數列中，已知，則________15．如圖的形狀出現存南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設從上至下各層球數構成一個數列則___________.（填數字）16．已知函數是函數的導函數,,對任意實數都有,則不等式的解集為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經過定點18．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積20．（12分）已知數列通項公式為：，其中．記為數列的前項和（1）求，；（2）數列的通項公式為，求的前項和21．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值22．（10分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，且，為的中點（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應該為，即本題的正確選項為C.2、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設點的坐標為，有，由圓的圓心坐標為，是拋物線的焦點坐標，有，由圓的幾何性質可得，又由，可得的最小值為故選：C.3、D【解析】根據向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D4、A【解析】先求得點坐標，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A5、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，根據等積法求出幾何體內切球的半徑，再計算內切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示：設三棱錐內切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內切球的表面積為故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內切球表面積的應用問題，屬于中檔題6、B【解析】根據傾斜角和斜率的關系，確定正確選項.【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數.由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關系，屬于基礎題.7、D【解析】根據雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據余弦定理：，即，解得：，所以故選：D8、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.9、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B10、A【解析】先表示出漸近線方程，設出點坐標，利用，解出點坐標，再按照面積公式求解即可.【詳解】由題意知，雙曲線漸近線方程為，不妨設在上，設，由得，解得，的面積為.故選：A.11、C【解析】對高階等差數列按其定義逐一進行構造數列，直到出現一般等差數列為止，再根據其遞推關系進行求解.【詳解】現有一個高階等差數列，其前6項分別為1，3，6，12，23，41，各項與前一項之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數列，所以，故選：C12、A【解析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】通過導數判斷函數的單調性即可得極值點的情況.【詳解】因為，，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以函數的極值點的個數是0，故答案為：0.14、2【解析】由等比數列的相關性質進行求解.【詳解】由等比數列的相關性質得：故答案為：215、【解析】根據題中給出的圖形，結合題意找到各層球的數列與層數的關系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：16、【解析】令則，∴在R上是減函數又等價于∴故不等式的解集是答案：點睛：本題考查用構造函數的方法解不等式，即通過構造合適的函數，利用函數的單調性求得不等式的解集，解題時要注意常見的函數類型，如在本題中由于涉及到，故可從以下兩種情況入手解決：（1）對于，可構造函數；（2）對于，可構造函數三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設直線BP的方程為，設，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關系，代入韋達定理的結論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設直線BP的方程為，設，，則，聯立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點18、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據已知條件設出、所在直線方程，然后與橢圓聯立方程，分別表示出根與系數的關系，再表示出弦長關系，再計算點到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關系，將等量關系帶入到利用跟與系數關系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標準方程為，【小問2詳解】設：，①橢圓.②聯立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉化為證明AB⊥平面PAC，然后結合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結合已知先確定點M位置，然后轉化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以20、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數列是以為周期的周期數列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯位相減法可求得結果.【小問1詳解】當時，；當時，；當時，；數列是以為周期的周期數列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.21、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計算AC，再證明即可推理作答.(2)以點A為原點，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標系，用向量數量積計算兩平面夾角余弦值，進而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點A為原點，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，，，設平面的一個法向量，則，令，得，而，于是得點C到平面BEF的距離，所以點C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知，，設平面的一個法向量，則，令，得，，設平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算22、（1）（2）存在，點為線段的靠近點的三等分點【解析】（1）根據題意證得平面，進而證得平面，得到平面，以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解；（2）設點，求得平面的法向量為，結合向量的距離公式列出