高二優(yōu)秀生數(shù)學(xué)培訓(xùn)材料作為優(yōu)秀生應(yīng)該是一面旗幟，一種品牌，無論在班級或年級中都應(yīng)該起到引領(lǐng)全體學(xué)生的作用，優(yōu)秀生應(yīng)具備以下素質(zhì)：1、嚴密的復(fù)習(xí)計劃和超前的學(xué)習(xí)意識；扎實的基礎(chǔ)知識、超常的數(shù)學(xué)思維、超強的計算能力。2、良好的行為習(xí)慣、嚴謹?shù)纳钭黠L(fēng)；和諧的人際關(guān)系和靈活的處事能力以及強烈的團隊精神和合作意識。3、刻苦鉆研、不甘落后、永不服輸、迎難而上的拼搏精神；過硬的心理素質(zhì)、堅韌不拔的毅力和堅持不懈的恒心。4、高效的學(xué)習(xí)方法，善于積累，善于反思，善于總結(jié)，不恥下問，自主學(xué)習(xí)，自我測查。第一部分基本不等式………01第二部分不等式的解法……07第三部分柯西不等式………11第四部分不等式恒成立、能成立、恰成立問題………………13第五部分線性規(guī)劃常見題型及解法…………15第六部分三角形中的最值問題………………17第七部分立體幾何中的最值問題……………24第八部分圓錐曲線中的最值問題……………30

第一部分基本不等式不等式的性質(zhì)：1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；4．若，，則；若，，則。練習(xí)（1）對于實數(shù)中，給出下列命題：①；②；=3\*GB3③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（2）已知，，則的取值范圍是______（3）已知，且則的取值范圍是______二．不等式大小比較的常用方法：1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2．作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函數(shù)的單調(diào)性；7．尋找中間量或放縮法；8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。練習(xí)（1）設(shè)，比較的大小（2）設(shè)，，，試比較的大小（3）比較1+與的大小三．重要不等式1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）;若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用．3+b3+c3≥3abc（a,b,cR+）,EQ\F(a+b+c,3)≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）；6.EQ\F(1,n)(a1+a2+……+an)≥(aiR+,i=1,2,…，n)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an取等號；變式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca;ab≤(EQ\F(a+b,2))2(a,bR+);abc≤(EQ\F(a+b+c,3))3(a,b,cR+)a≤EQ\F(2ab,a+b)≤EQ\R(ab)≤EQ\F(a+b,2)≤EQ\R(EQ\F(a2+b2,2))≤b.(0<a≤b)7.濃度不等式：EQ\F(b－n,a－n)<EQ\F(b,a)<EQ\F(b+m,a+m),a>b>n>0,m>0;練習(xí)（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，則的最小值是______；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為______應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)解題技巧：技巧一：湊項例1：已知，求函數(shù)的最大值。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)時，求的最大值。技巧三：分離例3.求的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：1.求函數(shù)的值域。2．已知，求函數(shù)的最大值.；3．，求函數(shù)的最大值.條件求最值，則的最小值是.分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，變式：若，求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。2：已知，且，求的最小值。技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1．已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、c，且。求證：應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是.

第二部分不等式的解法1.一元一次不等式的解法。3.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。（1）解不等式。；（2）不等式的解集是____；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是______.4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如（1）解不等式；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為____________.5.指數(shù)和對數(shù)不等式。6．絕對值不等式的解法：（1）含絕對值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|(zhì)ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1：解下列不等式：例2：解不等式：例3：。

7．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若，則的取值范圍是__________；（2）解不等式提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)，不共線時，|+|≤||+||，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在側(cè)“=”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“=”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右側(cè)“=”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“=”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|。定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)時，等號成立。例1.已知，，，求證.例2.(1)求函數(shù)的最大和最小值；(2)設(shè)，函數(shù).若，求的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？

第三部分柯西不等式柯西不等式等號當(dāng)且僅當(dāng)或時成立（k為常數(shù)，）類型一：利用柯西不等式求最值

1．求函數(shù)的最大值

一：∵且，∴函數(shù)的定義域為，且，

即時函數(shù)取最大值，最大值為

二：∵且，∴函數(shù)的定義域為

由，

得即，解得

∴時函數(shù)取最大值，最大值為.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解

類型二：利用柯西不等式證明不等式

2．設(shè)、、為正數(shù)且各不相等，求證：

又、、各不相等，故等號不能成立

∴。

類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用

6．△ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證：

證明：由三角形中的正弦定理得，所以，

同理，

于是左邊=

。

證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證：；(2)已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。

第四部分不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）設(shè)實數(shù)滿足，當(dāng)時，的取值范圍是______（2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_____（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_____（4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____（5）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.=6\*GB2⑹若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是此題直接求解無從著手，結(jié)合函數(shù)易知，a只需滿足條件：0＜a＜1，且從而解得2).能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍____3).恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為.例：若不等變恰有一解，求實數(shù)a的值

第五部分線性規(guī)劃常見題型及解法一、求線性目標函數(shù)的取值范圍若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]二、求可行域的面積例2、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）A、4B、1C、5D、無窮大三、求可行域中整點個數(shù)例3、滿足|x|＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱坐標都是整數(shù)）有（）A、9個B、10個C、13個D、14個四、求線性目標函數(shù)中參數(shù)的取值范圍例4、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為（）A、－3B、3C、－1D、1五、求非線性目標函數(shù)的最值例5、已知x、y滿足以下約束條件，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區(qū)域包含點（0,0）和（－1,1），則m的取值范圍是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）七·比值問題當(dāng)目標函數(shù)形如時,可把z看作是動點與定點連線的斜率，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。例已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al(x－y＋2≤0，,x≥1，,x＋y－7≤0，))則eq\f(y,x)的取值范圍是（）.（A）[eq\f(9,5)，6]（B）（－∞，eq\f(9,5)]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]

第六部分三角形中的最值問題填空題1.若的內(nèi)角滿足，則的最小值是.2.滿足條件，的三角形的面積的最大值是．3.已知等腰三角形上的中線長為，則該三角形的面積的最大值是.4.已知中，邊上的高與邊的長相等，則的最大值為.5.在銳角三角形中，若，則的最小值是.6.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為.7.在中，已知，，則面積的最大值是.8.在面積為2的中，，分別是，的中點，點在直線上，則的最小值是.9.在△ABC中，角所對的邊分別為，若且，則面積的最大值為.10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則cosC的最小值為.11.若直角三角形的周長為1，則其面積的最大值為.12.在△ABC中，，，則最小內(nèi)角的最大值為.13.在△ABC中，角所對的邊分別為，且，，則面積的最大值為.14.在△ABC中，角所對的邊分別為，若，則的最小值為.15.在△ABC中，，，則的最大值為.16.已知中，，，則面積的最大值為.17.在中，，，則的最小值為.18.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若bcosC＋ccosB＝csinA，則eq\s\do1(\f(a＋b,c))的最大值為．1的內(nèi)角滿足，則當(dāng)取最大值時，角大小.20.已知的三邊成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.21.若點為的重心，且，則的最大值為.二、解答題中，，設(shè)S為的面積，滿足。（1）求角C的大小；（2）求的最大值。2.在中，，且滿足求角C的大小；求的最大值，并求取得最大值時角A，B的大小。中，，AC=3，求AB+2BC的最大值。4.中，，設(shè)向量，，若平行于。（1）求角B的大小；（2）求的最大值。5.已知函數(shù)，A為中的最小內(nèi)角，且滿足。（1）求角A的大小；（2）若BC邊上的中線長為3，求的最大值。中，，已知（1）求B；（2）若b=2,求的最大值。7.在中，。（1）若成等差數(shù)列，證明sinA+sinC=2sin(A+C);（2）若成等比數(shù)列，求cosB的最小值。（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）在銳角中，，若=0，a=1，求的最大值。中，（1）求角B的大小；（2）的最大值。10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（Ⅰ）證明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值．11．在中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的最大值。中，的一個根。（1）求角C；（2）當(dāng)a+b=10時，求周長的最小值。13.已知圓O的半徑為R，它的內(nèi)接三角形中，成立，求的最大值。。（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，,若=1，，求的最大值。中，c=4,,求的最大值。

第七部分立體幾何中的最值問題立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關(guān)系，與空間圖形有關(guān)的線段、角、體積等最值問題常常在試題中出現(xiàn)。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。一、運用變量的相對性求最值例1.在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面邊長為，點P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點的最短距離為（）A. B. C.2 D.1二、定性分析法求最值例2.已知平面α//平面β，AB和CD是夾在平面α、β之間的兩條線段。AB⊥CD，AB=3，直線AB與平面α成30°角，則線段CD的長的最小值為______。三、展成平面求最值例3.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（）A.2a B.2b C.2c D.a+b+c圖3-1四、利用向量求最值例4.在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_______。

一、線段長度最短或截面周長最小問題例1.正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長均為2，M為AA1例2.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=（1）求MN的長；（2）當(dāng)為何值時，MN的長最小；（3）當(dāng)MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

例3.如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為。點M在AC上，點N在BF上，若AM=FN,(1)求證:MN//面BCE;(2)求證:MNAB;(3)求MN的最小值.例4.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=x,BN=y,（1）求MN的長(用x,y表示)；（2）求MN長的最小值，該最小值是否是異面直線AC，BF之間的距離。

例5.如圖，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜邊AB上的點，以CD為棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎樣的位置時，AB為最小，最小值是多少?例6.正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.評析把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點間距離的問題，從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體，其中任何一個面都可以做為底面，因而它可有四個底面和與之對應(yīng)的四條高，在解決有關(guān)三棱錐體積題時，需要靈活運用這個性質(zhì).二、面積最值問題例7.如圖1所示，邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形簡易遮陽棚，其A、B是地面上南北方向兩個定點，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，試問：遮陽棚ABC與地面成多大角度時，才能保證所遮影面ABD面積最大?例8.在三棱錐A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是邊長為a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，問φ為何值時，三棱錐的全面積最大。例9、一個圓錐軸截面的頂角為1200，母線為1，過頂點作圓錐的截面中，最大截面面積為。例10、圓柱軸截面的周長L為定值，求圓柱側(cè)面積的最大值。AABCDD1A1C1B1EFG例11、在棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，若G、E分別是BB1、C1D1的中點，點F是正方形ADD1A1的中心。則四邊形BGEF在正方體側(cè)面及底面共6個面內(nèi)的射影圖形面積的最大值是三、體積最值問題例12.如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點對球的直徑所張的角等于90°，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).四、角度最值問題。例13.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一動點，平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為α、β，試求α+β

第八部分巧用不等關(guān)系解圓錐曲線的最值與范圍問題解析幾何中的最值與范圍問題一直是高考熱點之一，由于教材對這些問題沒有作專門介紹，因此也成了高中數(shù)學(xué)的難點之一。范圍與最值的確定，其背景多依賴于一個不等關(guān)系，解題的關(guān)鍵就在于如何依據(jù)解析幾何本身的特點，建立起這一不等關(guān)系。一、結(jié)合定義，利用圖形中的幾何量之間的大小關(guān)系MB