基本不等式●考試目標(biāo)主詞填空1．若a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2．設(shè)a,b∈R+,則稱為a,b的算術(shù)平均值；稱為a,b的幾何平均值.3．平均值不等式的原形與變形①≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))為原形.②變形有:a+b≥；ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).4．利用平均值不等式求最大最小值，是對(duì)“能取等號(hào)”而言的.要注意不能取等號(hào)的情況.5．最值定理如果a,b∈R+,a·b=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值.●題型示例點(diǎn)津歸納【例1】設(shè)x∈［2,5),求下列函數(shù)的最值.(1)y=(3+2x)·(6-x);(2)y=(3+2x)·(4-x);(3)y=4x-9·2x+1+80;(4)y=.【解前點(diǎn)津】(1)因3+2x=12-2x時(shí),x=∈［2,5］,故可直接應(yīng)用平均值不等式;(2)因3+2x=8-2x時(shí),x=但［2,5］故不能使用平均值不等式;(3)可分解為y=(2x-8)·(2x-10);(4)因方程無根,故不能使用平均值不等式，而考慮其“單調(diào)性”.【規(guī)范解答】(1)y=(3+2x)·(6-x)=·(3+2x)·(12-2x)≤×［(3+2x)+(12-2x)］2=,當(dāng)且僅當(dāng)3+2x=12-2x,即x=時(shí),ymax=,又∵x=2時(shí),y=28;x=5時(shí),y=13<28,故函數(shù)只有最大值,而沒有最小值.(2)因y=(3+2x)·(4-x)=-2x2+5x+12,其對(duì)稱軸為x=,故函數(shù)在［2,5)上單調(diào)減;當(dāng)x=2時(shí),ymax=(3+4)·(4-2)=14,函數(shù)沒有最小值.(3)分解因式得:y=(2x-8)·(2x-10)=-(2x-8)·(10-2x)≥-=-1,故ymin=-1,又當(dāng)x=2時(shí),y=(4-8)·(4-10)=24,當(dāng)x=5時(shí),y=(32-8)·(32-10)=528.故當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有最小值-1,而函數(shù)沒有最大值(x=5［2,5］］.(4)易證函數(shù)在［2,5］上單調(diào)增,故當(dāng)x=2時(shí),ymin=,又因5［2,5］,故函數(shù)沒有最大值.【解后歸納】利用平均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)考慮諸項(xiàng)條件是否齊備，對(duì)兩個(gè)正數(shù)而言:和定→相等時(shí)→積最大;積定→相等時(shí)→和最小.在求函數(shù)的最值時(shí)，若不能使用平均值不等式，則可以考察函數(shù)的單調(diào)性.【例2】一開發(fā)商在某處想圈一塊周長為L的地皮，這塊地皮既可以為長方形，也可以為圓形，欲使其面積最大，應(yīng)確定為何種圖形?何種尺寸?【解前點(diǎn)津】設(shè)長方形的一邊之長為x,則鄰邊之長為-x,則可先確定x·(-x)的最大值.【規(guī)范解答】若確定為圓形，則面積為π2=;若確定為長方形，則不妨設(shè)其面積為S,一邊之長為x,則鄰邊之長為-x,故S=x·(-x)≤L2.當(dāng)且僅當(dāng)x=-x即x=時(shí)取等號(hào).∵πL2-L2=L2>0,∴應(yīng)確定為圓形地皮.【解后歸納】在一切封閉平面圖形中，若周長一定，則只有圓的面積最大.【例3】若正數(shù)a、b滿足ab≥a+b+3,試求a+b的取值范圍.【解前點(diǎn)津】設(shè)a+b=x,利用平均值不等式，可推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于x的不等式.【規(guī)范解答】設(shè)a+b=x,則x>0,ab≥x+3,又ab≤=，故由不等式的傳遞性得≥x+3,解之x≥6,故a+b的取值范圍是［6,+∞］.【解后歸納】求某表達(dá)式的取值范圍，常可使用“換元法”，從而達(dá)到等價(jià)轉(zhuǎn)化的目的.【例4】已知:x、y、z∈R+,且滿足x+y+z=1,求的取值范圍.【解前點(diǎn)津】不具備用平均值不等式的條件，但是+mx,(m>0),則可用等價(jià)變形，構(gòu)造使用平均值不等式的條件可求范圍.【規(guī)范解答】∵x+y+z=1,引入?yún)?shù)m>0,∴mx+my+mz=m=(+mx)+(-m≥2+4+6-m=12-m.當(dāng)且僅當(dāng)=mx且=my且=mz,即x=且y=且z=時(shí)取等號(hào).代入x+y+z=1得:++=1.解之m=36.∴12-m=12-36=36.綜上所述可知:的取值范圍是［36,+∞).【解后歸納】為了使用平均值不等式，可引入一個(gè)參數(shù)，構(gòu)造一個(gè)含有參數(shù)的不等式，它能運(yùn)用平均值不等式，使運(yùn)算能進(jìn)行下去，最后，依據(jù)相等的條件，可解出參數(shù)的值.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.已知x,y∈R,且2x2+y2-4x≤0,則()A.y2>4xB.y2<4xC.y2≥4xD.y2≤4x2.已知三個(gè)不等式:ab>0,-,bc>ad,以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，可以組成正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3３.對(duì)于x∈［0,1］的一切值，則a+2b>0是使ax+b>0恒成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件４.某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x,則有()A.x=(a+b)B.x≤(a+b)C.x>(a+b)D.x≥(a+b)５.若不等式x+2≤a(x+y)對(duì)一切正數(shù)x,y恒成立，則正數(shù)a的最小值為()A.1B.2C.D.2+1６.建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為180元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為()元.A.1000B.1500C.2000D.2500７.設(shè)x,y是滿足2x+y=20的正數(shù),則lgx+lgy的最大值是()A.50B.2C.1+lg5D.18.已知正數(shù)a,b滿足ab=a+b+5,則ab的取值范圍是()A.［7+,+)B.［7-,+∞)C.［7+2,+∞)D.［7-2,+∞)二、思維激活9.點(diǎn)P(x,y)是直線x+3y-2=0上的動(dòng)點(diǎn),則代數(shù)式3x+27y的最小值是.10.如果|x|≤,則函數(shù)f(x)=cos2x+sinx的最大值是.11.如果圓柱軸截面的周長L的定值，則圓柱體積的最大值為.12.某廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為P1，第三年比第二年增長的百分率為P2，第四年比第三年增長的百分率為P3，若P1+P2+P3為定值，則年平均增長率的百分率P的最大值為.三、能力提高13.已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=的最小值.14.求函數(shù)y=(x>-1)的值域.15.已知:a>b>0,求的最小值.16.甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度v(千米／時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時(shí))的函數(shù)，并指出該函數(shù)的定義域;(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛.第2課基本不等式習(xí)題解答1.D因2x2≤4x-y2成立,故必有4x-y2≥0即y2≤4x.2.D可逐一檢驗(yàn).３.B由條件,x=0時(shí),b>0,x=1時(shí),a+b>0a+2b>0.４.B由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+)2.５.B由條件:2≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay≥2,令2=2,a(a-1)=2,∴a=2.６.C設(shè)池底的一邊長為xm,總造價(jià)為y元,則池底的鄰邊之長為m,由條件得:y=180·x·+80·2(2x+)=720+320(x+)≥720+320·2·=2000.7.Clgx+lgy=lgxy=lgx·(20-2x)=lg［2·x·(10-x)］≤lg［2·=lg50=1+lg5.8.C由ab=a+b+5≥2+5,得()2-2≥5(-1)2≥6ab≥7+2.9.3x+27y=32-3y+33y≥2=6,,故最小值為6.10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)≤1+()2=.11.因4R+2h=L為定值,故V柱=πR2·h=π·(2R)·(2R)·(2h)·≤·=·()3=πL3為所求最大值.12.由題意:(1+P1)·(1+P2)·(1+P3)=(1+x)3,∴(1+x)3≤,∴x≤(P1+P2+P3),故P的最大值為(P1+P2+P3).13.∵2b+ab+a=30,∴30≥ab+2·,∴-5≤≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí),取等號(hào),解方程組得a=6且b=3ymin=.14.∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,則m>0且y=≥2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)取等號(hào),故ymin=9.又當(dāng)m→∞時(shí),y→∞,故原函數(shù)的值域是［9,+∞).15.∵a>b>0,∴a-b>0,故.而b·(a-b)=≤=(當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b即2b=a時(shí)取等號(hào)).故b·(a-b)有最大值.故原式=a2+≥a2+≥2=56.(當(dāng)且僅當(dāng)a2=,2b=a,即a=2時(shí)取等號(hào)).故原式的最小值為56.16.(1)由條件知:汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為s／v,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv),故所求函數(shù)及定義域?yàn)?y=s·(+bv),v∈(0,c).(2)因s、a、b、v都為正數(shù)，故有s·(+bv)≥2