第三篇Electromagneticfield電磁場穩(wěn)恒磁場第六章Themagneticfield1§6-1磁現(xiàn)象的電本質(zhì)磁場

1.基本磁現(xiàn)象早期磁現(xiàn)象：磁鐵磁鐵間的相互作用。

(1)人造磁鐵、天然磁鐵有吸引鐵、鈷、鎳的性質(zhì)—磁性。(2)磁鐵有兩個極：N，S。(3)磁極間存在相互作用力：同極相斥，異極相吸。在歷史上很長一段時期里,人們曾認(rèn)為磁和電是兩類截然不同的現(xiàn)象。INS

1819年,奧斯特實驗首次發(fā)現(xiàn)了電流與磁鐵間有力的作用(見圖9-1),才逐漸揭開了磁現(xiàn)象與電現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系。2

磁鐵對載流導(dǎo)線也有力的作用；磁鐵對運動電荷也有力的作用；電流與電流之間也有力的相互作用。1882年,安培對這些實驗事實進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了物質(zhì)磁性本質(zhì)的假說：

物質(zhì)間的磁力相互作用是以什么方式進(jìn)行的呢?近代的理論和實驗都表明,物質(zhì)間的磁力作用是通過磁場傳遞的。即磁場和電場一樣,也是物質(zhì)存在的一種形式。運動電荷

磁場

運動電荷

奧斯特實驗證明電流對磁鐵有力的作用。同時，人們還發(fā)現(xiàn)：一切磁現(xiàn)象都起源于電荷的運動(電流)。3

式中N為線圈的匝數(shù)，S為線圈包圍的面積，為載流線圈平面正法線方向的單位矢量。n

試驗線圈(電流、尺寸都很小的載流線圈)的磁矩定義為：

將試驗線圈置于磁場中一點，不管怎樣轉(zhuǎn)動，它處于平衡時，正法線總是指向一個確定的方向，這說明磁場是矢量場。我們規(guī)定：2.磁感應(yīng)強(qiáng)度B

試驗線圈處于平衡時，線圈正法線指示的方向即為該點磁場(B)的方向。Pm=NISnsIn4

定義:磁場中某點磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小等于試驗線圈所受的最大磁力矩與線圈磁矩之比。即§6-2磁通量

磁場的高斯定理1.磁感應(yīng)線(磁力線)

為了形象地描述磁場,可仿照電場中引入電力線的方法引入磁感應(yīng)線(也稱磁力線)。

磁力線上每一點的切線方向與該點的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向一致。通過某點垂直于磁場方向的單位面積上的磁力線條數(shù)等于該點B的大小。5

磁力線有以下特點:

(1)磁力線是無頭無尾的閉合曲線(或兩端伸向無窮遠(yuǎn)處)。所以磁場是渦旋場。(2)磁力線與載流電路互相套合(即每條磁力線都圍繞著載流導(dǎo)線)。(3)任兩條磁力線都不相交。圖6-36

磁場中,通過一給定曲面的磁力線數(shù)目,稱為通過該曲面的磁通量。2.磁通量

磁通量是標(biāo)量，其正負(fù)由角

確定。與電場中一樣，對閉合曲面來說,我們規(guī)定取向外的方向為法線的正方向。這樣：磁力線從封閉面內(nèi)穿出時，磁通量為正；

磁力線從封閉面外穿入時，磁通量為負(fù)。通過勻強(qiáng)磁場中面積為S的平面的磁通量應(yīng)為類似于電通量，通過任一曲面S的磁通量為7

由于磁力線是閉合曲線，因此通過任一閉合曲面磁通量的代數(shù)和(凈通量)必為零,亦即3.磁場的高斯定理上式與靜電學(xué)中的高斯定理很相似,稱為磁場的高斯定理。但兩者卻有本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場中,由于自然界有單獨存在的正、負(fù)電荷,因此通過一閉合曲面的電通量可以不為零,這反映了靜電場的有源性。而在磁場中,磁力線的連續(xù)性表明,像正、負(fù)電荷那樣的磁單極是不存在的,磁場是無源場。在國際單位制中,磁通量的單位為韋伯(wb)。8

將半球面和圓面組成一個閉合面，則由磁場的高斯定理知，通過此閉合面的磁通量為零。-Br2cos

這就是說，通過半球面和通過圓面的磁通量數(shù)值相等而符號相反。于是通過半球面的磁通量就可以通過圓面來計算：。

例題6-1在勻強(qiáng)磁場B中，有一半徑為r的半球面S,S邊線所在平面的法線方向的單位矢量n和B的夾角為

,如圖所示，則通過半球面S的磁通量為nS

B9

真空中，電流元Idl

在P點產(chǎn)生的磁場為§6-3畢奧-薩伐爾定律

！上式稱為畢奧-薩伐爾定律，它是一條實驗規(guī)律。

1.公式中的系數(shù)是SI制要求的。真空的磁導(dǎo)率：o=410-72.r是電流元Idl

到P點的距離。

rP

r是從電流元Idl指向P點的單位矢量。10大小：Idl=電流I線元長度dl。方向：電流I的方向；4.磁場的大小：

方向：由右手螺旋法則確定(見圖)。3.電流元Idl

是線元。

是Idl與r之間的夾角。BrP

B11

5.對載流導(dǎo)體，按照磁場疊加原理,可分為若干個電流元，然后用畢-薩定律積分：應(yīng)當(dāng)注意：上面的積分是求矢量和。6.磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位是特斯拉(T)，1T=104Gs。12例題6-2

求直線電流的磁場。

解選坐標(biāo)如圖,

方向：垂直紙面向里(且所有電流元在P點產(chǎn)生的磁場方向相同);所以直線電流在P點產(chǎn)生的磁場為電流元Idx在P點所產(chǎn)生的磁場為Pa.Ixox

Idxr13

由圖可以看出:

x=atg(-90)=-actg

完成積分得

1

2磁場方向:垂直紙面向里。Paxox

IdxrIBI14注意：1.上式中的a是直電流外一點P到直電流的垂直距離。2.

1和

2是直電流與(直電流端點與場點P的)連線的夾角。

應(yīng)取同一方位的角。

1

2Paxox

IdxrI15

討論:(1)對無限長直導(dǎo)線,IB

1

2Paxox

IdxrI

1=0,

2=

,則有16

(2)如果P點位于直導(dǎo)線上或其延長線上,

證：若P點位于直導(dǎo)線上或其延長線上，則=0或=，于是

1

2Paxox

IdxrI則P點的磁感應(yīng)強(qiáng)度必然為零。17

例題6-3直電流公式的應(yīng)用。(1)P點磁場:P點磁場：

AB：BC：

1

2IPaABCI

18(2)邊長為a的正方形中心O點:A點磁場：

1

1=45,

2=135a2

2

1

1=45,

2=90aI.o

2AaI19

(3)邊長為a的正三角形中心o點的磁場。

電流I經(jīng)三角形分流后,在中心o點產(chǎn)生的磁場為零。

CD段在三角形中心o點產(chǎn)生的磁場也為零。只有AB段在三角形中心o點產(chǎn)生磁場：IIoraABCD20

(4)在一半徑為R的無限長半圓筒形金屬薄片中，沿長度方向有電流I流過，且電流在橫截面上均勻分布。求半圓筒軸線上一點的磁場強(qiáng)度。

解

用長直導(dǎo)線公式積分。Bx=2Rsin

-IodBxy

Rd

21

例題6-4圓電流軸線上一點的磁場。

解由對稱性可知，P點的場強(qiáng)方向沿軸線向上。sin

有B=即RIxp

dBrIdldBB22在圓電流的圓心o處,因x=0,故得

由于各個電流元在圓心處產(chǎn)生的磁場方向相同，因此，如半圓弧圓心處的磁場：B=當(dāng)然，圓心之外這個結(jié)論就不正確了。

一段圓弧形電流在圓心處產(chǎn)生的磁場就是圓電流在圓心產(chǎn)生磁場乘以(圓弧弧長與圓周長之比)。RIxp

dBrIdldBB23例題6-5直電流和圓電流的組合。圓心o:Bo=方向：垂直紙面向外。方向：垂直紙面向里。oRIIabcdIRroIabcdef24

電流I經(jīng)圓環(huán)分流后,在中心o點產(chǎn)生的磁場為零。IIRoBCDAＩ1l1Ｉ2l2方向：垂直紙面向里。注:任何帶電旋轉(zhuǎn)體軸線上的磁場都可用環(huán)公式積分。25

例題6-6一均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為

,繞通過盤心且垂直于盤面的軸以

的角速度轉(zhuǎn)動，求盤心的磁場及圓盤的磁矩。解將圓盤分為若干個圓環(huán)積分。

帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電流強(qiáng)度為環(huán)上的電量盤心的磁場：.oR

q

Isrdr2r

o26線圈的磁矩:.oR

rdr方向：垂直紙面向里。Pm=NISn圓盤的磁矩:27

例題6-7一半徑為R的均勻帶電半圓弧，單位長度上的電量為

，繞其直徑所在的直線以角速度

勻速轉(zhuǎn)動，求圓心o處的磁場。

解半圓弧旋轉(zhuǎn)起來，象一個球面，可劃分為若干圓電流積分。

Ro

xro28注意到：r=Rsin

,

于是

Ro

d

xr建立如圖所示的坐標(biāo)系。29§6-4勻速運動點電荷的磁場

由畢—薩定律，電流元Idl在P點產(chǎn)生的磁場為I=qn

ds

設(shè)電流元Idl的橫截面積為ds，導(dǎo)體單位體積內(nèi)有n個帶電粒子,每個粒子帶有電量q，以速度

沿Idl的方向作勻速運動，則

Idl=qn

dsdl=q

.ndsdl

在電流元Idl內(nèi)運動的帶電粒子數(shù)為:dN=ndsdl。rPIdldsI一個運動電荷產(chǎn)生的磁場=30

例題6-8一電子以速度

=1.0×107m/s作直線運動,求該電子在與它相距r=10-9m的一點處產(chǎn)生的最大磁感應(yīng)強(qiáng)度。解

由式(9-13)可知，磁場的最大值為于是一個運動電荷產(chǎn)生的磁場就是:Irp31§6-5安培環(huán)路定理

真空中,安培環(huán)路定理的數(shù)學(xué)表示式如下：

1.I內(nèi)—是閉合路徑l所包圍的電流的代數(shù)和。

這就是說，B的環(huán)流完全由閉合路徑l所包圍的電流確定，而與未包圍的電流無關(guān)。包圍—以閉合路徑l為邊界的任一曲面上流過的電流。

電流的正負(fù)規(guī)律是:當(dāng)閉合路徑l的方向與電流方向呈右手螺旋關(guān)系時，電流I就取正號;反之,取負(fù)號。這個定理的表述為：在真空中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任何閉合路徑l的線積分(亦稱B的環(huán)流)等于該閉合路徑l所包圍的電流強(qiáng)度的代數(shù)和的

o倍。32

即：右手拇指伸直,彎曲四指與閉合路徑l的方向一致時,拇指的指向即為電流的正方向。lI1I2I3lII333.適用條件：穩(wěn)恒電流(閉合電路)。

2.應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出,安培環(huán)路定理表達(dá)式中右端的I內(nèi)雖然只包括閉合路徑l所包圍的電流的代數(shù)和,但在式左端的B卻是空間所有電流(閉合路徑l內(nèi)外的電流)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。IIl34SI(圓面)0(曲面S)于是得B=0正確答案請見例題6-2。例如,對有限長直電流,P點磁場：rPI35

例題6-9設(shè)無限長圓柱體半徑為R,電流I沿軸線方向,并且在橫截面上是均勻分布的。求:(1)圓柱體內(nèi)外的磁場；(2)通過斜線面積的磁通量。

解(1)由對稱性可知，磁場方向為圓周切線方向，滿足右手螺旋關(guān)系。

I內(nèi)是以r為半徑的圓面上流過電流的代數(shù)和。旋轉(zhuǎn)對稱選半徑r的圓周為積分的閉合路徑，如圖9-26所示。

r是場點到軸線的距離;rBlIR由安培環(huán)路定理：36

設(shè)電流密度為J.r22r

o2r

oIrBlIR旋轉(zhuǎn)對稱37(2)通過斜線面積的磁通量:rBlIR2Rldrds38

例題6-10一長直圓柱體內(nèi)有一長直柱形空腔，兩軸線平行且相距a，柱體中的電流密度為J,求空腔中的磁場強(qiáng)度。

解空腔柱體的磁場可看作是兩個流有反向電流J的實心長直柱體的疊加。or1B1由上題計算結(jié)果可知：+=JJo′r2B2r1aoo

Jpr2B1B239空腔中的場強(qiáng):

可見，空腔中的磁場是一個勻強(qiáng)磁場：大小：

方向：y軸正方向(即垂直于連心線oo′)。r1aoo

Jpr2B1B2

1

2r1r2oo′axyB2B1

1

240

例題6-11一半徑為a的長直圓柱體和一內(nèi)外半徑分別為b和c(a<b<c)的同軸長直圓筒通有等值反向電流I(電流在橫截面內(nèi)是均勻分布的)，如圖所示，求空間的磁場分布。

解由安培環(huán)路定理：2r

oJ.r2I2r

o旋轉(zhuǎn)對稱××××I···bcaoI41

解

由對稱性知,與螺線環(huán)共軸的圓周上各點磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等,方向沿圓周為切線方向。

例題6-12求載流螺線環(huán)的磁場分布。設(shè)螺線環(huán)環(huán)上均勻密繞N匝線圈,線圈中通有電流I,如圖所示。

Iro由安培環(huán)路定理：l2r

o在環(huán)管內(nèi):B=NI42

對于管外任一點,過該點作一與螺線環(huán)同軸的圓周l1或l2為閉合路徑，

Il1l2

由于這時I內(nèi)=0，所以有B=0(在螺線環(huán)外)可見，螺線環(huán)的磁場集中在環(huán)內(nèi)，環(huán)外無磁場。43

對載流長直密繞螺線管，若線圈中通有電流強(qiáng)度為I的電流,沿管長方向單位長度上的匝數(shù)為n，則由安培環(huán)路定理容易求得：管內(nèi)：管外：B=0可見，管內(nèi)是勻強(qiáng)磁場,而管外的磁場仍為零。BI44

例題6-13一均勻帶電的長直柱面，半徑為R，單位面積上的電量為

，以角速度

繞中心軸線轉(zhuǎn)動，如圖所示，求柱面內(nèi)外的磁場。

解旋轉(zhuǎn)的柱面形成圓電流，它和一個長直螺線管等效。

由長直螺線管的磁場可知，柱面外的磁場為零；而柱面內(nèi)的磁場為=

o×單位長度上的電流強(qiáng)度

45§6-6磁場對運動電荷及電流的作用

一個電荷q在磁場B中以速度

運動時，該電荷所受的磁場力(也稱為洛侖茲力)為1.洛侖茲力洛侖茲力的大小

f=q

Bsin

式中:

為電荷的運動方向與所在點磁場B的方向之間的夾角。洛侖茲力f的方向垂直于

和B組成的平面。若q>0,則f的方向與

B的方向相同;

若q<0,則f的方向與

B的方向相反。+q

fB

46

由于洛侖茲力的方向總是與電荷的運動方向垂直,所以洛侖茲力對運動電荷不作功。因此,洛侖茲力不能改變運動電荷速度的大小,只能改變速度的方向。(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動

因為洛侖茲力f=q

Bsin

=0，所以帶電粒子在磁場中作勻速直線運動。

帶電粒子作勻速率圓周運動。圓周運動的半徑和周期分別為

BB

^47

與B有一夾角

此時帶電粒子一方面以

⊥=

sin

在垂直于B的平面內(nèi)作圓周運動,同時又以

=cos沿磁場B的方向作勻速直線運動。

這兩種運動疊加的結(jié)果是粒子以B的方向為軸線作等螺距螺旋線運動(見圖)。

B

=cos^

=sin48螺距半徑周期

B

=cos^

=sin49磁聚焦示意圖

盡管在P點電子束中電子的速度各不相同,但周期相同，所以它們散開在磁場中沿各自的螺旋線繞行一周后,都又會重聚于同一點P′。這就是磁聚焦的基本原理。它已廣泛地應(yīng)用于電真空器件中,特別是電子顯微鏡中。50

因為端部的磁場設(shè)計得比中部的強(qiáng),帶電粒子運動到端部附近時,就像在一個瓶子的頸部一樣被收束得更細(xì),加上帶電粒子在非均勻磁場中所受的洛侖茲力總有一個指向磁場較弱方向的軸向分量,在這個分力的作用下,接近端部的帶電粒子就像光線遇到鏡面反射一樣,又沿一定的螺旋線向中部磁場較弱部分返回。這樣,高溫等離子體中的帶電粒子就被磁場約束在一定的區(qū)域內(nèi)來回運動而不能逃脫。這就是所謂的磁塞效應(yīng)和磁鏡效應(yīng)。磁約束

等粒子體的溫度高達(dá)幾千萬度，甚至上億度。51(2)霍耳效應(yīng)

1879年,霍耳(A.H.Hall)發(fā)現(xiàn)下述現(xiàn)象:在勻強(qiáng)磁場B中放一板狀金屬導(dǎo)體,使金屬板面與B的方向垂直,在金屬板中沿著與磁場B垂直的方向通以電流I,則在金屬板上下兩個表面之間就會出現(xiàn)橫向電勢差VH(見圖)。這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng),VH稱為霍耳電勢差。

bIBa上下兩個表面之間的電場用EH表示。產(chǎn)生霍耳效應(yīng)的原因：金屬中的自由電子受洛侖茲力的作用。VHfm

52

達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時，-eEH=-e

B即EH=

B

VH=EH.a=a

B

I=ne

ab

式中b是導(dǎo)體在磁場方向的厚度。霍耳效應(yīng)不只在金屬導(dǎo)體中產(chǎn)生,在半導(dǎo)體和導(dǎo)電流體(如等離子體)中也會產(chǎn)生。

得bIBaVHfm

539

金屬導(dǎo)體中形成電流的載流子是帶負(fù)電的自由電子；在N型半導(dǎo)體中的多數(shù)載流子仍是帶負(fù)電的電子，但在P型半導(dǎo)體中的多數(shù)載流子卻是帶正電的空穴。

通過對霍耳電勢差的實驗測定,可判定半導(dǎo)體的類型,還可以計算出載流子的濃度。用霍耳效應(yīng)來測磁場，是現(xiàn)在一個常用的比較精確的方法。有的金屬(如Be,Zn,Cd,Fe等)會出現(xiàn)反常霍耳效應(yīng):其霍耳電勢差的極性與載流子為正電荷的情況相同,好像這些金屬中的載流子帶正電似的。80年代又發(fā)現(xiàn)了在低溫、強(qiáng)磁場條件下的整數(shù)量子霍耳效應(yīng)(獲1985年諾貝爾物理獎)和分?jǐn)?shù)量子霍耳效應(yīng),這些現(xiàn)象用經(jīng)典電子論無法解釋,只能用量子理論加以說明。54

例題6-14在均勻磁場中，一電子經(jīng)時間t=1.57×10-8s,從a沿半圓運動到b，a、b相距0.1m。求空間磁場的大小和方向，以及電子的運動速度。ab

解磁場方向：又由R=垂直紙面向里。T=55

例題6-15勻強(qiáng)磁場B只存在于x>0的空間中,且B垂直紙面向內(nèi),如圖所示。一電子在紙面內(nèi)以與x=0的界面成

角的速度

進(jìn)入磁場。求電子在y軸上的入射點和出射點間的距離，以及y軸與電子在磁場中的軌道曲線包圍的面積。

解電子進(jìn)入磁場后，作圓運動，如圖所示。

找出圓心o

，加輔助線o

A、o

B。

入射點和出射點間的距離:AB=2Rsin

y軸與軌道曲線包圍的面積:

o

xyAB

Ro

56

例題6-16半導(dǎo)體的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3,

電流I=1mA(方向沿x軸),磁場B=3000Gs(方向沿z軸)，如圖所示；測得A、B兩面的電勢差uA-uB=5mv,問:(1)這是P型還是N型半導(dǎo)體？(2)載流子濃度n=?

解(1)由A面比B面電勢高，判定這是N型半導(dǎo)體。

(2)由公式代入I=10-3A,B=0.3T,b=0.3×10-2m,VH=5×10-3v,得：n=1.25×1020個/m3。IabcxyzBAB57

例題6-17如圖所示，空間存在勻強(qiáng)電磁場：電場E沿y軸，磁場B沿z軸。將一點電荷+q在坐標(biāo)原點靜止釋放，簡述它將作什么樣的運動。若軌道最高點P(x,y)處的曲率半徑=2y，求：該電荷的最大速率。

解電荷+q受電場力的作用由靜止開始運動，同時又受到洛侖茲力的作用，于是作旋輪線運動。在P點速率最大:=2y

因洛侖茲力不作功,所以解得：.fefmxP(x,y)Ez+qyB582.安培定律大小：dF=IdlBsin

方向：

即：dF的方向垂直于Idl和B組成的平面，指向由右手螺旋確定。對載流導(dǎo)體，可分為若干電流元積分：

IdlBF實驗表明:電流元Idl

在磁場B中受的作用力(安培力)為59

對于放置在均勻磁場中長度為l的直載流導(dǎo)線,其所受的安培力為其大小：F=IlBsin

方向：I

Bab=Il×B60

例題6-18在均勻磁場B中有一段彎曲的導(dǎo)線ab,通有電流I,求此段導(dǎo)線受的磁場力。

解彎曲導(dǎo)線ab可分為若干電流元積分：

可見,在勻強(qiáng)磁場中,彎曲導(dǎo)線受的磁場力等于從起點到終點的直導(dǎo)線所受的磁場力。力的大小：F=IlBsin

力的方向:垂直紙面向外。

IBabIdll直載流導(dǎo)線受的安培力:61又如，勻強(qiáng)磁場中的導(dǎo)線：圓弧受的力：力的方向垂直紙面向外。RBaboIoRIabB直載流導(dǎo)線受的安培力:圓弧受的力：62

例題6-19如圖所示，無限長直電流I1和線段AB(AB=L,通有電流I2)在同一平面內(nèi),求AB受的磁力及對A點的磁力矩。

解由于每個電流元受力方向相同(如圖示)，由公式dF=IdlBsin

得M=I2I1d

ABdFxdx63

例題6-20將半徑R的圓電流I1置于無限長直電流I2的磁場中,長直導(dǎo)線與圓電流直徑重合且相互絕緣,求圓電流I1所受的磁力。

解在圓電流上取電流元I1dl,

由對稱性可知，圓環(huán)受的合力沿x軸的正方向,而大小為F=xyoI1I2dF

xRyI1dldFI1dl此電流元受磁力的方向沿半徑指向圓外,其大小為643.磁場作用于載流線圈的力矩

一N匝的剛性矩形平面載流線圈處于勻強(qiáng)磁場中，如圖所示，求它受的力和力矩。f1f2f2′由F=IlBsin

，

可知：ab:f1=bc：f2=NIl2B,方向垂直紙面向外;da：f2′=NIl2B,方向垂直紙面向內(nèi)。可見，ab和cd