圓專(zhuān)題：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題一、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為即連結(jié)并延長(zhǎng)，為與圓的交點(diǎn)，為延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn).二、圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問(wèn)題已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過(guò)圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長(zhǎng)線交圓于三、切線長(zhǎng)度最值問(wèn)題1、代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問(wèn)題．已知圓和圓外的一條直線，則過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值為.四、過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.五、利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；2、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題；3、形如的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線縱截距的最值問(wèn)題題型一圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值【例1】若點(diǎn)M在曲線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】曲線，即，表示圓心，半徑的圓，則，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，即；故答案為：【變式1-1】在圓上與點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】，點(diǎn)在圓外圓上與點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，在圓心與點(diǎn)連線上，且與點(diǎn)分別在圓心兩側(cè)，令直線解析式：，由于直線通過(guò)點(diǎn)和，可得直線解析式：，與圓的方程聯(lián)立，可得，或交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其中距離點(diǎn)較大的一個(gè)點(diǎn)為.【變式1-2】已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選：C.【變式1-3】已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點(diǎn)的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C【變式1-4】已知，，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．9B．14C．26D．28【答案】C【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，圓圓心為，則，又，所以，故選：C.【變式1-5】已知直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，若AB的中點(diǎn)為M，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則，故選：A.題型二兩圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離最值【例2】已知點(diǎn)分別為圓與圓的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.【變式2-1】已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)椋砸虼俗畲笾禐閮蓤A心距離加上兩圓半徑，即為【變式2-2】已知直線與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，消去參數(shù)得，所以在以為圓心，為半徑的圓上，又點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，此圓圓心為，半徑為，，∴的最大值為．故選：C.【變式2-3】設(shè)圓與圓，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，圓，即，其圓的圓心，，圓，即，其圓的圓心，，如圖所示：對(duì)于直線上的任一點(diǎn)，有，求的最小值即求的最小值，即可看作直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、距離之和的最小值減去7，由平面幾何的知識(shí)易知當(dāng)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，與、共線時(shí)，的最小值，其最小值為，故的最小值為；故選：．【變式2-4】已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，則的最小值是．【答案】【解析】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，連接，故，故的最小值是故答案為：．【變式2-5】已知圓，圓，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，所以，．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，所以，，故選：B．【變式2-6】已知圓，圓分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知圓心，半徑為1，圓心，半徑為2，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)，為線段與圓的交點(diǎn)．故選：B．題型三圓上的點(diǎn)到直線的距離最值【例3】點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的最短距離為（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，則點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離再減去半徑．所以點(diǎn)到直線的最短距離為．故選：C．【變式3-1】已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，如圖所示，顯然當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，有最小值，最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即，故選：D【變式3-2】直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓心到直線距離，所以點(diǎn)P到距離即高的范圍，又可求得，所以面積的取值范圍為.故選：A.【變式3-3】圓面與圓面的公共部分(含邊界)上的點(diǎn)到直線的最短距離為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，即，圓心為，半徑，，即，圓心為，半徑，則兩圓面公共部分的平面區(qū)域如下圖黑色陰影部分所示：則圓心到直線的距離，則黑色陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線的最短距離為；故選：D題型四圓的切線長(zhǎng)度最值問(wèn)題【例4】直線上一點(diǎn)向圓引切線長(zhǎng)的最小值為（）A．B．1C．D．3【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.所以切線長(zhǎng)的最小值為，故選：B【變式4-1】已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與圓相切，則切線長(zhǎng)（點(diǎn)O與切點(diǎn)間的距離）為（）A．3B．4C．D．5【答案】C【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，所以，切線長(zhǎng)為.故選C.【變式4-2】已知圓：，為過(guò)的圓的切線，為上任一點(diǎn)，過(guò)作圓：的切線，則切線長(zhǎng)的最小值是__________.【答案】【解析】由題，直線的斜率為，故直線的斜率為，故的方程為，即.又到的距離，故切線長(zhǎng)的最小值是【變式4-3】若圓C：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為A，則線段PA的最小值為_(kāi)__．【答案】【解析】圓化為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以在直線上，∴，即，點(diǎn)與圓心的距離為，所以點(diǎn)向圓所作切線長(zhǎng)：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)切線長(zhǎng)最小為．題型五過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值【例5】直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑，又直線，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心與定點(diǎn)的連線垂直于弦，此時(shí)弦心距為．所截得的最短弦長(zhǎng)：．故選：C．【變式5-1】已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點(diǎn)分別M，N，當(dāng)直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線l：，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，，圓半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線與垂直的時(shí)候，最短，此時(shí)．故選：C．【變式5-2】當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.【變式5-3】已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A．4B．6C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為．故選：B．題型六利用代數(shù)式幾何意義求最值【例6】已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的最大值與最小值．【答案】最大值為51，最小值為11【解析】已知方程可化為，則此方程表圓，且圓心C的坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)．又．它表示圓上的到的距離的平方再加；所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E的距離最大或最小時(shí)，所求式子就取最大值或最小值，顯然點(diǎn)P與點(diǎn)E距離的最大值為，點(diǎn)P與點(diǎn)E距離的最小值為.又因?yàn)椋瑒t的最大值為，的最小值為；即的最大值為51，最小值為11.【變式6-1】已知點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)．試求：（1）的最值；（2）的最值；【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為．【解析】（1）設(shè)圓的圓心為，半徑，點(diǎn)在圓上，所以表示到定點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)椋裕矗裕吹淖畲笾禐椋钚≈禐椋唬?）點(diǎn)在圓上，則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，當(dāng)與（或重合時(shí)，直線與圓相切，設(shè)直線解析式為，即，圓心到直線的距離，即，解得，，即，的最大值為，最小值為．【變式6-2】設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為A．6B．25C．26D．36【答案】【解析】表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，圓的圓心，半徑為1，圓心到點(diǎn)的距離為，的最大值是．故選：．【變式6-3】已知圓，點(diǎn)與，為圓上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】，．【解析】設(shè)，則，的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，由已知，圓心，半徑為1，到的距離，的最大值是，的最大值為，由直線與圓，可得，或，當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)是，．故答案為：，．題型七面積的最值問(wèn)題【例7】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（1）求圓的方程；（2）若為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，，由題意可得，解得，則圓的方程為即；（2），的方程：，且，圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，．故面積的最大值為．【變式7-1】已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切危孕边叺闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.【變式7-2】已知：，直線：，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)四邊形的面積取最小值時(shí)，直