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臨川一中2022-2023學年度上學期期中考試高三年級數學理科試卷考試時間：120分鐘一、單選題（每題5分，共60分）1．已知全集U7,8,A5,B7,8，則(CUA)B（ ）A．7,8

7,8

D．1,2,6,7,8已知i是虛數單位，若2iz(1i)，則z對應的點在復平面的( )第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限已知命題p：“a0，有a12成立”，則命題p的否定為（ ）aA．a0，有a1≥2成立 B．0，有a1≥2成立a aC．a0，有a1≥2成立 D．a0，有a1≥2成立a a“冪函數fxm2mxm在,上為增數”是函數gx2xm22x為奇函”的（ ）條件充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必5．對于任意實數a、b、c、d，下列命題中，真命題為（ ）①若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d； ②若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；③若a＞b＞0，則3a>3b； ④若a＞b＞0，則1>1．a2 b2A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 1sincosy

x在點42，則1

2cosπ （ ） 4 2

12

2

D．12一丈等于十尺，一尺等于十寸，則說法不正確的是（）2相鄰兩個節氣晷長減少或增加的量為十寸75寸D．立冬的晷長為一丈五寸在ABC中，A,B,C分別為ABC三邊a、b、c所對的角．若cosBcosBcosC2asinB，則ABC外接圓直徑為（ ）

3sinB2且滿足關系式b c 2A．3 B．2 C．4 D．329．定義在R上的偶函數f(x)滿足f(2x)f(x2)，當x[0,2]時，f(x)(e)x，若在區間x[0,10]內，函數g(x)f(x)mx(m0)有5個零點，則實數m的取值范圍是（ ）e1e1

e51

e1e1

e1A．10, 6

B．(0, )10

C．( , )6

D．0, 10

e（其中

51）的橢圓為黃金橢圓，現有一個黃金橢圓22x2a2

y2b2

1，ab0OO為黃金橢圓上除頂點外任意一點，b2P作OA，BABx，yM，NOM2

a2ON

（ ）A.1 B. C.

1已知定義在（－2，2）上的函數f(x)導函數為f'(x)，若f(xe4xf(x)0fe2x0時，f'(x)2f(x)，則不等式e2xf(2x)e4的解集為（ ）A.(1,4)

B.(-2,1)

C.(0,4)

D.(0,1)若函數f(x)exa(x1)b在區間[1，1]上有零點，則a2b2的最小值為（ ）24eB.e25

1C. D.e2二、填空題（520）

1．已知量a，b滿足a=（34，a·b=，ab7則b＝ .0已知fx為偶函且2fxdx4，則22fx|x|x等于 0fx)A00π6 所示的函數yg(x)的圖象，若f(0)fπab,(a,b0)，則11最小值為 ． 3 a b已知菱形D的各邊為,D60.如圖所將D沿C折起，使得點D到達點S的位置連接SB得到三棱錐SABC此時SB3.若E是線段的中點點F在三棱錐SABC的外接球上運動且始終保持EFAC則點F的軌跡的面積為 .三、解答題1（12分）

n的前n項和S

4n1 4 (n 3 3n求數列n的通項公式；n若nanog2an，求數列n的前n項和n.1（12分）如圖,在邊長為2

ABC

中，D，E分別為邊AC，AB的中點．將

沿DE折起，使得ABAD，得到四棱錐ABCDE，連接BD，CE，且BD與CE交于點H．AHBD；設點B到平面AED

h1，點E到平面ABD的距離為hh2，求h2

的值．1（12分）2道題，至少答對一題后，乙同學才有機會答題，乙同樣也是答兩道題.10枚紀念幣.p，乙第一2 1 15題答對的概率為3，第二題答對的概率為2.已知乙有機會答題的概率為16.求p;X的分布列及期望.2（12分）已知雙曲線C與雙曲線x2y2有相同的漸近線，且過點(22,).求雙曲線C的標準方程；

12 3 1DEDFDEDF已知點D(2,0),E,F是雙曲線C上異于D的兩個不同點，且 ，證明:直線EF過定點，并DEDFDEDF求出定點坐標.21.（12分）已知函數f(x)exax,

(x)

f(x)sin2x

aR),其中e2.71828為自然對數的底數．f(x的單調性，若aN*，當x0時，(x)0恒成立時，求a（參考數據：e3201）四．選做題（共10分，請考生在22，23題任選一題作答，如果多選，則按所做第一題記分）210分邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標系Ox中，曲邊三角形OPQP2πQπ， 6 6 以極點O為直角坐標原點，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy，曲線C1的參數方程為

x3t21

（t為參數．y1t 2求Q所在圓C2的直角坐標方程；M的直角坐標為01，曲線和圓

1|MA|1MB|相交于A，1|MA|1MB||2（10分）已知函數fx

x+1x．fxmm；abcabcm，證明：abc111．bc ac ab a b cPAGE110頁臨川一中2022-2023學年度高三上學期期中考試數學試卷答案（理）一、單選題【詳解】U【詳解】UA,,,7,，則UAB,,,,7,.故選：C【答案】A2 22 21i1i1i【詳解】解：由2iz（1﹣，得z2i1i2i13i，a0，有a12成立”的否定是0，a有a12成立”，a故選：B【答案】A則則gx2x2x2x2x，所以函數gx為奇函數，即充分性成立；“函數gx2xm22x為奇函數”，gxgx，即2xm2xxm22xm22xm1，故必要性不成立，故選：A．m1，當m1gx2x2xxR，m0m2m1則fxm是冪函數，且在上為增函數，2x2x1則曲線y4x在點4處的切線的斜率為ky 2，又傾斜角為2xxyy42 2 2 2 22 2 2 2 22 21tan22 1.故選：B.2sin 2sin cos tan2tan2222cos 2sin cos221cossin2 2 4 12 cossin則12cosπ1sincos 1sincos 1sincos所以tan 2【答案】B【詳解】對于①acbdabdc，無法判斷是否大于零，當ab0c0d2時，則acbd，故①錯誤；對于②，根據不等式性質，同向同正可乘性，可得②正確；對于③，根據不等式性質，正向可開方性，可得③正確；1 1 b2a2 baba

22 baba對于

，ab0

ba0,ba0,ab0，則

0，a2 b2

a2b2

a2b2

a2b2故11a2

，可得④錯誤.故選：B.【答案】C15135dd，利用等差數列知識即可判斷各選項.【詳解】由題意可知夏至到冬至的晷長構成等差數列{an,其中15135寸，公差為d寸，則1351512d，解得d0（寸同理可知由冬至到夏至的晷長構成等差數列{bn},首項b1135，末項b1315，公差d10（單位都為寸）.故選項A正確；春分的晷長為b7，b7b16d1356075秋分的晷長為a7，a7a16d156075，所以B正確；立冬的晷長為a10，a10a19d1590105，即立冬的晷長為一丈五寸，D正確；立春的晷長，立秋的晷長分別為b4，a4，a43d153045，3d13530105，b4a4，故錯C誤.【分析】由cos【分析】由cosB3sinB2，推導出B60，由cosBcosC2asinB，推導出b.bc3c【詳解】cosB3sinB2，2sin(B30)2，可得sin(B30)1，又30B30210B6，cosBcosC2asinB，ccosBbcosC2absinB，bc3c3∴sinCcosBsinBcosC2bsinAsinB，sin(CB)2bsinAsinB，33∴1 sinB，∴ 2sinB2bb31 3132323．【答案】D【詳解】由題，令【詳解】由題，令x2替換x，則f2x2fxfx22fx4，fxfxfxfx4fxfxT4，【答案】AOAPB四點共圓,x2y2b2

x2x y2yy

相減，得lAB:

b2Mb2x02

00x

N

b)，因為2y022 2 b2 a2

x2 a2

b2x2a2y

a2b2 a2b a

000 0

2 1OM

ON

b4 b4 b2 b42 2xy0 0xy

b4

b2，所以 = .5-15-1【答案】Ag(x)

f(x)則由f(x)e4xf(x)0得g(x)g(x)0，∴g(x)為奇函數e2x' f'(x)f(x) '又g(x) ，∴當x0時，g(x)0,g(x)單調遞增，∴g(x)在（－2，2）上單調遞增e2x又g(1)f(1)1，∴e2xf(2x)e4f(2x)1g(2x)g(1)22x21x4e2 e2(2x)選A

2x1【答案】Ag(t)在[1，1]單調遞增.g(t)最小值為4e.2 513.【答案】13.【答案】614.【答案】16115．【答案】11

2512作作EHAC于H，設點F軌跡所在平面為，則平面經過點H且AC，3；2 23 4三棱錐SABC體積為V132232則三棱錐SABC的高hsinSBMSB3，【詳解】取AC中點M，則ACBM,ACSM,BMSMM，∴AC平面SMB，SMMB3，又SB3，∴SMSB30，2525∴截面圓的面積為 123 4 67153，1故平面截外接球所得截面圓的半徑為rr2d22易知O到平面的距離dMH1，33113OM1，又OS2SM23，，得OO11OOMRt△3，331OM SM，1 2211OMO601OMO由題可得設三棱錐SABC外接球的球心為O,SAC,BAC的中心分別為O1,O2，易知OO1平面SAC,OO2平面BAC，且O,O1,O2,M四點共面，(求到一組得(求到一組得2分) 12n2n4n1431n22414n14=8nn2 3T(4444)2(123n)所以，6n n 2nnbaloga42n（2）由題可知n*N)； 5n4(nan因為a4也滿足a4n， 413n4，334n14n344n 44n1當n2時，anSn 333，13 3111時，aS 43 3442*44n1【詳解（1）因為Sn (nN)，當n2nn.4n143(2)Tn*N)；n4(nn1(1)ah Sh，則3AED1 3ABD2h Sh，則3AED1 3ABD21S33在圖2中，有DHED1，DH1BD3． 33在圖2中，有DHED1，DH1BD3． 3分在在△BCD中，BDCD，BC2，CD1，BD3，QD、E分別為邊AC、AB的中點，ED//BC， 2分HB BC 23在RtHB BC 23在RtBAD中，BD3，AD1，DA DHAHD． 4分在BAD和AHD中，DBDA3，BDAADH，AHDBAD90，即AHBD； 6分2）2）BAEDEABD，h1S2 AED1 ABDh S． 8分AEDAED1的等邊三角形，S 3． 9分4在RtABD中，在RtABD中，BD3，AD1，則AB2．ABDS2， 10分26． 12分則h1231(1)p3；(2)分布列見解析，E(X)4154解得4解得p3； 316P1p)215，（1）1題后，乙才有機會答題.X010203040P11611693213323161010X的分布列為：2 1 332P(X40)43216 9432 3224X的分布列為：2 1 332P(X40)43216 9432 32242 32121 131 31 1C1 43322P(X30)4 32 24432 32 321 11 913 21132P(X20) 4 432 162131111PX10C× 16112P(X0)4（2）X的可能取值為0，10，20，30，40； 4ΔΔ8km)244m244k20，即4k2m210， 62y1，x24EFx2y2ykxm與雙曲線化簡得4k21x28kmx4m210，242（）當直線EF斜率存在時，設F:yxm，x2所以雙曲線C的標準方程為 y1 4(2)證明見解析（1）C與已知雙曲線有相同的漸近線，設雙曲線Cx24y2代入點A坐標，解得442x22【答案【答案(1) y1 3 綜上，直線EF過定點M10,012 3 310EFM100，.xE F與雙曲線Cx（ii）EFyx2， 3 332當m10k時，直線l的方程為ykx10，過定點10,010且均滿足4k2m210，當2k時，直線lykx2，直線過定點20，與已知矛盾，321所以m2k,m10k，化簡，得3m216km20k20， 9即3m10km2k0,4k14k12m40，28km24m222所以k1，1 21222k1xxkm2xxm40所以因為DEDFDEDF,所以DEDF2x22y20， 81 212mkxxkmxxm2，2112yykxmkx又24k112xx4m42，4k21 2則有8kmxx21【答案（1）由f(x)exax可得f'(x)exa 1當a0時，fx在0,單調遞增； 2，令，令exxxsin2xx2，則exsin2xxexsin2xx2gxexsin2xgx設當a0時，fx在,lna單調遞減；在a,單調遞增 4綜上所述當a0時，fx在0,單調遞增當a0時，fx在,lna單調遞減在a,單調遞增 5exsin2x(2)當x0時fx0成立，當x0時0恒成立即a x ， 6hxexx1xsin2xsin2x

hxxex2cos2x

pxex2cos

0x，當 3時，ex,2osx

px

x當 3時e

22cos2x

px

px0

hx0，hsin2sin21sin12

sin12 hx

tan故4

為增函數.又

3 ，因為 e4

e2.731624

he411 211 0 ，故e42

4

4

4

4 2 4

，故存x,10 4

h

x0,

gx

gx

xx0,

gx0

使得

時 ， 單調遞減當 時 ，gx

g xgx

hxexxsin2xsi2x0

min 0

0 0