生活中的優(yōu)化問題舉例生活中經常會遇到求什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.這往往可以歸結為求函數的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運用導數這一有力工具加以解決.復習：如何用導數來求函數的最值？一般地，假設函數y=f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么求f(x)的最值的步驟是：〔1〕求y=f(x)在〔a，b〕內的極值(極大值與極小值)；〔2〕將函數的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.規(guī)格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5問題情景一：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產品，假設它們的價格如下表所示，那么〔1〕對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對制造商而言，哪一種的利潤更大？例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？r(0，2)2(2，6）6f'(r)0f(r)-+減函數↘增函數↗-1.07p解：∵每個瓶的容積為:∴每瓶飲料的利潤：28.8π∴由上表可知，f(2)=-1.07p為利潤的最小值f(6)=28.8π為利潤的最大值例1、某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，那么每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小.6(0，2)f(r)0f'(r)(2，6）2r-+減函數↘增函數↗-1.07p28.8π231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？解決優(yōu)化問題的方法之一：通過搜集大量的統(tǒng)計數據，建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數往往是一個有力的工具，其根本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優(yōu)化問題的答案我們知道，汽油的消耗量w〔單位：L〕與汽車的速度v〔單位：km/h〕之間有一定的關系，汽油的消耗量w是汽車速度v的函數。根據你的生活經驗，思考下面兩個問題：問題情景二：汽油使用效率何時最高(1)是不是汽車的速度越快，汽油的消耗量越大？(2)“汽油的使用效率最高〞的含義是什么？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說汽油的使用效率越高〔即越省油〕。假設用G來表示每千米平均的汽油消耗量那么如何計算每千米路程的汽油消耗量？〔w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程〕例2、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車行駛的平均速度v〔單位:km/h〕之間，有如圖的函數關系g=f(v)，那么如何根據這個圖象中的數據來解決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015(w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程)問題1：可用哪個量來衡量汽油的使用效率？問題2：汽油的使用效率與

g、v有什么關系？每千米平均的汽油消耗量例2、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率g〔即每小時的汽油消耗量，單位:L/h〕與汽車行駛的平均速度v〔單位:km〕之間，有如圖的函數關系g=f(v)，那么如何根據這個圖象中的數據來解決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g(L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量，這里w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程∵w=gt，s=vtP(v，g)的幾何意義是什么？如下圖，表示經過原點與曲線上的點P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當直線OP為曲線的切線時，即斜率k取最小值時，汽油使用效率最高練習：某廠每天生產x件產品的本錢為假設要使平均本錢最低，那么每天應生產多少件產品？解：設平均本錢為y元，每天生產x件產品，那么∴每天應生產1000件產品變題：某廠每天生產x件產品的本錢為假設受到設備的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，那么要使平均本錢最低，每天應生產多少件產品呢？解：設平均本錢為y元，每天生產x件產品，那么變題：某廠每天生產x件產品的本錢為假設受到產能的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，那么要使平均本錢最低，每天應生產多少件產品呢？∴函數在(0，1000)上是減函數故每天應生產800件產品根本不等式法：