2022年湖南省邵陽市北塔區茶元頭鄉中學高二數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖,在平面四邊形中,,.若,,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點】向量的加法與減法的幾何運算，向量垂直的應用、向量的數量積【答案解析】B解析：解：因為,，所以.，則選B.【思路點撥】在計算向量的數量積時，可把所求的向量利用向量的加法和減法向已知條件中的向量轉化，再進行計算.2.雙曲線的實軸長為（） A．2 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質． 【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】雙曲線中，a=2，即可求出實軸長． 【解答】解：雙曲線中，a=2，實軸長為2a=4． 故選：C． 【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，比較基礎． 3.下列命題中正確的為（）A．線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強B．線性相關系數r越小，兩個變量的線性相關性越弱C．殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好D．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好參考答案：C【考點】BS：相關系數．【分析】根據線性相關系數|r|越接近1，兩個變量的線性相關性越強；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好；相關指數R2來刻畫回歸效果，R2越大，模型的擬合效果就越好；由此判斷正誤即可．【解答】解：線性相關系數|r|越接近1，兩個變量的線性相關性越強，∴A、B錯誤；殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果就越好，C正確；相關指數R2來刻畫回歸效果，R2越大，說明模型的擬合效果就越好，∴D錯誤．故選：C．4.擲一個骰子向上的點數為3的倍數的概率是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.按照下列三種化合物的結構式及分子式的規律，寫出后一種化合物的分子式是（

）. A．C4H9

B．C4H10

C．C4H11

D．C6H12參考答案：B略6.函數的一個零點所在的區間是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)參考答案：C【分析】根據函數零點的判定定理進行判斷即可【詳解】是連續的減函數，又可得f（2）f（3）＜0，∴函數f（x）的其中一個零點所在的區間是(2,3)故選：C【點睛】本題考查了函數零點的判定定理，若函數單調，只需端點的函數值異號即可判斷零點所在區間，是一道基礎題．7.已知拋物線的焦點到準線的距離為,且上的兩點關于直線對稱,并且,那么=（）A． B． C．2 D．3參考答案：A8.函數的圖象的大致形狀是A. B.C. D.參考答案：A令x=0可得，則排除C、D；,當時，，當時，，故排除B，本題選擇A選項.9.用反證法證明命題“若實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數”時，下列假設正確的是()A．假設a，b，c都是偶數B．假設a，b，c都不是偶數C．假設a，b，c至多有一個是偶數D．假設a，b，c至少有兩個是偶數參考答案：B略10.在某項測量中測量結果，若X在(3,6)內取值的概率為0.3，則X在(0,+∞)內取值的概率為（

）A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.0.9參考答案：C【分析】由題意結合正態分布的對稱性求解ξ在(0,+∞)內取值概率即可.【詳解】由正態分布的性質可知正態分布的圖象關于直線對稱，則,,，即ξ在(0,+∞)內取值概率為0.8.本題選擇C選項.【點睛】關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在某個城市中，M，N兩地之間有南北街道5條、東西街道4條，現要求沿圖中的街道，以最短的路程從M走到N，則不同的走法共有_________種．參考答案：35略12.若直線與拋物線相交于不同的兩點A，B，且AB中點縱坐標為2，則k=

.參考答案：213.已知向量a＝(8,)，b＝(x，1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x＝

▲

．參考答案：4【分析】根據平面向量的坐標運算公式求出向量與,然后根據平面向量共線（平行）的充要條件建立等式,解之即可.【詳解】向量，，，，即，又，故答案為4.【點睛】利用向量的位置關系求參數是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.

14.如圖，把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點，F是橢圓的一個焦點則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=．參考答案：35【考點】橢圓的簡單性質．【分析】利用橢圓的定義可求得|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a，結合橢圓的標準方程即可求得答案．【解答】解：∵橢圓的方程為+=1，∴a=5，b=4，c=3．∵F是橢圓的一個焦點，設F′為橢圓的另一焦點，依題意|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P4F′|，∴|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P4F|=2a=10，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=×2a=7a=35．故答案為：35．15.觀察下列式子：,…根據以上式子可以猜想：_________.參考答案：.13．已知，則函數的最小值是

．【答案】.∵∴，當時取得等號，故可知函數的最大值為.16.以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設為兩個定點，為非零常數，，則動點的軌跡為雙曲線；②已知圓上一定點和一動點，為坐標原點，若則動點的軌跡為圓；③，則雙曲線與的離心率相同；④已知兩定點和一動點，若，則點的軌跡關于原點對稱.

其中真命題的序號為

（寫出所有真命題的序號）.參考答案：

17.三個不同的數成等差數列，其和為6，如果將此三個數重新排列，他們又可以成等比數列，求這個等差數列。

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，平面α∥平面β，點A∈α，C∈α，點B∈β，D∈β，點E，F分別在線段AB，CD上，AB，CD所在直線異面，且AE：EB=CF：FD（Ⅰ）求證：EF∥β；

（Ⅱ）若E，F分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．參考答案：（Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點G，連接FG，因為AE：EB=CF：FD∴EG∥BD，FG∥AC，則EG∥β，FG∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因為；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF?平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ）解：∵EG∥BD，FG∥AC且E，F分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6；∴EG=BD=3，FG=AC=2∵AC，BD所成的角為60°，∴∠EGF=120°或60°∴EF===；或EF==即．考點：點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定．專題：計算題；證明題．分析：（Ⅰ）直接連接AD，作EG∥BD交AD于點G，連接FG；結合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，FG∥α；進而得到平面EFG∥β即可證得結論；（Ⅱ）結合第一問中的結論和AC，BD所成的角為60°可以得到EG=BD=3，FG=AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出結論．解答：（Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點G，連接FG，因為AE：EB=CF：FD∴EG∥BD，FG∥AC，則EG∥β，FG∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因為；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF?平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ）解：∵EG∥BD，FG∥AC且E，F分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6；∴EG=BD=3，FG=AC=2∵AC，BD所成的角為60°，∴∠EGF=120°或60°∴EF===；或EF==即．點評：本題主要考查空間中線段距離的計算以及線面平行的判定．在求線段長度問題是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解19.某電視臺舉辦青年歌手大獎賽，有10名評委打分，已知甲、乙兩名選手演唱后的打分情況如莖葉圖所示：（Ⅰ）從統計的角度，你認為甲與乙比較，演唱水平怎樣？（Ⅱ）現場有3名點評嘉賓A、B、C，每位選手可以從中選2位進行指導，若選手選每位點評嘉賓的可能性相等，求甲乙兩選手選擇的點評嘉賓恰重復一人的概率．參考答案：【考點】莖葉圖；古典概型及其概率計算公式．【專題】綜合題；概率與統計．【分析】（Ⅰ）由莖葉圖可得：，，，即可得出結論；（Ⅱ）求出所有基本事件，其中，甲乙兩選手選擇的點評嘉賓恰重復一人包含6個基本事件，即可求出甲乙兩選手選擇的點評嘉賓恰重復一人的概率．【解答】解：（Ⅰ）由莖葉圖可得：，，，所以甲演唱水平更高一點，但甲的方差較大，即評委對甲的水平認可存在較大的差異

…（Ⅱ）依題意，共有9個基本事件：其中，甲乙兩選手選擇的點評嘉賓恰重復一人包含6個基本事件．所以，所求概率為．

…【點評】本題考查概率的計算，考查莖葉圖，確定基本事件的個數是關鍵．20.下表是我國一個工業城市每年中度以上污染的天數,由于以前只注重經濟發展,沒有過多的考慮工業發展對環境的影響,近幾年來,該市加大了對污染企業的治理整頓,環境不斷得到改善．(1)在以上5年中任取2年,至少有1年中度以上污染的天數小于60天的概率有多大;(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;(3)按照環境改善的趨勢,估計2016年中度以上污染的天數．參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數公式．參考答案：(1)在2010至2014年的5年中,有兩年中度以上污染的天數小于60天,所以概率為．(2)將代入得,∴,所以線性回歸方程．(3)估計2016年中度以上污染的天數為天．分析：本題主要考查的是線性回歸方程的應用和古典概型的簡單應用,意在考查學生的計算求解能力.(1)利用對立事件的概率和為1,進行求解;(2)根據表格得到,代入公式求得線性回歸方程(3)由(2)計算可得答案.21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.如圖，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點，交于點．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請觀察平面勾股定理的條件和結論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結論，并給出證明．參考答案：（1）證：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，?，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側棱OA、OB、OC兩兩垂直，則有