第5講：反函數【復習要求】理解反函數的意義，會求一些函數的反函數。經歷探索互為反函數的兩個函數圖像之間關系的過程，掌握利用與的性質解決一些問題．【教學重點】反函數的求法，反函數與原函數的關系．【知識要點】1、反函數的概念：對于函數，設它的定義域為，值域為，對應法則為，如果對于每一個值，都有唯一的，滿足，這樣得到的關于的函數叫做的反函數，記作，〔〕。2、求反函數的一般步驟：〔1〕解出；〔2〕互換、；〔3〕寫出反函數的定義域〔即原函數的值域〕。注：求分段函數的反函數可以分別求出各段函數的反函數再合成。反函數的性質：〔1〕．互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=*對稱；即：兩個互為反函數的圖像如果有交點，它們的交點不一定都在直線y＝*上〔2〕．具有單調性的函數必有反函數，且他們的單調性一樣。但反之不一定成立。〔3〕．互為反函數的兩個函數在它們各自的定義域具有一樣的單調性．〔4〕．一般的偶函數一定不存在反函數(但一種特殊的偶函數存在反函數,例f(*)=a(*=0)它的反函數是f(*)=0(*=a)這是一種極特殊的函數)，奇函數不一定存在反函數。假設一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。〔5〕．函數y=f(*)的定義域是它的反函數的值域；函數y＝f(*)的值域是它的反函數的定義域．〔6〕．假設y=f(*)(*∈A)，與(*∈C)互為反函數，則有()()〔7〕．*=f(y)與是同一函數，因為它們的定義域、值域對應一樣(都分別是原來函數的值域和定義物)，對應法則一樣；〔8〕．的反函數；的反函數為：；【典型例題】類型1：判斷一個函數是否存在反函數例1、“函數在定義域上是單調函數〞是“函數有反函數〞的充分不必要條件。例2、判斷以下說法是否正確，并說明理由。〔1〕奇函數一定有反函數。〔錯，反例：三角函數〕〔2〕偶函數一定沒有反函數。〔錯，反例：f(*)=0〕〔3〕原函數與其反函數交點必在直線上。〔錯反例：〕例3、判斷以下函數是否存在反函數：〔1〕〔無〕〔2〕〔有〕〔無〕例4、函數〔定義域為，值域為〕有反函數，則方程有解，且的充要條件是滿足。類型2：怎樣求簡單函數的反函數例5、求以下函數的反函數：〔1〕〔2〕〔3〕類型3：互為反函數的兩個函數的圖像的對稱性的應用例6、解決以下有關反函數性質的相關問題：〔1〕、假設函數互為反函數，則，3。〔2〕、函數的反函數的圖象關于點〔-2，-3〕對稱。〔3〕、函數的值。〔〕〔4〕、函數的圖像與的圖像關于直線對稱，假設的圖像過點，則的值為__________；答案：例7、函數的圖象關于對稱，求的值．解：由得，∴，由題知：，，∴例8、假設既在的圖象上，又在它反函數圖象上，求的值．解：∵既在的圖象上，又在它反函數圖象上，∴，∴，∴類型4：怎樣求復合函數的反函數例9、，求【解】例10、設，函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，求的值。【答案】〔-10〕例11、〔1〕函數，求；函數的圖像經過點，函數的圖像經過點，試求函數的表達式；【解】〔1〕先求，再求，最后求得，；〔2〕類型10：有關反函數的綜合問題例12、，〔1〕求的反函數；〔2〕假設不等式，對一切恒成立，求的取值圍。解：〔1〕〔2〕依題意得：對恒成立即：對恒成立令，則對恒成立設當時，，舍；當時，得：*例13、，是上的奇函數．求的值；求的反函數；對任意的解不等式．解〔1〕由題知，得，此時，即為奇函數．〔2〕∵，得，∴．〔3〕∵，∴，∴，①當時，原不等式的解集，②當時，原不等式的解集【課后練習】A組1．函數的反函數是(D)A．B．C．D．2．函數的反函數是(B)A．B．C．D．3．函數在區間[1,2]上存在反函數的充分必要條件是(D)A．a∈(-∞,1]B．a∈[2,+∞)C．a∈[1,2]D．a∈(-∞,1]∪[2,+∞]4．函數的反函數圖像是(C)AA．D．C．B．5．假設函數是函數的反函數，且，則(A)A．B．C．D．26．函數,假設則實數a的取值圍是(C)A．B．CD7．設函數f(*)的圖象關于點(1,2)對稱,且存在反函數,f(4)=0,則=-28．假設f(*)為一次函數,且,則f(*)=or9．假設的反函數為自身,則a=-210．=(*<-1)，則=-211．函數的反函數是(*∈R,*≠2)，求a,b,c的值．a=2,b=1,c=-3．12．函數的圖象與的圖象關于直線y=*對稱,求的值．提示：法2:由題設知的反函數g(*)，又的反函數為f(*)-1∴g(*)=f(*)-1∴B組知函數，是的反函數，假設，則________；【答案】-22．假設〔其中〕，則函數與的圖像關于對稱．【答案】軸3．設函數的反函數為，且的圖像經過點，則的反函數的圖像必過點〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C4．函數存在反函數，假設過點，則函數恒過點〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C5．函數是否存在反函數，假設存在，請求出來；假設不存在，請說明理由．【答案】略求與函數的圖象關于直線對稱的圖象所對應的函數．【答案】由可得，即，即 所求函數7．函數是的反函數，定義：假設對給定的