烏魯木齊市第61中學2023-2024學年高三上學期10月月考數學試題（新教材老高考不分文理）總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）1．在下列命題中，正確命題的個數是(

)①若是虛數，則；②若復數滿足，則；③若復數，，且對應的復數位于第四象限，則實數的取值范圍是；④若，則.A．0 B．1 C．2 D．32．已知集合，，且，則（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的為（

）A．某高中為了解在校學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學生中抽取一個容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級學生數之比為5:4:3，則應從高三年級中抽取14名學生B．10件產品中有8件正品，2件次品，若從這10件產品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機變量服從正態分布，，則D．設某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg4．已知函數是上的偶函數，且對任意的有，當時，，則（

）．A．11 B．5 C． D．5．已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓經過原點.若橢圓的離心率不大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若函數恰好有三個單調區間，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．8．已知等比數列的前項和為，若，，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9．在矩形ABCD中，以AB為母線長，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側面積之和等于矩形ABCD的面積，則（

）A．矩形ABCD的周長的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當矩形ABCD的面積取得最小值時，D．當矩形ABCD的周長取得最小值時，10．已知拋物線：的焦點在直線上，點在拋物線上，點在準線上，滿足軸，，則（

）A． B．直線的傾斜角為C． D．點的橫坐標為11．使得的數稱為方程的解，也稱為函數的零點.即的零點就是函數的圖象與軸交點的橫坐標.已知二次函數在上有兩個零點，且.下列說法正確的有（

）A．且B．C．D．和至少有一個小于12．若，，則（

）A．若，為互斥事件， B．C．若，相互獨立， D．若，則，相互獨立三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．向量滿足：，與的夾角為，則＝；14．已知正四棱臺的上底邊長為4，下底邊長為8，側棱長為，則其體積為.15．圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直線被圓C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦長為.16．函數是定義在R上的偶函數且滿足，當時，，則．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請根據答題卡題號及分值在各題目的答題區域內作答，超出答題區域的答案無效。）17．已知的內角所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關系式：且______在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在前面橫線中，求滿足條件的個數.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答得分.18．已知數列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.19．近年來隨著互聯網的高速發展，舊貨交易市場也得以快速發展.某網絡舊貨交易平臺對2018年某種機械設備的線上交易進行了統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點圖.現把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設備的使用時間，（單位：萬元）表示其相應的平均交易價格.（1）已知2018年在此網絡舊貨交易平臺成交的該種機械設備為100臺，現從這100臺設備中，按分層抽樣抽取使用時間的4臺設備，再從這4臺設備中隨機抽取2臺，求這2臺設備的使用時間都在的概率.（2）由散點圖分析后，可用作為此網絡舊貨交易平臺上該種機械設備的平均交易價格關于其使用時間的回歸方程.5.58.71.9301.479.75385表中，（i）根據上述相關數據，求關于的回歸方程；（ii）根據上述回歸方程，求當使用時間時，該種機械設備的平均交易價格的預報值（精確到0.01）.附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為參考數據：，，.20．如圖，在水平放置的四棱錐中，平面，，，.（1）為線段上動點，試確定點的位置，使并證明；（2）求二面角的正弦值.21．已知點及圓．（1）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；（2）若過點的直線與圓交于、兩點，且，求以為直徑的圓的方程；（3）若直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．22．已知函數，．(1)求的極值；(2)證明：當時，．（參考數據：）月考答案解析1．B【分析】根據復數運算、共軛復數、復數對應點坐標所在象限對命題進行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，若與無法比較大小，①錯誤.②，若，但，②錯誤③，，則，③正確.④，時，，④錯誤.所以正確的命題個數是個.故選：B2．C【分析】先求出集合，再利用集合間的包含關系列出不等式組，求出的取值范圍即可．【詳解】解：由，，解得，所以，集合，因為，所以，解得．故選：C．3．C【分析】對A，結合分層抽樣按比例分配原則可判斷錯誤；對B，結合超幾何分布公式可求解對應概率；對C，結合正態分布對稱性可判斷；對D，線性回歸方程只能做出預測.【詳解】對于A．應從高三年級中抽取名學生，A錯誤；對于B．所求概率，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，用回歸方程計算得到是估計值，故不能斷定其體重為62.5kg，D錯誤．故選：C4．C【分析】根據即可得出，即得出的周期為6，再根據是偶函數，以及時，，從而可求出．【詳解】解：∵，∴的周期為6．又是偶函數，且時，，∴．故選：C5．D【分析】由題意可得a>1，聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，直徑所對的圓周角為直角，化為，化簡整理，結合離心率公式和不等式的解法，可得a的范圍．【詳解】橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，可得a>1，由聯立橢圓方程可得，設,可得，線段MN為直徑的圓經過原點，可得OM⊥ON，即有，可得，化為，則，化為，由,可得，即,可得，即有,解得，可得，故選：D.6．D【分析】求出函數的導函數，利用導數有兩個不同的零點，說明函數恰好有三個單調區間，從而求出a的取值范圍．【詳解】解：∵函數f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，由函數f（x）恰好有三個單調區間，得f′（x）有兩個不相等的零點，∴3ax2﹣6x+1＝0滿足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故選D．7．D【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．8．D【分析】設等比數列的公比為，由，，列方程求出，進而可求出，列不等式組可求出的取值范圍【詳解】解：設等比數列的公比為，因為，，所以，解得，所以，所以當時，取得最大值，當時，取得最小值，所以，解得，故選：D9．AC【分析】由題意分別表示兩個圓錐的側面積與矩形面積建立方程，對選項一一分析利用基本不等式處理即可.【詳解】設，，則圓錐M的側面積為，圓錐N的側面積為，則，則，則，得，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的面積的最小值為，此時，所以B錯誤，C正確.矩形ABCD的周長為，當且僅當，即，時，等號成立，所以矩形ABCD的周長的最小值為，此時，所以A正確，D錯誤.故選：AC10．AC【分析】計算焦點的坐標，從而可得的值，判斷選項A，再由已知條件分析可得為等邊三角形，從而得，即可判斷選項B，在，計算的值，即可得，判斷選項C，利用點到準線的距離列式計算點的橫坐標判斷選項D.【詳解】依題意，可得點的坐標為，從而得，A正確；因為點在準線上，軸，，又，為等邊三角形，，如圖，當點在第一象限，得，即直線的傾斜角為，若點在第四象限，同理可得直線的傾斜角為，B錯誤；在中，，，C正確；所以點的橫坐標為，D錯誤.故選：AC．11．AD【分析】根據零點的定義結合二函數的性質逐個分析判斷【詳解】對于A，因為二次函數在上有兩個零點，且，所以，即，所以A正確，對于B，當時，，所以B錯誤，對于C，若，則，此時，則，所以C錯誤，對于D，當時，，即，所以和中至少有一個小于1，當時，或，當時，則，當時，則，所以D正確，故選：AD12．AC【分析】利用互斥事件的定義及性質判斷A選項；利用和事件的關系判斷B選項；利用相互獨立事件的定義及性質判斷C選項；利用條件概率公式，求解事件A與B的積事件，根據獨立事件關系確定A、B的獨立性可判斷D.【詳解】選項A：若A，B為互斥事件，則，，故A正確；選項B：，故B錯誤；選項C：若A，B相互獨立，，故C正確；選項D：，則A，B不相互獨立，故D錯誤；故選：AC.13．【分析】根據模的計算公式可直接求解.【詳解】故填：.14．112【分析】根據已知條件，分別計算出上、下底面面積以及棱臺的高，代入棱臺體積公式進行計算即可得解.【詳解】因為正四棱臺的上底邊長為4，下底邊長為8，側棱長為，所以棱臺的下底面積，上底面積，高，所以正四棱臺的體積.故答案為：112.15．.【解析】先求出圓C1和圓C2公共弦所在的直線方程，再由直線與圓相交求出圓心到直線的距離，然后由勾股定理求解答案.【詳解】由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為又圓C3的圓心坐標為(1，1)，其到直線l的距離為d=，設圓C3的半徑為r，由條件知，，所以弦長為2×.故答案為：16．【分析】由已知條件可得函數的周期，再由周期性和偶函數的性質求值．【詳解】由題意，所以是周期函數，周期是，又是偶函數，所以．故答案為：．17．選①,有兩個解；若選②，有一個解；若選③，無解.【分析】由可得，，再根據選項逐一判斷的大小關系，從而即可得答案.【詳解】解：因為，即有為，所以，所以，所以，即有，若選①：，因為，，即，故有2個解；若選②：，因為，即，故有1個解；若選③：，因為，即，故無解；18．(1)(2)【分析】（1）推導出數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，即可求得數列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）解：因為數列滿足，且，在等式兩邊同時乘以可得，且，所以，數列是以為首項，公差為的等差數列，所以，.（2）解：由（1）可得，所以，，①可得，②①②可得，因此，.19．（1）；（2）（ii）【分析】（1）由分層抽樣確定的設備有3臺，分別記為，，；使用時的設備有1臺，記為，由古典概型列舉求解即可（2）（i）由題意得，由公式求解即可求解（ii）將x=15代入方程求解即可【詳解】（1）由圖1中頻率分布直方圖可知，從2018年成交的該種機械設備中使用時間的臺數為，使用時間的臺數為，按分層抽樣所抽取4臺中，使用時間的設備有3臺，分別記為，，；使用時的設備有1臺，記為，從這4臺設備中隨機抽取2臺的結果為，，，，，，共有6種等可能出現的結果，其中這2臺設備的使用時間都在結果為，，，共有3種，：所求事件的概率為；（2）（i）由題意得，，關于的線性回歸方程為關于的回歸方程為，（ii）由（i）當使用時間時，該種機械設備的平均交易價格的預報值為萬元.，20．（1）為線段的中點，證明見解析；（2）【分析】（1）為線段的中點，取的中點，連接，，，證明，再證明，，可得面，即面，即可求證；（2）以為原點，分別以所在的直線為軸，分別求出平面和平面的一個法向量，利用空間向量夾角公式即可求夾角余弦值，再求正弦值即可.【詳解】（1）為線段的中點，取的中點，連接，，，則，且，因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，點為線段的中點，所以，因為平面，面，所以，因為，所以，因為，所以面，面，所以，因為，，，所以面，所以面，因為面，所以；（2）因為兩兩垂直，以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，，則，，，，，則，，設平面的一個法向量為，由則，解得可得，所以因為面，所以為平面的一個法向量，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為.21．（1），；（2）；（3）不存在，理由詳見解析.【分析】（1）設出直線方程，結合點到直線的距離公式，計算參數，即可得出所求直線方程，注意分斜率存在與否兩種情況討論；（2）求出點P與圓心C之間的距離，再根據逆用弦長公式求出弦心距d，發現，則點P為MN的中點，故以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出a的范圍，再計算的斜率，求出a的值，即可.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，當的斜率存在時，設直線的斜率為，則方程為．依題意得，解得.所以直線的方程為，即．當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.（2）由于，而弦心距，所以．所以為的中點．故以為直徑的圓的方程為．（3）直線，即，代入圓的方程，消去，整理得．由于直線交圓于，兩點，故，解得．則實數的取值范圍是．若存在實數，使得過點的直線垂直平分弦，則圓心