2022-2023學(xué)年河北省承德市藍旗中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是(

)．A．15

B．30

C．31

D．64參考答案：C2.雙曲線﹣=1的焦距是（）A．4 B．6 C．8 D．與m有關(guān)參考答案：C【考點】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】首先判斷雙曲線的焦點在x軸上，求出a2，b2，由c2=a2+b2，計算可得c，即可得到焦距2c．【解答】解：雙曲線﹣=1焦點在x軸上，即有4﹣m2＞0，則a2=m2+12，b2=4﹣m2，c2=a2+b2=16，則c=4，焦距2c=8．故選C．3.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為S,若A,B為區(qū)域S內(nèi)的兩個動點，則的最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.用系統(tǒng)抽樣的方法從160人中抽取容量為20的一個樣本，將160名學(xué)生隨機地編為1，2，3，…160，并按序號順次平分成20組．若從第13組抽得的是101號．則從第3組中抽得的號碼是（）A．17 B．21 C．23 D．29參考答案：B【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)題意設(shè)出在第1組中隨機抽到的號碼，寫出在第16組中應(yīng)抽出的號碼，根據(jù)第13組抽得的是101號，使得101與用x表示的代數(shù)式相等，得到x的值，即可求出從第3組中抽得的號碼．【解答】解：不妨設(shè)在第1組中隨機抽到的號碼為x，則在第12組中應(yīng)抽出的號碼為8×12+x=101，∴x=5．∴第3組中抽得的號碼是8×2+5=21．故選B．5.M（x0，y0）為圓x2+y2=a2（a>0）外的一點，則直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系是（

）A、相切

B、相交

C、相離

D、相切或相交參考答案：B6.過雙曲線的右焦點向其一條漸近線作垂線，垂足為與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

）

A．2 B． C． D．參考答案：D略7.平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】異面直線及其所成的角．【分析】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．

8.為了檢查某高三畢業(yè)班學(xué)生的體重情況，從該班隨機抽取了6位學(xué)生進行稱重，如圖為6位學(xué)生體重的莖葉圖（單位：kg），其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字，右邊是個位數(shù)字，則這6位學(xué)生體重的平均數(shù)為（）A．52 B．53 C．54 D．55參考答案：C【考點】莖葉圖．【專題】計算題；方程思想；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計．【分析】利用平均數(shù)公式求解．【解答】解：由莖葉圖，知：==54．故選：C．【點評】本題考查平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意平均數(shù)公式的合理運用．9.已知命題，其中正確的是

（

）A BC

D參考答案：B略10.直線與直線分別交于P、Q兩點，線段PQ的中點為（1，－1），則直線的斜率為

（

）

A．

B．

C．－

D．－參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，它們的定域，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是

.參考答案：)略12.圓心為C（2，﹣3），且經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓的方程為．參考答案：（x﹣2）2+（y+3）2=13【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】求出圓的半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：圓心為C（2，﹣3），且經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓的半徑為：=．所以申請的圓的方程為：（x﹣2）2+（y+3）2=13．故答案為：（x﹣2）2+（y+3）2=13．13.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1+ai）（2﹣i）是純虛數(shù)（a∈R），則復(fù)數(shù)a+i的共軛復(fù)數(shù)為

．參考答案：-2﹣i【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求得a值，則答案可求．【解答】解：∵（1+ai）（2﹣i）=（a+2）+（2a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a=﹣2．∴a+i=﹣2+i，其共軛復(fù)數(shù)為﹣2﹣i．故答案為：﹣2﹣i．14.設(shè)函數(shù)，存在，使得成立，則實數(shù)a的值是______.參考答案：【分析】將看作動點與定點之間距離的平方，將問題變?yōu)橹本€上的點到的最小距離的求解問題；利用導(dǎo)數(shù)求解出與平行的切線的切點，從而得到最小距離，根據(jù)能成立的不等式可確定和的位置，利用斜率關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】由題意得：可將看作動點與定點之間距離的平方則動點在函數(shù)圖象上，在直線圖象上，令，解得：，上的點到直線的距離最小

若存在，使得成立，則此時，為垂足

本題正確結(jié)果：15.已知雙曲線C的方程為，過原點O的直線與雙曲線C相交于A、B兩點，點F為雙曲線C的左焦點，且，則的面積為．參考答案：916.設(shè)命題p：若a＞b，則＜；命題q：＜0?ab＜0．給出下面四個復(fù)合命題：①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧（￢q）；④（￢p）∨（￢q）．其中真命題的個數(shù)有

個．參考答案：2【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)合命題的真假．【分析】先判斷命題p，q的真假，進而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案．【解答】解：若a＞0＞b，則＞，故命題p為假命題；＜0?ab＜0，故命題q為真命題，故①p∨q為真命題；②p∧q為假命題；③（￢p）∧（￢q）為假命題；④（￢p）∨（￢q）為真命題．故答案為：217.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC＝45°，AB=AD＝1，DC⊥BC，這個平面圖形的面積為______

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，對任意的x∈（0，+∞），滿足，其中a，b為常數(shù)．（1）若f（x）的圖象在x=1處切線過點（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求證：；（3）當(dāng)f（x）存在三個不同的零點時，求a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；53：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由求得a=b，代入原函數(shù)求得則f′（1），再求出f（1）由直線方程點斜式求得切線方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，則由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+的導(dǎo)函數(shù)，分析可知當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0時，由△＞0求得a的范圍．進一步求得導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，分別為，則x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上遞增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，結(jié)合，f（1）=0，可得使f（x）存在三個不同的零點時的實數(shù)a的取值范圍是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．則f（x）=lnx﹣ax+，∴，則f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切線上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）證明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），則=＜0．∴g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，∵x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1時，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．當(dāng)a=0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＜0時，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0時，由△=1﹣4a2＞0，得0．則當(dāng)x∈（0，），（）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（）時，f′（x）＞0．設(shè)，則x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上遞增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三個不同的零點．綜上，使f（x）存在三個不同的零點時的實數(shù)a的取值范圍是（0，）．【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點的方法，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難度較大的題目．19..(本小題滿分12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名,以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9.5分,則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率；(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸福”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：(1)眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75

……………2分(2)設(shè)表示所取3人中有個人是“極幸福”,至多有1人是“極幸福”記為事件,則

……………6分(3)的可能取值為0、1、2、3高.考.資.源+網(wǎng)

………………7分高.

；

；

分布列為

…11分.

…12分另解：的可能取值為0、1、2、3高. …7分

∽B（3,）,.

…9分

分布列為略20.（本題滿分12分）若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．(1)求a和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．參考答案：(1)a＝0，b＝－3;(2)－2(1)因為f(x)＝x3＋ax2＋bx，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.--------------4分經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝0，b＝－3時，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．綜上，所求的a和b的值分別為0，－3.-------------------5分(2)由(1)，知f(x)＝x3－3x，所以g′(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－2，------------------------7分當(dāng)x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下所示：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)g′(x)－0＋0＋g(x)↘極小值↗不是極值↗------------------11分所以x＝－2是函數(shù)g(x)的極小值點，即函數(shù)g(x)的極值點為－2.

-----------------12分21.(本題滿分16分)定義可導(dǎo)函數(shù)的彈性函數(shù)為；在區(qū)間D上，若函數(shù)f(x)的彈性函數(shù)值大于1，則稱f(x)在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間D也稱作f(x)的彈性區(qū)間．(1)若，求的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；(2)對于函數(shù)=（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f(x)的彈性區(qū)間D.參考答案：解：（1），……………1分．

………3分令，解得，所以彈性函數(shù)的零點為.

………5分⑵，函數(shù)定義域為。因為=，

的彈性函數(shù)，

……8分此不等式等價于下面兩個不等式組，(Ⅰ)或(Ⅱ).因①對應(yīng)的函數(shù)就是，由，所以在定義域上單調(diào)增，又，所以①的解為；

………