第七章平面解析幾何第一講直線的傾斜角與斜率、直線方程課標要求考情分析1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)直線的傾斜角、斜率、直線方程是最基本的內容，高考中一般不單獨命題，主要在解答題中與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識進行綜合考查1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍：0°≤α<180°.2.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tan

α.名稱方程適用范圍點斜式y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線x＝x1

和直線y＝y1

截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用3.直線方程的五種形式α0k0k>0不存在k<0【名師點睛】(1)直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：(2)直線的斜率k和傾斜角α之間的函數關系如圖7-1-1.圖7-1-1

考點一直線的傾斜角與斜率答案：A

(2)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，

)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為____________.圖7-1-2【題后反思】

(1)由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時，常借助正切函數y＝tanx在[0，π)上的單調性求解，這里特別要注意，正切函數在[0，π)上并不是單調的.(2)過一定點作直線與已知線段相交，求直線斜率的取值范圍【變式訓練】(多選題)如圖7-1-3，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，)傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項正確的是(

圖7-1-3A.k1＜k3＜k2C.α1＜α3＜α2B.k3＜k2＜k1

D.α3＜α2＜α1答案：AD

考點二直線方程的求法[例2](1)已知點

M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點，將直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，得到的直線方程是()A.x＋y－3＝0C.3x－y＋6＝0B.x－3y－2＝0D.3x＋y－6＝0

解析：設直線l的傾斜角為α，則tanα＝k＝2，直線l繞點M按逆時針方向旋轉45°，所得直線的斜率k′＝tan(α＋45°)＝

2＋11－2×1＝－3，又點M(2，0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.答案：D(2)(多選題)下列說法正確的有()

A.若直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則點(k，b)在第二象限 B.直線y＝ax－3a＋2過定點(3，2)

D.斜率為－2，在y軸截距為3的直線方程為y＝－2x±3

解析：對于A，由直線y＝kx＋b過第一、二、四象限，所以直線的斜率k＜0，截距b＞0，故點(k，b)在第二象限，所以A正確；對于B，由直線方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以無論a取何值點(3，2)都滿足方程，所以B正確；對于C，由點斜式方程，可知過點(2，－1)斜率為－

的點斜式方程為y＋1＝－

(x－2)，所以C正確；由斜截式直線方程得到斜率為－2，在y軸上的截距為3的直線方程為y＝－2x＋3，所以D錯誤.故選ABC.答案：ABC【題后反思】(1)在求直線方程時，應選擇適當的形式，并注意各種形式的適用條件.

(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應先判斷截距是否為零).【變式訓練】1.(2023年東興區校級期中)已知直線l經過點

P(2，1)，且與直線2x＋3y＋1＝0平行，則直線l的方程是()A.2x＋3y－7＝0C.2x－3y－1＝0B.3x＋2y－8＝0D.3x－2y－4＝0

解析：直線l與直線2x＋3y＋1＝0平行，則可設直線l的方程為2x＋3y＋k＝0，∵直線l經過點P(2，1)，∴2×2＋3×1＋k＝0，解得k＝－7，故直線l的方程為2x＋3y－7＝0.故選A.

答案：A

2.求過點A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程.考點三直線方程的綜合應用

[例3]已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.解：(方法一)設直線l的方程為y－1＝k·(x－2)，則可得【題后反思】(1)求解與直線方程有關的最值問題，先根據題意建立目標函數，再利用基本不等式(或函數)求解最值.

(2)求解直線方程與函數相結合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數，借助函數的性質解決問題.

【變式訓練】

已知0＜k＜4，直線L：kx－2y－2k＋8＝0和直線M：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標軸圍成一個四邊形，則這個四邊形面積最小時k值為()A.2B.12C.14D.18

解析：如圖D53所示，直線L：kx－2y－2k＋8＝0即k(x－2)－2y＋8＝0，過定點B(2，4)，與y軸的交點C(0，4－k)，直線M：2x＋k2y－4k2－4＝0，即2x＋k2(y－4)－4＝0，過定點(2，4)，與x軸的交點A(2k2＋2，0)，由題意，四邊形的面積等于三角形