在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，叫做元素的代數余子式．如，一、余子式與代數余子式定義：記作：行列式的每一個元素都對應一個余子式和代數余子式在階行列式中，把元素所在的第行和1引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即．如，二、行列式按行（列）展開法則引理：一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都2證：10當位于第一行第一列時,即有：20

再證一般情形,此時又證：10當位于第一行第一列時,即有：3得得4得得5證：或定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即：證：或定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的6同濟線性代數--第一講課件7證：推論：

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即：證：推論：行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元8同理相同同理相同9代數余子式的重要性質注：代數余子式的重要性質注：10例1計算例1計算11例2

計算n

階行列式例2計算n階行列式12證：用數學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證：用數學歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)13同濟線性代數--第一講課件14

n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數學歸納法n-1階范德蒙德行列式注：此結論可直接使用。數學歸納法15如，如，16§7克拉默法則§7克拉默法則17設方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.一、線性方程組線性設方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組;此18二、克拉默法則如果線性方程組的系數行列式不等于零，即二、克拉默法則如果線性方程組的系數行列式不等于零，即19其中是把系數行列式中第列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為其中是把系數行列式中第列的元素用方20例1

用克拉默法則解方程組解:例1用克拉默法則解方程組解:21同濟線性代數--第一講課件22同濟線性代數--第一講課件23三、重要定理如果線性方程組(1)的系數行列式則(1)一定有解,且解是唯一的.定理1如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，定理2則它的系數行列式必為零，即：三、重要定理如果線性方程組(1)的系數行列式24四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零解與非零解注：齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。四、齊次線性方程組的相關定理1.齊次線性方程組的零25定理：

如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數行列式必為零,即：

如果齊次線性方程組（2）的系數行列式定理：則齊次線性方程組（2）沒有非零解。2.重要性質定理：如果齊次線性方程組（2）有非零解,則它的系數行列式必26例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？例2問取何值時，齊次線性方程組有非零解？27解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或解：齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.或28

1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.小結3.克拉默法則及其重要性質1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列29