微分方程模型傳染病模型2

經濟增長模型04十月2023動態模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規律

預報對象特征的未來性態

研究控制對象特征的手段

根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分方程建模

根據建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內在規律或用類比法建立微分方程04十月20231傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數的變化規律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型04十月2023

已感染人數(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為

模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?04十月2023模型2區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型04十月2023模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大04十月2023模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱為接觸數。04十月2023模型3i0i0接觸數

=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數不超過病人數1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<004十月2023模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者SIR模型假設1）總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數

=/建模需建立的兩個方程04十月2023模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質04十月2023模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析04十月2023si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減

相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/σ

i(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)單調降至01/σ~閾值P3P4P2S004十月2023模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛生水平

(日治愈率)

醫療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫04十月2023模型4SIR模型被傳染人數的估計記被傳染人數比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/σ

降低被傳染人數比例xs0-1/

=

04十月20231504十月2023新產品銷售模型經濟學家和社會學家們一直關注新產品的銷售速度問題，希望能建立一個數學模型來描述它，并用來指導生產。記t時已售出的產品數為x(t)。假設該產品使用方便，這些正在使用的新產品實際上起著宣傳品的作用，吸引著尚未購買的顧客，使每一個新產品實際上在單位時間內平均吸引r個顧客，由此得到下列關系式：16把它變形寫成微分的形式：兩邊積分得：即若x(0)=x0，則可得銷售函數為積分結果為：04十月20231704十月2023

當通過努力已有x0的產品投入使用，這時函數x(t)=x0ert使在開始的階段能較好地反映真實的銷售情況。但這個函數有缺陷：①取t=0表示新產品誕生的時刻，即x(0)=0，這時銷售函數為x(t)=0，顯然不符合事實。原因是我們只考慮了實物廣告的作用，而忽略了廠家可以通過其它方式宣傳新產品，從而打開銷路的可能性。②在x(t)=x0ert中，若令t→+∞，則有x(t)→+∞，這也與事實不符。事實上，x(t)應該有一個上界。設需求量的上界為K，則尚未使用新產品的戶數為K-x(t)。由統計規律可知，1804十月2023兩邊積分得：寫成顯函數為若x(0)=x0，則可得銷售函數為其圖像稱為增長曲線或Logistic曲線。1904十月2023直接求導是麻煩的，我們轉而考慮2004十月2023

由以上討論可知，當銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度越來越大；當銷售量大于最大需求量的一半時，銷售速度越來越小。而當銷售量等最大需求量的一半時，銷售速度最大，產品最暢銷。國外學者普遍認為，對于某一新產品，當有30﹪~80﹪的用戶采用時，正是該產品大批量生產的合適期。當然，還應注意在初期可小批量生產并輔以廣告宣傳，而后期則應適時轉產或開發新產品，這樣可以使廠家獲得較高的經濟效益。5.2

經濟增長模型增加生產發展經濟增加投資增加勞動力提高技術

建立產值與資金、勞動力之間的關系

研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大

調節資金與勞動力的增長率，使經濟(生產率)增長1.道格拉斯(Douglas)生產函數

產值Q(t)F為待定函數資金K(t)勞動力L(t)技術f(t)=f0模型假設靜態模型每個勞動力的產值每個勞動力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產函數含義？Douglas生產函數QK~單位資金創造的產值QL~單位勞動力創造的產值

~資金在產值中的份額1-

~勞動力在產值中的份額