空間角-求面面夾角（第3課時）1.求面面夾角⑴定義二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的兩個面。二面角的平面角：從二面角的棱上任一點(diǎn)在它的兩個面內(nèi)各引一條垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，叫做這個二面角的平面角。（2） 求面面夾角的步驟如下：①找出或作出二面角的平面角；②證明其確實(shí)是所求的面面夾角；③計算平面角的值，一般均在三角形中進(jìn)行。（3） 向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。隨著新教材中向量工具的引入，立體幾何的解題更加靈活多樣，這為那些空間想象能力較差的同學(xué)提供了機(jī)遇。利用平面的法向量幾乎可以解決所有的立幾計算和一些證明的問題，尤其在求點(diǎn)面距離、空間的角（斜線與平面所成的角和二面角）時，法向量有著它獨(dú)有的優(yōu)勢，以下舉例全面剖析在立幾中如何用法向量求二面角。利用法向量求二面角的大小的原理:設(shè)n設(shè)n,n2分別為平面a,P的法向量二面角a-1-P的大小為0，向量的夾角為卬，則有。+的夾角為卬，則有。+中=冗（圖1）或0=9（圖2）圖1基本結(jié)論構(gòu)成二面角的兩個平面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角等于這個二面角的平面角.

如何求平面的一個法向量：例題1:如圖3,在正方體ABCD-A1B（C1D1中G、E、F分別為AA「AB、BC的中點(diǎn)，求平面GEF的法向量。TOC\o"1-5"\h\z1略解：以D為原點(diǎn)建立右手空間直角坐標(biāo)系，則E（1， ,0）、F（，1,0）、21 1— 1 1G(1,0，L)由此得:GE=(0 --)FE=(-,--0)\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 .. , —4?設(shè)平面的法向量為n=（x,y,乙）由n1GE及n1fe可得? 1 1n?GE=y一z=02 2— ■ 11n?FE=x一y=02 2令y=1取平面的一個法向量為n=（1,1,1）評析因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄坑袩o數(shù)個，方向可上可下，模可大可小，我們只要求出平面的某一個法向量（教簡單的）即可。法向量的應(yīng)用舉例:AB=2，BC=4，AA1=2,點(diǎn)Q是BC的例題4.在長方體ABCD—A1B1C1DAB=2，BC=4，AA1=2,點(diǎn)Q是BC的解如圖2,建立空間直角坐標(biāo)系.依題意：A1（0，0，2），D（0，a，0）.?.?Q（2，2，0），D（0，4，0），???AQ=（2,2,-2）,QD=（-2,20）.面AA1D的法向量7=（1,0,0）.設(shè)面A]DQ的法向量n=（a,a,a），

n?AQ=n?AQ=2a+2a—2a=0,- 1 一 一 一n?QD=—2a+2a=0,??n=(a,a,2a)-??cos<n,n>=——1-—2nn??cos<n,n>=——1-—2nn12n-n1.斥—6二面角的平面角為銳角???二面角A—A1D—Q的大小為arccos?評析(1)用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找一一證一一求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這在一定程度上降低了學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到不用作圖就可以直接計算的目的,更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。(2)此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若令a=—1，則n=(—1,—1,—2)，?cos<n,n>=一^6，?.二面角A—AD—Q1 2 1'2 6 1的大小是<n,n>=n-arccos^6的補(bǔ)角arccos^。所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。評析上題中的兩個平面的法向量是符合“一進(jìn)一出”的，所以它們的夾角就等于所求的二面角的大小。可見通過判斷法向量的方向，就可以解決直觀不能判斷二面角的銳或鈍的情況。將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)