專題10數學思想第

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講

數形結合思想專題10數學思想第2講數形結合思想數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；②借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.思想方法解讀數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍.數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合.如：銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數是借助于直角坐標系或單位圓來定義的.數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合.如：銳角三角函體驗高考高考必會題型高考題型精練欄目索引體驗高考高考必會題型高考題型精練欄目索引體驗高考解析答案1231.(2015·北京改編)如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________________.{x|－1＜x≤1}解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函數g(x)的圖象如圖.∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.體驗高考解析答案1231.(2015·北京改編)如圖，函數1232.(2015·課標全國Ⅱ改編)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是________________.解析答案(－∞，－1)∪(0,1)1232.(2015·課標全國Ⅱ改編)設函數f′(x)是奇函123解析因為f(x)(x∈R)為奇函數，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上為減函數，在(－∞，0)上為增函數.所以在(0，＋∞)上，解析123解析因為f(x)(x∈R)為奇函數，f(－1)＝0，123綜上，得使f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1).123綜上，得使f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1123解析答案3.(2015·重慶)若函數f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實數a＝________.解析由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，當a>－1時，作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數f(x)的圖象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，當a≤－1時，－a－1＝5，∴a＝－6.4或－6返回123解析答案3.(2015·重慶)若函數f(x)＝|x＋1高考必會題型題型一數形結合在方程根的個數中的應用根據對稱性可知，在第三象限也有3個交點，再加上原點，共7個交點，7解析答案點評高考必會題型題型一數形結合在方程根的個數中的應用根據對稱點評利用數形結合求方程解應注意兩點(1)討論方程的解(或函數的零點)可構造兩個函數，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解.(2)正確作出兩個函數的圖象是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數形結合.點評利用數形結合求方程解應注意兩點解析答案

(－∞，0]解析答案(－∞，0]解析當x>0時，f(x)＝lnx與x軸有一個交點，即f(x)有一個零點.則兩函數圖象在x≤0時只能有一個交點.解析解析當x>0時，f(x)＝lnx與x軸有一個交點，則兩函顯然k>0不符合題意.綜上，所求實數k的取值范圍是(－∞，0].顯然k>0不符合題意.綜上，所求實數k的取值范圍是(－∞，0題型二利用數形結合解決不等式函數問題點評解析答案(0,1)題型二利用數形結合解決不等式函數問題點評解析答案(0,1)此時f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，且0<f(x)≤1.當x<2時，f(x)＝(x－1)3，此時f(x)過點(1,0)，(0，－1)，且在(－∞，2)上單調遞增.當x→2時，f(x)→1.如圖所示作出函數y＝f(x)的圖象，由圖可得f(x)在(－∞，2)上單調遞增且f(x)<1，點評解析此時f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，點評解析點評f(x)在[2，＋∞)上單調遞減且0<f(x)≤1，故當且僅當0<k<1時，關于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實根，即實數k的取值范圍是(0,1).點評f(x)在[2，＋∞)上單調遞減且0<f(x)≤1，利用數形結合解不等式或求參數的方法求參數范圍或解不等式問題經常聯系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個(或多個)函數，把兩個函數圖象的上、下位置關系轉化為數量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答.點評利用數形結合解不等式或求參數的方法點評解析答案變式訓練2

若存在正數x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是___________.在直角坐標系中，作出函數f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0時的圖象，如圖.當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1.(－1，＋∞)解析答案變式訓練2若存在正數x使2x(x－a)<1成立，則題型三利用數形結合求最值點評解析答案例3

已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是________.解析如圖，∴O、A、C、B四點共圓.題型三利用數形結合求最值點評解析答案例3已知a，b是平面利用數形結合求最值的方法步驟第一步：分析數理特征，確定目標問題的幾何意義.一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數式是否具有幾何意義.第二步：轉化為幾何問題.第三步：解決幾何問題.第四步：回歸代數問題.第五步：回顧反思.點評點評利用數形結合求最值的方法步驟點評點評應用幾何意義數形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離.應用幾何意義數形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數形返回

解析答案即m的最大值為6.6返回

解析答案即m的最大值為6.6高考題型精練12345678910解析答案1.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是____________.解析設直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，若直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則圓心到直線的距離小于等于半徑，高考題型精練12345678910解析答案1.若過點A(12345678910解析答案解析畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為QA2＝16.∴取值范圍是[2,16].[2,16]12345678910解析答案解析畫出可行域如圖，∴取值范12345678910解析答案3.已知函數f(x)滿足下列關系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx的解的個數是________.解析由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數.方程f(x)＝lgx的解的個數即為函數f(x)的圖象與函數g(x)＝lgx的圖象的交點個數.畫出兩函數圖象，由圖象可知共9個交點.912345678910解析答案3.已知函數f(x)滿足下列關12345678910解析答案

解析作出f(x)在區間(－2,6]上的圖象，12345678910解析答案

解析作出f(x)在區間(－12345678910解析答案5.已知函數f(x)＝|4x－x2|－a，當函數有4個零點時，則a的取值范圍是__________.解析∵函數f(x)＝|4x－x2|－a有4個零點，∴方程|4x－x2|＝a有4個不同的解.令g(x)＝|4x－x2|作出g(x)的圖象，如圖，由圖象可以看出，當h(x)＝a與g(x)有4個交點時，0<a<4，∴a的取值范圍為(0,4).(0,4)12345678910解析答案5.已知函數f(x)＝|4x－12345678910解析答案

12345678910解析答案

12345678910解析答案7.設f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是___________.解析由于函數f(x)＝|lg(x－1)|的圖象如圖所示.由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，(4，＋∞)12345678910解析答案7.設f(x)＝|lg(x－112345678910解析答案在直角坐標系中作出該函數的圖象，如圖中實線所示.根據圖象可知，當0<k<1或1<k<4時有兩個交點.(0,1)∪(1,4)12345678910解析答案在直角坐標系中作出該函數的圖象12345678910解析答案212345678910解析答案212345678910對應的平面區域Ω為圖中的四邊形ABCD(含邊界)，12345678910對應的平面區域Ω為圖中的四邊形ABCD1234567891010.給出下列命題：①在