第2章投影主要介紹:三維圖形的基本問題投影變換三維圖形的顯示流程圖1三維圖形的基本問題1.在二維屏幕上如何顯示三維物體？顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法----投影三維顯示設備正在研制中2.如何表示三維物體？二維形體的表示----直線段,折線,曲線段,多邊形區域二維形體的輸入----簡單（圖形顯示設備與形體的維數一致）2三維圖形的基本問題三維形體的表示----空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片三維形體的輸入、運算、有效性保證----困難解決方法----各種用于形體表示的理論、模型、方法3.如何反映遮擋關系？物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關系遮擋關系是空間位置關系的重要組成部分解決方法----消除隱藏面與隱藏線3三維圖形的基本問題4.如何產生真實感圖形?何謂真實感圖形逼真的示意的人們觀察現實世界產生的真實感來源于空間位置關系----近大遠小的透視關系和遮擋關系光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法----建立光照明模型、開發真實感圖形繪制方法4三維圖形的基本問題三維圖形的基本研究內容投影三維形體的表示消除隱藏面與隱藏線建立光照明模型、開發真實感圖形繪制方法5第2章投影主要介紹:三維圖形的基本問題投影變換

三維圖形的顯示流程圖6投影變換投影變換:把三維物體變為二維圖形表示的過程稱為投影變換。7平面幾何投影投影分類投影中心與投影平面之間的距離為無限

投影中心與投影平面之間的距離為有限

根據投影方向與投影平面的夾角根據投影平面與坐標軸的夾角8平面幾何投影透視投影

平行投影

9平面幾何投影-平行投影平行投影

投影中心與投影平面之間的距離為無限因此，只需給出投影方向即可是透視投影的極限狀態10平面幾何投影-平行投影根據投影線方向與投影平面的夾角，平行投影分為兩類：正平行投影與斜平行投影正平行投影包括：正投影（三視圖）和正軸側投影 三視圖：三個投影面和坐標軸相互垂直。 正軸側：投影面和坐標軸呈一定的關系。

11平面幾何投影-平行投影三視圖：正視圖、側視圖和俯視圖

12正平行投影-三視圖把三維空間的圖形在三個方向上所看到的棱線分別投影到三個坐標面上。再經過適當變換放置到同一平面上。

zyxa2c2b2a1b1c113正平行投影-三視圖變換矩陣(其中(a,b)為u、v坐標下的值)正視圖uzyyxozyyxoo’vtztztxtxtyty(a,b)14正平行投影-三視圖俯視圖：

uzyyxozyyxoo’vtztztxtxtyty(a,b)zyxa2c2b2a1b1c115正平行投影-三視圖側視圖uzyyxozyyxoo’vtztztxtxtyty(a,b)zyxa2c2b2a1b1c116正軸測投影當投影方向不取坐標軸方向，投影平面不垂直于坐標軸時，產生的正投影稱為正軸測投影。正軸測投影分類：正等測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿三個軸線具有相同的變形系數。17正軸測投影正二測：投影平面與兩個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿兩個軸線具有相同的變形系數。18正軸測投影正三測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都不相等。沿三個軸線具有各不相同的變形系數。19正軸測投影正軸測投影的形成過程如下：將空間一立體繞繞y軸旋轉θy角然后再繞x軸旋轉θx最后向z=0平面做正投影由于這種投影的投影平面不與立體的軸線垂直，同時可見到物體的多個面，因而可產生立體效果。經過正軸測投影變換后，物體線間的平行性不變，但角度有變化。20正軸測投影正軸測投影變換矩陣的一般形式：21正二測和正等測下面主要討論正二測和正等測的投影變換矩陣，即確定變換矩陣中的θx角和θy角。如何度量沿三個軸線方向的變形系數呢？22正二測和正等測∴正二側投影需滿足：

假定Z軸上的單位矢量經變換后長度變為1/2；即取Z軸的變形系數恒為1/2：可得：θx=20。42’,θy=19。28’。變換矩陣為23正二測和正等測正等側投影需滿足：

求得：正等測圖的變換矩陣為24斜平行投影

投影線與投影平面不垂直斜等測投影投影平面與一坐標軸垂直投影線與投影平面成45°角與投影平面垂直的線投影后長度不變斜二測投影投影平面與一坐標軸垂直投影線與該軸夾角成arcctg(1/2)角該軸軸向變形系數為?。即與投影平面垂直的線投影后長度變為原來的一半。25斜平行投影斜等測投影和斜二測投影26斜平行投影求法1．

已知投影方向矢量為（xp,yp,zp）設形體被投影到XOY平面上形體上的一點(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)∵投影方向矢量為(xp,yp,zp)∴投影線的參數方程為：yzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,zp

)27斜平行投影求法因為所以

若令

yzx(xs,ys)(x,y,z)(xp,yp,zp

)28斜平行投影求法則矩陣式為：29斜平行投影求法2．設（xe,ye,ze）為任一點，（xs,ys）為（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影設立方體上一點

P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P'(lcosα,lsinα,0),投影方向為PP',PP'與投影面的夾角為β,

α為投影與x軸的夾角，則投影方向矢量為(lcosα,lsinα,-1)zcαycxcP’P(0,0,1)βl30斜平行投影求法現考慮任一點（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys）∵投影方向與投影線PP’平行所以

zcαycxcP’P(0,0,1)βl31斜平行投影求法矩陣形式為：斜等側中：l=1,β=45

斜二側中：l=1/2,β=arctgα=63.4

正平行投影：l=0,β=90

zcαycxcP’P(0,0,1)βl32透視的基本知識透視投影是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察外界的景物時，常會看到一些明顯的透視現象。如：我們站在筆直的大街上，向遠處看去，會感到街上具有相同高度的路燈柱子，顯得近處的高，遠處的矮，越遠越矮。這些路燈柱子，即使它們之間的距離相等，但是視覺產生的效果則是近處的間隔顯得大，遠處的間隔顯得小，越遠越密。觀察道路的寬度，也會感到越遠越窄，最后匯聚于一點。這些現象，稱之為透視現象。產生透視的原因，可用下圖來說明：33透視的基本知識圖中，AA',BB',CC'為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點E去看，發現∠AEA

>∠BEB

>∠CEC

若在視點E與物體間設置一個透明的畫面P,讓P通過AA'，則在畫面上看到的各電線桿的投影aa'>bb'>cc'aa'即EA,EA'與畫面P的交點的連線;bb'即為EB，EB'與畫面P的交點的連線。cc'

即為EC，EC'與畫面P的交點的連線。∴近大遠小34透視的基本知識若連a,b,c及a',b',c'各點，它們的連線匯聚于一點。然而，實際上，A,B,C與A

，B

，C

的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間不平行于畫面(投影面）的一切平行線的透視投影，即a,b,c與a',b',c'的連線，必交于一點，這點我們稱之為滅點。35平面幾何投影-透視投影透視投影投影中心與投影平面之間的距離為有限滅點：不平行于投影平面的平行線，經過透視投影之后收斂于一點，稱為滅點.主滅點:平行于坐標軸的平行線產生的滅點。一點透視兩點透視三點透視特點：產生近大遠小的視覺效果，由它產生的圖形深度感強，看起來更加真實。

36透視投影主滅點數是和投影平面切割坐標軸的數量相對應的,即由坐標軸與投影平面交點的數量來決定的。如投影平面僅切割z軸，則z軸是投影平面的法線，因而只在z軸上有一個滅點，平行于x軸或y軸的直線也平行于投影平面，因而沒有滅點。yxzo37一點透視（平行透視）人眼從正面去觀察一個立方體，當z軸與投影平面垂直時，另兩根軸ox,oy軸平行于投影平面。這時的立方體透視圖只有一個滅點，即與畫面垂直的那組平行線的透視投影交于一點。38二點透視（成角透視）人眼觀看的立方體是繞y軸旋轉一個角度之后，再進行透視投影。三坐標軸中oy軸與投影平面平行，而其它兩軸與畫面傾斜，這時除平行于oy軸的那組平行線外，其它兩組平行線的透視投影分別在投影平面的左右兩側，作出的立方體透視圖產生兩個滅點。39三點透視（斜透視）

此時，投影平面與三坐標軸均不平行。這時的三組平行線均產生滅點。40透視舉例41一點透視投影的變換矩陣1)

一點透視設z軸上有一觀察點（即視點）V(0,0,h)從V點出發將物體上的點P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P'(x',y',0)由相似三角形可知：

42一點透視投影的變換矩陣令:43一點透視投影的變換矩陣這是變換矩陣為的齊次坐標變換

它可以看作是先作變換

44一點透視投影的變換矩陣再做變換

的合成。45一點透視投影的變換矩陣在透視變換Mr下有：46一點透視投影的變換矩陣當z→

時，x

→0,y

→0,z

→-h∴(0,0,-h)為該透視的一個滅點。同樣，視點在(h,0,0)的透視變換，滅點在(-h,0,0)變換矩陣為47一點透視投影的變換矩陣視點在(0,h,,0)的透視變換，滅點在(0,-h,0)變換矩陣為48一點透視投影的變換矩陣在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用49一點透視投影的變換矩陣當p、q、r中有一個不為0時的變換。假定q!=0,p=r=0.對空間上任一點(x,y,z)進行透視變換結果如下：對該結果進行規范化處理后，便得：50一點透視變換的幾何意義當y=0時：

x’=xy’=0z’=z

即處于y=0平面上的點，經過透視變換后沒有變化。當y=∞時

x’=0y’=1/qz’=0

即當y->∞所有點的變換結果都集中到Y軸的1/q處，也即所有平行于Y軸的直線，變換后都將沿伸相交于該點。該點即為滅點。51二點透視投影的變換矩陣２)

二點透視在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用當p、q、r中有兩個不為0時的透視變換稱為二點透視變換。假定p!=0,r!=0,q=0;

將空間上一點(x,y,z)進行變換，可得如下結果：52二點透視投影的變換矩陣由上式可看出：當x->∞時，在X軸上1/p處有一個滅點；當z->∞時，在Z軸上1/r處有一個滅點；經齊次化處理后得：53三點透視投影的變換矩陣３)

三點透視類似，若p,q,r都不為0，則可得到有三個滅點的三點透視。經齊次化處理后得：54三點透視投影的變換矩陣由上式可看出：當x->∞時，在X軸上1/p處有一個滅點；當y->∞時，在Y軸上1/q處有一個滅點;當z->∞時，在Z軸上1/r處有一個滅點；55透視投影的技巧

一點透視圖的生成在生成一點透視圖時，為了避免將物體安置在坐標系原點，而產生下圖所示的透視效果，通常在透視變換前，先將立體作一平移變換。56透視投影的技巧其變換過程如下：1）先作平移變換；2）再作透視變換；3）最后將結果投影到投影面。由于往XOZ平面上投影，故一點透視變換的滅點選在Y軸上。以下是其變換公式。57透視投影的技巧58透視投影的技巧二點透視投影圖的生成當立體經透視變換后，若直接投影到V面上，可能其立體效果并不理想，所以，在透視變換后，對變換結果繞Z軸旋轉后，以使物體軸線不與投影面垂直，再向V面上投影其效果會更好。變換過程如下：1）先對立體進行二點透視變換；2）再把變換結果繞Z軸旋轉一角度；3）最后將上述變換結果投影到投影面上。59透視投影的技巧三點透視投影圖生成與二點透視投影圖生成變換理由一樣，在透視變換后，先對變換結果作旋轉變換，以保證透視投影面與物體上的三個坐標軸均不平行，從而獲得立體效果更好的透視投影圖。變換過程如下：

1）首先對物體作三點透視變換；

2）將透視變換結果繞Z軸旋轉一角度α3）再繞X軸旋轉一β角；

4）將上述結果投影到投影面。60第2章投影主要介紹:三維圖形的基本問題投影變換三維圖形的顯示流程圖61三維圖形的顯示流程圖顯示流程圖觀察變換：從世界坐標系到觀察坐標系的變換62三維圖形的顯示流程圖何時裁剪投影之前裁剪----三維裁剪優點只對可見的物體進行投影變換缺點三維裁剪相對復雜投影之后裁剪----二維裁剪優點二維裁剪相對容易缺點需要對所有的物體進行投影變換63三維圖形的顯示流程圖采用二維裁剪的三維圖形顯示流程圖在投影之前裁剪的理由三維物體的表面通常被離散表示成多邊形或折線，而對這類簡單圖元，三維裁剪同樣比較簡單。三維圖形在顯示過程中需要被消隱，做這個工作要有圖形的深度信息，所以必須在投影之前完成。消隱很費時，如果在此之前裁剪（或部分裁剪）掉不可見的圖形，可使需要消隱的圖形減至最小。64三維圖形的顯示流程圖（1）模型變換將模型坐標系下定義的圖形變換到世界坐標系下表示。（2）觀察變換將世界坐標系下定義的圖形變換到觀察（視點）坐標系下表示。（3）視見體裁剪裁剪掉視見體（四棱臺）外的圖形。（4）投影變換將視見體內的圖形透視投影到投影平面上，以規格化設備坐標系定義。

65觀察變換的變換矩陣設觀察點在世界坐標系中任一位置，用球面坐標表示（D，θ，φ）。

觀察者坐標系：

Ze—指向世界坐標系的原點

Xe—指向觀察者的右方

Ye—指向觀察者的上方 求空間某一點P(x,y,z)在觀察者坐標系和投影平面坐標系中的表達式。(如下圖)66觀察變換的變換矩陣點P在投影平面上的正透視投影67觀察變換的變換矩陣使用矩陣變換的方法： 設在推導過程中的過渡坐標系為X”Y”Z”目前的位置為： 然后進行如下四步變換。68觀察變換的變換矩陣從自然坐標系過渡到觀察者坐標系的四個變換步驟69從自然坐標系過渡到觀察者坐標系的四個變換步驟觀察變換的變換矩陣70觀察變換的變換矩陣第一步：將坐標系XYZ平移至Oe點處，形成過渡坐標系X”Y”Z”(見上圖a)，其變換矩陣有：71觀察變換的變換矩陣第二步：將過渡坐標系繞Z’’軸順時針方向旋轉90o－θ

角，結果使Y”軸與Z軸相