PAGE18淺談一階微分方程的初等解法1基本概念微分方程就是聯系著自變量、未知函數及其導數（或微分）的關系式.如（其中，為自變量，為未知函數）；（1.1）（為自變量，為未知函數）；（1.2）微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數稱為微分方程的階數，例如方程（1.1）它含有未知數及它的一階導數，這樣的方程稱為一階常微分方程，方程（1.2）為二階常微分方程.一階常微分方程一般形式可表示為（1.3）如果（1.3）能解出y＇，則得到（1.4）或(1.5)(1.3)稱為一階隱微分方程，（1.4）稱為一階顯微分方程，（1.5）稱為微分形式的一階方程.如果函數代入方程（1.3）后，能使它變為恒等式，則稱函數為方程（1.3）的解.定義我們把含有一個任意常數的解稱為一階微分方程（1.3）的通解.本文主要介紹一階常微分方程的初等解法.2一階顯微分方程的初等解法2.1恰當方程2.1.1恰當方程考慮微分形式的一階方程（1.5）如果方程（1.5）的左端恰好是某個二元函數的全微分，即（2.1）則稱（1.5）為恰當方程.容易驗證，（1.5）的通解就是（c為任意常數）（2.2）定理方程(1.5）為恰當方程的充要條件（2.3）且恰當方程（1.5）的通解為（2.4）例1求通解解這里且所以該方程是恰當方程.解法1現在求使它同時滿足如下兩個方程(2.5)(2.6)由(2.5)對積分,得到(2.7)為了確定,將（2.7）對求導數,使它滿足(2.6),即得故,積分后得,將代入(2.7),得到因此，方程的通解為（為任意常數）.解法2代入通解公式可得，即，所以方程的通解為（為任意常數）.2.1.2分項組合法往往在判斷方程是恰當方程后，并不需要按照上述一般方法來求解，而是采取“分項組合”的辦法，先把那些本身已構成全微分的項分出，再把剩下的項湊成全微分.這種方法要求熟記一些簡單二元函數的全微分，如：，，，，，.例2求方程的通解.解這里，，且，，因此方程是恰當方程解法1現在求使它同時滿足如下兩個方程（2.8）（2.9）由(2.8)對積分,得到（2.10）為了確定,將（2.10）對求導數,使它滿足(2.9),即得，故，積分后得，將代入（2.10）得到：因此，方程的通解為（為任意常數）.解法2把方程重新“分項組合”，得到即，于是得因此方程的通解為（為任意常數）.2.1.3恰當方程的新解法定理2對于恰當方程（1.5），若,（2.11）且中的每一項必含；中的每一項必含，則可得方程的通解為或且（這里是任意常數）.證明，顯然已構成全微分，由（2.3）、（2.11）得則也是恰當方程，所以構成全微分.設的通解為我們證明或由恰當方程的解法得（2.12）只需證明即可，（這里是任意常數）.（2.12）兩邊對求偏導由恰當方程得下面證明當時，顯然有，當時，中至少有一項是只含的函數，與所設的中的每一項必含矛盾.所以.同理.則，即，由“分項組合”法得，方程的通解為或（這里，是任意常數）.證畢當判定方程（1.5）為恰當方程后，則一定存在函數，使，上面當對求偏導數時，中含的項在中以各自的導數仍出現，而中只含和常數的項在中不出現；當對求偏導數時，中含的項在只也以各自的導數出現，而中只含和常數的項在中不出現.而中既含也含的項即和的交叉項在、中都出現了.現在對求積分（是參變量）；對求積分（是參變量）.然后取“并集”就得到了中除常數項外的所有項，由此就得到了通解.例3求的通解.解，,，因此方程是恰當方程解法1把方程重新“分項組合”，得到，即于是，，因此方程的通解為（為任意常數）.解法2對求積分，對求積分取“并集”得方程的通解為.（是任意常數）.例4求的通解解,，因此方程是恰當方程解法1把方程重新“分項組合”，得到即，于是，，因此方程的通解為（為任意常數）.解法2對求積分,對求積分取“并集”得方程的通解為（是任意常數）.2.1.4恰當方程與積分因子上面介紹了恰當方程的解法，但是，方程（1.5）未必都是恰當方程.當（1.5）不是恰當方程的時候，在一定的條件下，我們可以把它化為恰當方程.為此我們引進積分因子的定義：假如存在連續函數，使得方程（2.13）為恰當方程，我們就把稱為方程（1.5）的積分因子.根據上節可知，函數為（1.5）的積分因子的充要條件是即（2.14）這是一個以為未知函數的一階線性偏微分方程.如果對于方程（1.5）存在只與有關的積分因子，則，這時方程（2.14）變為即，由此可知方程（1.5）有只與有關的積分因子的充要條件是，這里僅為的函數，假設此條件成立，則方程（1.5）的一個積分因子為（２.15)同理方程(1.5)有只與有關的積分因子的充要條件是,這里僅是的函數,則方程(1.5)的一個積分因子為.注：方程（1.5）的二元函數的積分因子在此不詳加討論，可具體問題具體分析.例5求解方程.解因為,故原方程有只與有關的積分因子,以乘方程兩邊,得到于是方程的通解為(為任意常數).2.2變量分離方程2.2.1變量分離方程形如（2.16）的方程，其特點是，右邊是一個的函數與一個的函數的乘積，我們稱這類方程為變量分離方程.方程（2.16）的求解方法為：將（2.16）改寫為這樣，變量就“分離”開來了，兩邊積分，得到（2.17）這里我們把積分常數也明確寫出來，而把，分別理解為，的某一個原函數，因而常數的取值必須以（2.17）有意義為前提.把（2.17）作為確定是的隱函數的關系式，于是，對于任一常數，微分方程（2.17）的兩邊，就知（2.17）所確定的隱函數滿足方程（2.16），因而（2.17）是（2.16）的通解.特別地，如果存在，使，直接代入，可知也是（2.16）的解，可能它不包含在方程的通解（2.17）中，必須予以補上.例6求解方程解將變量分離，得到 兩邊積分，即得解出y，得到通解（是任意常數）另外，方程還有解，它不包含在通解中.例7求解方程解此方程可改寫為將變量分離，得到兩邊積分，即得（為任意常數）將任意常數寫成的形式是為了方便.由此得方程的通解為另外，方程還有解，所以在通解中，任意常數也可以為零.例求方程（2.18）的通解，其中是的連續函數.解將變量分離，得到，兩邊積分，即得（是任意函數），由對數定義，，即令，得到（2.19）另外方程還有解，它含在通解中，故可不寫.2.2.2可化為變量分離方程的類型（1）形如（2.20）的方程，其特點是，它的右端是一個以為為變元的函數，這種類型的方程稱為齊次方程，這里是的連續函數.方程（2.20）的求解方法為：作變量變換,則，，代入方程（2.20)，則方程變為整理后可得：（2.21）方程（2.21）是一個變量分離方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原來的變量，即可得方程（2.20）的解.例9求解方程.解將方程改寫為這是齊次方程，以及代入，則原方程變為分離變量得兩邊積分得或（為任意常數）將代入，得原方程的通解（為任意常數）另外方程還有解，即也是方程的解.例10求解方程解將方程改寫為這是齊次方程，以及代入，則原方程變為分離變量得兩邊積分得將代入，得原方程的通解（為任意常數）（2）形如（2.22）的方程（其中a，b（b0）為常數）.這種類型的方程的解法為：作變量變換，則，將其帶回方程（2.22），則方程變為（2.23）方程（2.23）是一個變量分離方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原來的變量，即可得方程（2.22）的解.例11求解方程解將方程改寫為令，則，代入原方程，則得分離變量得兩邊積分得（為任意常數）將代入，得原方程的通解為（為任意常數）（3）形如（2.24）的方程（其中都是常數）.我們分三種情況討論：的情形.這時方程可化為這是齊次方程，作變換，則方程就化為變量分離方程.不全為0，且，即的情形.不妨設，則方程可寫為作變換，則方程就化為變量分離方程.例12求解方程.解方程可改寫為，令，則，將其代入原方程則得變量分離得兩邊積分得（c為任意常數），將代入，得原方程的通解（為任意常數）③及不全為零的情形.這時方程（2.24）右端的分子、分母都是、的一次式，因此（2.25）代表平面上兩條相交的直線，設交點為（）.令（2.26）則（2.24）可化為形如（2.27）的齊次方程。在作變量變換，將（2.27）化為變量分離方程.例13求解方程解解方程組得.令代入原方程，則有再令即則上式化為兩邊積分得（為任意常數）代回原變量得原方程的通解為（為任意常數）.④形如的方程，（其中是已知實數）.這種類型的方程的求解方法為；作變量變換，可將方程化為變量分離方程，將代入方程，整理后可得這已是變量分離方程.形如的方程通常是指標為的廣義齊次方程。它是前述齊次方程的推廣.例14求解方程解方程可改寫為，方程可化為因此原方程是指標為的廣義齊次方程.令，則，代入原方程整理得變量分離，再積分，整理得代回原變量，得原方程的通解（為任意常數）.證畢此外,,,以及（其中為的齊次函數，次數可以不相同）等一些類型的方程，均可以通過適當的變量變換化為變量分離方程。2.3線性方程形如（2.28）的方程稱為一階線性微分方程，這里假設在考慮的區間上是的連續函數。若，（2.28）變為(2.18)（2.18）稱為一階齊線性方程。若,(2.28)稱為一階非齊線性方程.(2.18)是變量分離方程,在上面的例8中求得它的通解為(2.19)這里c是任意常數.現在主要討論非齊線性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,將常數變易為的待定函數,使它滿足方程(2.28),從而求出.為此,令(2.29)微分之,得到(2.30)以(2.29)(2.30)代入(2.28),得到即積分后得到(2.31)這里是任意常數,將(2.31)代入(2.29),得到這就是方程(2.19)的通解.這種將常數變易為待定函數的方法，我們通常稱為常數變易法.例15求方程的解.解這是一階線性方程，按公式求解當時，；當時，；合并之，有.例16求方程的通解.解先解齊次線性方程的通解為用常數變易法，令非齊次方程的通解為（2.32）微分之，得到（2.33）將（2.32）（2.33）代入原方程得積分得到，將代入原方程，即得原方程的通解為（為任意常數）.2.4伯努利（Bernoulli）方程形如（2.34）的方程，稱為伯努利（Bernoulli）方程.這里為的連續函數，是常數.方程（2.34）的求解方法為：對于，用乘（2.34）兩邊，得到（2.35）引入變量變換（2.36）從而（2.37）將（2.36）（2.37）代入（2.35），得到（2.38）這是線性方程，可按2.3節介紹的方法求得它的通解，然后代回原來的變量，便得到（2.34）的通解.此外，當＞0時，方程還有解.例17求方程的通解.解這是的伯努利方程.令算得代入原方程得到這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量，得原方程的通解為，這里是任意常數.此外方程還有解.例18求解.解這是的伯努利方程.令算得代入原方程得到,這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量，得原方程的通解為（是任意常數）.3一階隱微分方程的初等解法一階隱微分方程一般形式可表為（1.3）3.1形如（3.1）類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：引進參數，則（3.1）變為（3.2）將（3.2）兩邊對求導數，并以代入，得到（3.3）方程（3.3）是關于的一階微分方程，但它的導數已解出.于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解.這里假設函數有連續的偏導數。若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為（其中是參數，是任意常數）若求得（3.3）的通解的形式為則得到（3.1）的通解為（其中是參數，是任意常數）3.2形如（3.4）類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法與方程（3.1）的求解方法完全類似。這里假設有連續的偏導數。引進參數，則（3.4）變為（3.5）將（3.5）兩邊對求導數，然后以代入，得到（3.6）方程（3.6）是關于的一階微分方程，但它的導數已解出.于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解，于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解.設求得通解為則得（3.4）的通解為.3.3形如（3.7）類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：記.從幾何的觀點看