-離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn).橢圓的離心率0e1，雙曲線的離心率e1，拋物線的離心率e1．一、直接求出a,c，求解e標(biāo)準(zhǔn)方程或a,c易求時，可利用離心率公式ec來求解。ay2例1.過雙曲線C：ll1(b0)的左頂點A作斜率為1的直線，假設(shè)與雙曲線Mx2b2的兩條漸近線分別相交于點B、C，且|AB|=|BC|，則雙曲線M的離心率是〔〕10D.35A.10B.5C.2分析：這里的a1,cb1，故關(guān)鍵是求出b2，即可利用定義求解。2。直線與兩條漸近線ybx和ybx的解：易知A〔-1，0〕，則直線的方程為yx1l1b1，又|AB|=|BC|，可解得b29，則b1,b1b)、C()交點分別為B(b1,b1eca10，從而選A。c10故有二、變用公式ec1(雙曲線)，ec1-(橢圓)bb，整體求出e22aaaa224例2.雙曲線x2y2的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心1(a0,b0)3a2b2率為〔〕A.53B.4C.5D.3234b4分析：此題，不能直接求出a、c，可用整體代入套用公式。3a解：因為雙曲線的一條漸近線方程為y4x，所以b4，則a33ec1(4)25，從而選A。3a3xy1.設(shè)雙曲線21〔a＞0,b＞0〕的漸近線與拋物線2相切，則該雙曲線的離yx12ab22心率等于(C).z.-A.3B.2C.5D.6的一條漸近線方程為ybxa2解：由題雙曲線－＝1a＞0，b＞0，代入拋物線方ab22程整理得ax2bxa0，因漸近線與拋物線相切，所以b24a20，即4e1b214b25.aa22xy2.過雙曲線21(a0,b0)2的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的ab22兩條漸近線的交點分別為B,C．假設(shè)AB12BC，則雙曲線的離心率是()A．2B．3C．5D．10答案：C【解析】對于Aa,0，則直線方程為xya0，直線與兩漸近線的交點為B，C，aba2a2ab)，B,,abab,C(ababBC(2a2b2a2babab,,ab2a2b2),AB，abab2，e1b214因此2ABBC,4a2b2，即b245aa22xy3.過橢圓21(ab02Fx1F2)的左焦點作軸的垂線交橢圓于點P，為右焦點，ab22假設(shè)FPF60，則橢圓的離心率為()122B．23C．D．113A．32b3b22【解析】因為P(c,)，再由FPF60有2a,即22從而可得baa12a32e1b2123，應(yīng)選B33a2.z.-ac三、構(gòu)造、的齊次式，解出eacac根據(jù)題設(shè)條件，借助、b、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系〔特別是齊二次式〕，進(jìn)而ee23B．22C．D．112A．23【解析】對于橢圓，因為AP2PB，則OA2OF,a2c,e12xy22(a0,b0)的兩個焦點,假設(shè)1.設(shè)FF1F，F(xiàn)P(0,2b)是正三和為雙曲線，2a2b2121角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為()35A．B．2C．D．322【解析】由tanc62b3ec2,應(yīng)選B.a3有3c24b24(ca2),則22.雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F、F，F(xiàn)MF1200，則雙曲線的離1212心率為〔〕663A3BCD323Fc,0，則解：如下圖，不妨設(shè)M0,b，F(xiàn)c，,012MFMFc2b2，又FF2c，1212MFFF22212在FMF中，由余弦定理，得cosFMFMF2,12MFMF1212124c22cb221cbcb，∴b2c212222即，2b2c22a22c2a21，∴3a22c36，應(yīng)選B2∵b2ca2，∴e，∴e，∴222223.設(shè)△ABC是等腰三角形，ABC120，則以A，BC為焦點且過點的雙曲線的離心率為〔B〕.z.-A．12B．13C．12D．13224.設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，則此雙曲線的離心率為()31D.51A.2B.3C.22xy22解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)其方程為：1(a0,b0)，ab22則一個焦點為F(c,0),B(0,b)bb，b(b)1，b2acc一條漸近線斜率為：，直線FB的斜率為：aacc51.c2a2ac0，解得ea25.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F、F，過F作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，假設(shè)1為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是〔D〕22FPF12221221A.B.C.2D.22解：由PFb22ca2c22aca2化為齊次式e22e10e21xy226.雙曲線1的左、右焦點分別是F，F(xiàn)F1，過作傾斜角為30的直(a0,b0)ab線交雙曲線右支于M點，假設(shè)MF2212垂直于軸，則雙曲線的離心率為〔B〕x23A．6B．3C．2D．3xy227.設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線a2b2的左、右焦點，假設(shè)雙曲線上存在點A，F(xiàn)AF901212且AF3AF1，則雙曲線的離心率為〔B〕25B．2102C．15D．52A．.z.-AFAF2AF2a22c102解ae12(AF)2(AF)2(2c)22101xy221〔a0,b0〕的兩個焦點，A和B是8．如圖，F(xiàn)和F分別是雙曲線a2b2以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且FAB是等邊三1212角形，則雙曲線的離心率為〔〕5A3B5CD3126.解析：連接AF，∠AFF=30°，|AF|=c，|AF|=3c，∴12a(31)c，2112雙曲線的離心率為13，選D。xy22〔ab0〕的左、右焦點，P是其右準(zhǔn)線上縱19.設(shè)F、F分別是橢圓a2b2坐標(biāo)為3c〔c為半焦距〕的點，且FFFP，則橢圓的離心率是〔〕1212231B1512ACD222210.設(shè)雙曲線xy221〔0ab〕的半焦距為c，直線L過a,0，0,b兩點.原a2b23c，則雙曲線的離心率為()4點到直線的距離為D.233A.2B.3C.2解：由，直線L的方程為bxayab0，由點到直線的距離公式，得ab3c，4a2b2又cab2,∴4ab3c2,兩邊平方，得16a2ca3c4，整理得22223e416e2160，ca2b2e4或e24，又1b22，∴a2e4，∴20ab，∴e22得23aa22e2，應(yīng)選Axy2a0,b0〕的兩焦點，以線段FF為邊作正三角1〔12211.知F、F是雙曲線12a2b2形MFF，假設(shè)邊MF的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是〔〕121.z.-解：如圖，設(shè)MF的中點為P，1OFP600,PFc,xc,y3c,即P(c,3c)222211PPc23c4a24b22把P點坐標(biāo)代人雙曲線方程，有=1，化簡得e48e240解得e13或e1-（舍）3，應(yīng)選D四、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義〔或稱第二定義〕知離心率e是動點到焦點的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。例4：設(shè)橢圓xy221〔a0,b0〕的右焦點為F1F1，右準(zhǔn)線為l，假設(shè)過且垂a2b2直于x軸的弦的長等于點F到l的距離，則橢圓的離心率是111.解：如下圖，AB是過F且垂直于x軸的弦，1∵ADl于D，∴AD為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定Fl1111義，eAF2ADAB121AD1．在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為橢圓的離心率為〔〕，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該12122A2BCD224解：eAF2AD2212212．在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，2則該雙曲線的離心率為〔〕2AB2C2D222五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍.z.-1．雙曲線xy221〔a0,b0〕的右焦點為F，假設(shè)過點F且傾斜角為600的a2b2直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是〔〕A1,22,B1,2D2,Cxy221〔ab0〕的焦點為FFx2．橢圓、，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為a2b2M、N，假設(shè)MN2FF，則該橢圓離心率的取值范圍是〔12〕12112A．0,B．0,C．,12222D．,12xy221(a0,b0)的右焦點為F，假設(shè)過點F且傾斜角為60o的直線與1.雙曲線a2b2雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率=c2a2b2≥4，∴e≥2，選Cbab，∴≥3，離心率e2aa2a2xy22FF1(ab0)的焦點為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為x2.橢圓a2b212M，N，假設(shè)|MN|2a，|FF|2c，M