鋼管訂購和運輸數學建模論文PAGEPAGE１９鋼管訂購和運輸摘要本文建立了一個運輸問題的最優化模型。通過對圖(一)的分析，我們首先直觀地將路線分成兩段，將圖分為兩個子圖建立了模型一,利用分支定界法求得總費用最優解為1279496萬元。然后對模型一進行優化，得到全線的最優模型二，求得總費用最優解為1278632萬元。通過對最優模型二的分析，我們得出鋼廠S1的上限產量和鋼廠S6的銷價的的變化對運購計劃和總費用的影響最大，并給出了數據結果。我們利用截取和連接的方法將樹形圖轉化成為對線性圖進行分析，并給出了一般的解決方法。對圖(二)給出的具體模型，類似與問題一,分別建立了模型三和模型四,求得最優解分別為1408859.4和1403948萬元．

問題的提出已知有7個鋼廠，可生產輸送天然氣主管道的鋼管，用Si表示(i=1,2,…,7)。現有１５個地點（A1,A2,…,A15），沿著這１５個地點鋪設一條輸送天然氣的主管道。為方便計，1km主管道稱為１單位鋼管。一個鋼廠如果承擔制造這種鋼管，至少需要生產500個單位。鋼廠在指定期限內能生產該鋼管的最大數量為個單位，鋼管出廠銷價1單位鋼管為萬元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601單位鋼管的鐵路運價如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500運價(萬元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000運價(萬元)37445055601000km以上每增加1至100km運價增加5萬元。公路運輸費用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計算）。鋼管可由鐵路、公路運往鋪設地點（不只是運到點，而是管道全線）。（1）請制定一個主管道鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小（給出總費用)。（2）請就（1）的模型分析：哪個鋼廠鋼管的銷價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個鋼廠鋼管的產量的上限的變化對購運計劃和總費用的影響最大，并給出相應的數字結果。（3）如果要鋪設的管道不是一條線，而是一個樹形圖，鐵路、公路和管道構成網絡，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖二按（1）的要求給出模型和結果。二、問題的分析該問題是圖論中運輸問題的最優化問題。經過分析，我們認為總費用可分為兩種費用進行求解，分別為：（1）銷價和運輸鋼管至管道結點Ai(i=1,2,…,15)的總費用（稱為成本費用）（2）鋪設過程中的運輸費用；要解決此問題，我們認為有兩點關鍵：（1）如何求出Ai（i=1,2,…,15）至Si(i=1,2,…,7)的最小成本費用；（2）如何調整使得各路徑滿足題中的最優指標。針對上述問題，我們分別運用了圖上作業法、枚舉法、逐次修正法、重繞最小生成樹法等方法，在綜合考慮算法的精度和算法的復雜度后，我們選擇了圖上作業法、枚舉法、逐次修正法對模型進行逐次優化，直至求得最優解。三、模型的基本假設及符號說明基本假設：（1）運輸方式的改變所花費用包含在運費中；（2）鐵路線上任意兩點可以直達，不需中途轉車，即鐵路線上兩點間運費按線路總長計算；（3）假設一單位鋼管可由任意長度鋼管組成，購買鋼管可以非整數單位購買;（4）不考慮其它外界因素對費用的影響；（5）鋼管在鋪設時，先將鋼管運到結點處，再由結點處向左右兩方相鄰結點鋪設；（6）在Si廠購買鋼管要么為零,要么至少為500單位。（二）符號說明：xij：從鋼廠Si運到結點Aj的單位鋼管數；fij：單位鋼管從鋼廠Si運到結點Aj的的最少成本費用；tj：第Aj點與Aj+1點間的路線長度，j=1,2,…,14；yj：從結點Aj開始沿管道向右鋪設的路線長度,j=1,2,3,…,15；w：鋼管訂購和運輸的總費用；mi:鋼廠Si的最小產量，mi=500，i=1,2,3,4,5,6,7ni:鋼廠Si的產量上限，ni=si，i=1,2,…，7bi:圖一中各節點（見附錄七）Vi:圖二中各節點（見附錄八）

四、模型的建立與求解（一）問題一及其求解：針對圖（一），我們首先采用圖上作業法對所給圖進行分析，利用枚舉法，我們求出一單位鋼管由鋼管廠Si運輸至管道結點Ａi的最小成本費用，具體數據如下表：表一單位鋼管由Si運輸至Ａi的最小成本費用(單位：萬元)S1S2S3S4S5S6S7A1330.7370.7385.7420.7410.7415.7435.7A2320.3360.3375.3410.3400.3405.3425.3A3300.2345.2355.2395.2380.2385.2405.2A4258.6326.6336.6376.6361.6366.6386.6A5198266276316301306326A6180.5250.5260.5300.5285.5290.5310.5A7163.1241251291276281301A8181.2226.2241.2276.2266.2271.2291.2A9224.2269.2203.2244.2234.2234.2259.2A10252297237222212212237A11256301241211188201226A12266311251221206195216A13281.2326.2266.2236.2226.2176.2198.2A14288333273243228161186A15302347287257242178162這樣，原問題即轉化為通常的運輸問題。我們進一步對上表數據進行分析，得到結論：結論1：將Ｓ4、S5兩列數據進行對比，發現同一行中S4列數據均大于S5列。由此得出，應優先考慮鋼廠S5，只有當對S5的需求量超過其最大產量時，才需要考慮鋼廠S4。進一步對原圖進行分析可得：結論2：由于A1點只有通過A2點才能與鋼廠Si連接,故模型中不需考慮往A1運輸鋼管。模型(一)：對表一數據進一步分析。將各行數據由小到大排序，發現由A2至A9各行中費用最小的前四個數據均在S1,S2,S3,S5列中，由A10至A15各行中費用最小的前三個數據均在S5,S6,S7中，直觀感覺到：A1至A9需要來自S6及S7等后一部分鋼廠的鋼管的可能性很小，而且A9至A15不太可能需要S1、S2、S3等前一部分鋼廠生廠的鋼管，故把原圖分為兩個子圖考慮，分別為A1至A9和A9至A15，即分為兩個子模型，分別進行最優化，得到兩個子模型(非線性規劃模型)如下：子模型1：子模型2：由于這兩個子模型屬于非線性規劃問題，且第一個約束條件很復雜，利用結論1、2，采用分支定界法用LINGO軟件分別進行編程（見附錄一、二）得到：w1=859629.3w2=419866.7模型一的總費用為w=w1+w2=1279496（萬元）。模型（二）：由于前面的模型直觀將管道分為兩端，即原圖分為兩個子圖，可能存在一定的誤差。下面對模型（一）進行優化，即對主管道建立統一模型，如下：同樣利用結論1、2并采用分支定界法，利用LINGO軟件編程（見附錄三）運行得出:最優解W=1278632萬元，各節點向右鋪設的管道單位數：Y1=0Y2=175Y3=282Y4=0Y5=10Y6=16Y7=76Y8=175Y9=159Y10=30Y11=145Y12=11Y13=34Y14=335表二各鋼廠定購計劃：S1S2S3S4S5S6S7數量800800100001237.51333.50表三運輸計劃如下（bi含義參見附圖七）:路線運量S1-b7-b6-b5-A5-A4;335S1-b7-b6-A6;200S1-A7;265;S2-b8-b4-b2-b1-A2;179S2-b8-b4-b2-b3-A3;131.3S2-b8-S1-b7-b6-b5-A5-A4;116S2-b8-S1-b7-b6-b5-A5;73.7S2-b8-A8;300S3-b9-b8-b4-b2-b3-A3;319S3-b9-b8-S1-b7-b6-b5-A5-A4;11S3-b9-A9;604S5-b12-b11-b10-b9-b8-b4-b2-b3-A3;57.7S5-b12-b11-b10-b9-b8-S1-b7-b6-b5-A5;542.3S5-b12-b11-b10-A10;222.5S5-b12-A11;415S6-b16-b15-b13-b11-b10-A10;128.8S6-b16-b15-b13-b14-A12;86S6-b16-b15-A13;333S6-A14;621S6-b16-b17-A15;165（二）問題（2）的求解通過模型（二）的求解，我們確定對圖（一）僅需要S1、S2、S3、S5、S6承擔生產任務即可取得最優解。對模型所用程序進行靈敏度分析，并具體考慮當鋼廠鋼管的銷價增加1萬元或產量上限增加1單位時，購運計劃和總費用的變化情況，結果如下表：表四鋼廠Si的鋼管產量上限增加1單位對總費用的影響S1S2S3S4S5S6S7總費用1278529127859712786071278632127863212786321278632減少量10335250000則可以發現：鋼廠S1的鋼管產量上限的變動對購運計劃和總費用影響最大。表五鋼廠Si的鋼管銷價增加1萬元對總費用的影響S1S2S3S4S5S6S7總費用1279432127943212796321278632127963913798341278632增加量80080010000100712020則可以發現：鋼廠S6的鋼管銷價的微小變動對購運計劃和總費用影響最大。（三）問題（3）的求解1、一般模型經過對圖（一）的分析求解可以看出，訂購及運輸鋼管的總費用可由各段所需費用求和得到。若要鋪設的管道是一個樹形圖，則可以將其轉化為線性管道進行分析。具體解題步驟如下：（1）運用圖論的最小權匹配法（簡單圖可利用枚舉法），求出從各鋼廠定購并運輸一單位鋼管至主管道各結點的最小成本費用值。（2）將樹型圖轉化為線性圖：在樹形圖中取其最長的線形段，稱為主干線形段；將圖中剩余分支截取，并通過一個虛擬段（長度t為零）聯接至主干線形段上，組成一個新的線性管道；如，圖二中A9至A16段，可將該段接到A15點，再分別從原圖A9、A16點連一條長度為0的公路，而在A15點之間連一條長度為0的公路并增加一新的結點A9，同時約定A15點不向右鋪設管道。其它各段類似處理。（3）按照問題（一）的思路建立模型進行求解。建立如下非線性規劃模型：其中K表示鋼廠的總數，L+1表示管道節點總數。2、問題三圖（二）的求解圖（二）為樹形圖，將其轉化為類似圖（一）的線性圖。利用枚舉法，求出一單位鋼管由鋼管廠Si運輸至管道結點Ａi的最小成本費用，具體數據如下表：表六單位鋼管由Si運輸至Ａi的最小成本費用(單位：萬元)S1S2S3S5S6S7A1330.7370.7385.4410.7410.7435.7A2320.3360.3375400.3400.3425.3A3300.2345.2355.2380.2385.2405.2A4258.6326.6336.6361.6361.6386.6A5198216276301301326A6180.5250.5260.5285.5290.5310.5A7163.1241251276278.1301A8181.2226.2241.2266.2266.2291.2A9224.2269.2203.2234.2234.2259.2A10252297237212211237A11256301241188201224A12266311251206187216A13281.2326.2266.2226.2166.2198.2A14288333273228161186A15302347287242178162A16220265199230230255A17255300240187197223A18260305245200183210A19265310250205186215A20275320260220160192A21285330270230150186模型（三）首先類似于模型一，按分段的思想建立模型。由A1…A9、A16為一段可得如下模型：由A21-A20-A19-A17-A11-A12-A13-A14-A15-A9-A10-A11-A17-A18為一段可得如下模型：運用LINGO軟件進行編程（見附錄四、五）運行結果為：費用w1=８69127.2w2=539732.2則總費用為：w=w1+w2=1408859.4模型（四）：對整個圖進行考慮，可得如下模型：利用LINGO軟件編程（見附錄六）運行得出最優解w=1403948萬元，同時得出下表數據：表七各鋼廠定購計劃：S1S2S3S4S5S6S7數量80080010000130320000表八運輸計劃如下（Vi含義參見附錄八）:路線運量S1-V7-V6-V5-A5;335S1-V7-V6-A6;200S1-A7;265;S2-V8-V4-V2-V1-A2;179S2-V8-V4-V2-V3-A3;171S2-V8-S1-V7-V6-V5-A5;150S2-V8-A8;300S3- A16-V8-V4-V2-V3-A3;336S3-A16-A9;664S5-A17-V10-V9-A16-V8-V4-V2-V3-A3;1S5-A17-V10-V9-A16-V8-V4-A4;468S5-A17-V10-V9-A16-V8-S1-V7-V6-V5-A5;131S5-A17-V10-V9-A10;218S5-A17-A11;380S5-A17;105S6-A20-A18-V10-V9-A10;175S6-A20-A19-A17-A11;111S6-A20-A13;393S6-A14;571S6-V11-V12-A15;165S6-A20-A18;130S6-A20-A19;95S6-A20;260S6-A21;100（五）模型的評價1、本文從簡單的角度入手建立模型，運用枚舉法、圖上作業法、圖論等多種方法對模型進行逐步優化。過程嚴謹，理論性強，邏輯嚴密，而且易于理解。2、模型一、三為問題的近似解，但涉及變量少，易于求解，且精度較高；模型二、四為問題的精確解，變量多，求解稍難。3、一般模型（1）（2）式具有很強的通用性，網絡、樹型圖轉化為線性圖的方法也具有一般性；4、本文大量運用了計算機程序，所有數據均由計算機處理，故誤差由計算機精度產生，模型具有較好的穩定性。參考文獻（1）李德、錢頌迪運籌學清華大學出版社1982年；（2）許卓群等數據結構高等教育出版社1987年；（3）滕傳琳管理運籌學中國鐵道出版社1986年；（4）[美]E米涅卡網絡和圖的最優計算方法中國道出鐵版社1984年；評注：本題是一個典型的離散優化問題，實際上最終歸結為兩個二次規劃模型。求解的關鍵包括定購和運輸單價的計算、二次規劃模型的建立和求解。其中的難點是題中復雜圖的恰當處理和模型中變量數特別是整型變量數過多的靈活解決。本優秀論文在對這兩問題的處理上頗有特色：其一是對問題一的圖，作者首先根據直觀分析，將原圖分成兩個小圖分別求解，再合二為一建立優化模型；而針對問題二的樹形圖，通過增加一個長度為零費用為零的線路轉化為線性圖后，問題二的求解方法就與問題一的求解方法相同了。這是“從簡單到復雜，從局部到全局，化繁瑣為簡單”的建模思想的具體體現。其二是對變量數過多問題的解決，作者經過約束條件的松弛化處理后，充分利用非線性規劃軟件Lingo的強大功能，主要是循環語句的靈活使用，得出了最優解。本篇論文獲得2000年數學建模競賽的全國一等獎。基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現的供暖系統最佳啟停自校正（STR）調節器單片機控制的二級倒立擺系統的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協議棧的實現基于單片機的蓄電池自動監測系統基于32位嵌入式單片機系統的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養診斷專家系統的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統研究與開發基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統開發基于單片機的液壓動力系統狀態監測儀開發模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數控系統的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統開發基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統單片機系統軟件構件開發的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統的研制基于單片機的數字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現基于單片機的電液伺服控制系統用于單片機系統的MMC卡文件系統研制基于單片機的時控和計數系統性能優化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數據采集系統基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數控改造基于單片機的溫度智能控制系統的設計與實現基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監測系統基于單片機網絡的振動信號的采集系統基于單片機的大容量數據存儲技術的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術的研究及實現基于AT89S52單片機的通用數據采集系統基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統基于單片機的控制系統在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統的網絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數控系統的研究與開發基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統研究基于TCP/IP協