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構造三角形求15。角的三角函數值朱育光寧夏固原市原州區四中（756000）我們知道特殊角,,的三角函數值.也是一個比較特殊的角，那么它的三角函數值是多少，又怎樣去求，本文以求正弦函數值為例來說明。求解的基本思想是，從含有特殊角的直角三角形中作出含角的直角三角形,或在含角的三角形中作出含特殊角的直角三角形，再恰當地設出一條邊的長，一種方法是，設法把角的直角三角形的斜邊用設出的未知數和表示,再通過圖形的本身特征，建立含的等式，解出即可。另一種方法是，用設出的未知數表示出角的對邊和斜邊，再用正弦函數定義求出。解法一如圖1，在△ABC中，∠B=，,.在AB上取一點D，使BD＝BC，連結CD，過D作DE⊥AC于E，則.設BC＝BD＝a，則AC＝2a，AB＝，CD＝,.∵S△ADC=S△ABC-S△BCD.∴AC·DE＝AB·BC－BC·BD.∴2·＝·－·.∴.如圖2，在△ABC中，∠B=，AB＝BC,.在∠BAC中作∠BAD＝，交BC于D，再過D作DE⊥AC于E，則∠DAC=.設AB＝BC＝a，用同樣的方法可求出.解法二如圖3，在△ABC中，AB=AC,∠ABC＝∠ACB=.過C作BA的垂線,交BA的延長線于D，再作AE⊥BC于E,則.設AB＝AC＝a，則CD＝AC＝a，AD＝，AE＝ACsin=a.∴BD＝AB＋AD＝（1＋）a.BC＝＝a＝.∵S△ABC＝AE·BC＝AB·DC.即asin·＝a·a.∴.說明上面解法中，在設出末知數后，利用特殊三角形的邊和角之間的關系及勾股定理，表示出有用的邊后，由三角形面積關系建立各數量之間的聯系，由此求出結果。解法三如圖4，在△ABC中，∠C=，.作∠BAC的平分線AD交BC于D,則.設BC＝a，DC＝x,則BD＝a-x,AB＝2a，.AD平分∠BAC，有，即.∴.由勾股定理有.∴＝.解法四構造Rt△ABC，如圖5，在△ABC中，∠B=,∠C=.在BC上取一點D，使BD＝AB，過D作DE⊥AC于E，則.設AB＝a，則，，.再設，，由△ABC∽△CDE知，即.∴，＝.中.即.化簡有.由于DC＞CE＞0，解得.∴解法五如圖6，在△ABC中，∠ABC=,∠ACB=.延長AB到D，使BD＝AB，連結DC，作AE⊥DC于E.則AC＝DC，∠ACE=.設AC＝DC＝a，則AB=asin,AD=2asin,AE=a.由勾股定理有DE==a.∵△ABC∽△ADE，∴.即.化簡整理成.∴.即說明上面解法是在表示出有用的邊后，由

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