第PAGE"pagenumber"17頁，共NUMPAGES"numberofpages"17頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"17頁廣東省高州市2020-2021學年高三上學期第一次模擬數學試題一、單選題（本大題共8小題）1.已知集合，，則（

）A． B． C． D．2.設復數，則（）A．1 B．2 C． D．3.如圖所示的中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A． B．C． D．4.設集合.，那么“且”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5.函數的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．6.已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于點，，則（）A．3 B．4 C．5 D．67.已知正六邊形的邊長為1，在這6個頂點中任意取2個不同的頂點，得到線段，則的概率為（）A． B． C． D．8.如圖，在直三棱柱的側面展開圖中，，是線段的三等分點，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9.《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．關于這個問題，下列說法正確的是（

）A．甲得錢是戊得錢的倍 B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的倍 D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢10.如圖是函數的部分圖象，則下列說法正確的是（

）A． B．是函數，的一個對稱中心C． D．函數在區間上是減函數11.若，則下列結論正確的是（

）A． B．C．， D．12.已知函數，則下列說法正確的是（

）A．只有一個極值點 B．設，則與的單調性相同C．在上單調遞增 D．有且只有兩個零點三、填空題（本大題共4小題）13.當為常數時，展開式中常數項為，則．14.在中，若，則是三角形．15.已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標準方程為．16.若，，則．四、解答題（本大題共6小題）17.從條件①，②，③中任選一個，補充在下面的問題中，并給出解答．在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，，，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．18.年月日既是中華人民共和國第個國慶日，又是農歷中秋節，雙節同慶，很多人通過短視頻或微信、微博表達了對祖國的祝福．某調查機構為了解通過短視頻或微信、微博表達對祖國祝福的人們是否存在年齡差異，通過不同途徑調查了數千個通過短視頻或微信、微博表達對祖國祝福的人，并從參與者中隨機選出人，經統計這人中通過微信或微博表達對祖國祝福的有人．將這人按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值并估計這人的平均年齡；（2）把年齡在第，，組的居民稱為青少年組，年齡在第，組的居民稱為中老年組，選出的人中通過短視頻表達對祖國祝福的中老年人有人，問是否有的把握認為是否通過微信或微博表達對祖國的祝福與年齡有關？附：19.已知數列的前項和為．若為等差數列，，，求和的表達式；若數列滿足，求．20.如圖，在四棱柱中，底面，，，且，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值．21.已知點為橢圓上一點，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點作直線，，與橢圓分別交于點，．（1）求橢圓的標準方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．22.設函數，，．（1）討論的單調性；（2）當且時，函數，證明：存在極小值點，且．

參考答案1.【答案】B【分析】根據一元二次不等式的解法求集合，運用集合間的運算直接求解.【詳解】，所以，故選：B．2.【答案】D【分析】先運用復數運算法則化簡，再求模即可.【詳解】，所以故選：D.3.【答案】B【分析】根據向量的加法減法運算即可求解.【詳解】依題意，，故選：B4.【答案】C【分析】根據充分性、必要性的定義，結合集合的交集定義進行求解即可【詳解】當且成立時，根據集合的交集定義可知：，當成立時，根據集合的交集定義可知：且，故“且”是“”的充分必要條件，故選：C5.【答案】B【分析】根據函數的奇偶性，排除C，再由當時，排除A，D，即可求解.【詳解】由題意，函數的定義域為，關于原點對稱，且所以函數是奇函數，其圖象關于原點中心對稱，排除C；又由當時，排除A，D.故選：B．6.【答案】C【分析】通過點的坐標算出，再根據點以及點三點共線算出點坐標，再利用焦半徑公式即可.【詳解】由點在拋物線上得，設，由直線過定點得，解得（舍去2），所以故選：C.7.【答案】C【分析】先分析，然后列舉基本事件，根據古典概型的概率公式直接求得.【詳解】由已知得，，，在這6個頂點中任意取2個不同的頂點，，得到以下15條線段：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足的有以下6條線段：，，，，，，根據古典概型的計算公式得，的概率為.故選C.8.【答案】D【分析】根據展開圖，得到直觀圖為直三棱柱，求得底面的外接圓半徑，由外接球體積求得外接球的半徑，進而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距離，乘以2即得三棱柱的高，即為的長.【詳解】由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，其外接圓的半徑滿足，所以．由得．由球的性質可知，球心到底面的距離為，結合球和直三棱柱的對稱性可知，，故選D．9.【答案】AC【分析】由等差數列的性質，可設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，結合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得錢，進而判斷選項的正誤.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得錢，乙得錢，丙得錢，丁得錢，戊得錢，則有如下結論：甲得錢是戊得錢的倍，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C正確；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D錯誤．故選：AC．10.【答案】ACD【分析】根據函數圖像得函數解析式為，進而判斷函數圖像性質.【詳解】由題知，，函數的最小正周期，所以，故A正確；因為，所以，，解得，，又，所以，故C正確；函數，因為，所以不是函數的一個對稱中心，故B錯誤；令，，得，，當時，，因為，所以函數在區間上是減函數，故D正確．故選：ACD．11.【答案】ABC【分析】利用均值不等式以及不等式性質即可判斷.【詳解】因為，所以，，所以，所以，故A正確；因為，所以，所以，故B正確；因為，所以，，故C正確；因為，所以，，所以，故D錯誤．故選：ABC．12.【答案】ACD【分析】利用的二次求導，得到，，從而存在，使得，結合函數極值點的定義即可判斷選項，求出的解析式，然后利用導數研究其單調性即可判斷選項，利用函數單調性的結論即可判斷選項．利用函數的極值點即可判斷選項.【詳解】解：由題知，，，所以在上單調遞增，當時，；當時，，所以存在，使得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以有且只有一個極值點，故A正確；因為，所以，所以，所以，故的一個極值點為0，所以與的單調性不相同，故B錯誤；因為與在上都是單調遞增，所以在上單調遞增，故C正確；因為有且只有一個極值點，，且，所以在和上各有一個零點，所以有且只有兩個零點，故D正確．故選：ACD．13.【答案】【分析】求出二項展開式的通項，得到，即得解.【詳解】的第項為，令，得，所以，解得．故答案為：14.【答案】等腰直角【分析】根據正弦定理，結合基本不等式進行求解即可.【詳解】由正弦定理可知：，因為，所以，由，當且僅當時取等號，即，有，所以，而，所以，，因此為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角15.【答案】【分析】根據題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標準方程為，所以圓心，半徑為．由圓心在直線上，可設．因為與軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得．因此，圓的標準方程為．故答案為：16.【答案】【分析】由，兩邊取以為底的對數，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以為底的對數，得由，令，則所以，即所以，設，則所以在上單調遞增，由以及，則由即，則故答案為：17.【答案】答案見解析.【分析】若選①，利用余弦定理可得，求出角后可計算三角形的面積.若選②，利用正弦定理可得，求出角后可計算三角形的面積.若選③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可計算三角形的面積.【詳解】解：選擇①，因為，所以由余弦定理得，所以，所以由余弦定理得，而為三角形內角，所以，所以的面積為．選擇②，因為，所以由正弦定理得，所以．又，所以，所以，而為三角形內角，所以，所以，所以的面積為．選擇③，因為，所以由正弦定理得，即，所以．又，所以，所以，而為三角形內角，所以，所以的面積為．18.【答案】（1）；41.5；（2）是有.【分析】（1）利用所有小矩形的面積之和為1建立等量關系即可求解.（2）前三組的人數是青少年中通過微信或微博表達對祖國的祝福的人數，則是中老年中通過微信或微博表達對祖國的祝福的人數，由通過短視頻表達對祖國祝福的中老年人有人，則是中通過短視頻表達祝福的青少年人數，據此列出得列聯表，代入公式計算即可.【詳解】解：（1）由得，．這人的平均年齡為：．（2）前組人數為，由題意得列聯表：通過短視頻表達祝福通過微信或微博表達祝福合計青少年中老年合計，所以是有的把握認為通過微信或微博表達對祖國的祝福與年齡有關．19.【答案】，；.【分析】設等差數列的通項公式，并結合條件列式求解即可；根據題干再構造出一組求和，兩式做差得到，分步討論進而得出.【詳解】解：設等差數列的通項為（為等差數列的公差），則，解得，所以，．，①當時，，②由①②得，，，當時，，，所以當時，；當時，；當時，，所以.20.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證出，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明.（2）分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，由即可求解.【詳解】（1）證明：因為，，所以，，因為，所以，所以，即．因為底面，所以底面，所以．因為，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如圖，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．所以，，，設平面的法向量為，則令，得．設平面的法向量為，則令，得，所以，由圖知二面角為銳角，所以二面角所成角的余弦值為．21.【答案】（1），離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）把點的坐標代入橢圓方程得到的一個方程，再由與拋物線的焦點相同再得的一個關系式，從而得到橢圓方程和離心率；（2）設直線的斜率為，然后聯立直線與橢圓方程求得交點坐標，同理與橢圓的交點坐標，由斜率公式可得答案.【詳解】（1）由題設，得，①且，②由①②解得，，所以橢圓的標準方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1.證明：設直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設直線的方程為，同理得．因為，，所以，因此直線的斜率為定值．22.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求，分別討論和時與的解集，即可求解；（2）當時，，對其求導可得，再令，再