圓學(xué)子夢(mèng)想鑄金字品牌考點(diǎn)34直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1.(2019·浙江高考·T8)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則 ()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β【命題意圖】本題以三棱錐為載體,綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念,以及各種角的計(jì)算.【解析】選B.方法一,如圖,G為AC中點(diǎn),V在底面ABC的投影為O,則P在底面的投影D在線段AO上,過D作DE垂直于AE,易得PE∥VG,過P作PF∥AC交VG于F,過D作DH∥AC,交BG于H,則α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,則cosα=PFPB=EGPB=DH=cosβ,即α>β,tanγ=PDED>PDBD=tanβ,即γ>β,綜上所述,答案為方法二:(特殊位置)取V-ABC為正四面體,P為VA中點(diǎn),易得cosα=36?sinα=336,sinβ=23,sinγ=22二、解答題2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ文科·T19)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面C1DE.(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.【命題意圖】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題,涉及的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定,點(diǎn)到平面的距離的求解,在解題的過程中,注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容,注意平行線的尋找思路.【解析】(1)連接B1C,ME,C1D.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn),所以ND=12A由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED.又MN?平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)過C作C1E的垂線,垂足為H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,又BC∩C1C=C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.從而CH⊥平面C1DE,故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離,由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=417所以點(diǎn)C到平面C1DE的距離為4173.(2019·北京高考理科·T16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且PFPC=1(1)求證:CD⊥平面PAD.(2)求二面角F-AE-P的余弦值.(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且PGPB=23.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),【命題意圖】本題考查立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,線面垂直關(guān)系的判定,以及空間角的定義與求法,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理能力.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又因?yàn)镃D⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.(2)在PD上取點(diǎn)M,使PMPD=13,連接在△PCD中,又PFPC=1所以FM13CD,FM=2由(1)知,CD⊥平面PAD,所以FM⊥平面PAD,又AE?平面PAD,所以FM⊥AE,在△PAD中,E是PD中點(diǎn),PA=AD=2,所以AE⊥PD,PD=22,又因?yàn)镕M,PD?平面EFM,FM∩PD=M,所以AE⊥平面EFM,又EF?平面EFM,所以AE⊥EF,所以∠FEM為二面角F-AE-P的平面角.在△PCD中,PD=22,PE=2,PM=13PD=223,EM在Rt△EFM中,EF=EM2+cos∠FEM=EMEF=3所以二面角F-AE-P的余弦值為33(3)取CF中點(diǎn)N,連接DN,GN,在△PDN中,E,F分別為PD,PN的中點(diǎn),所以EF∥DN,在△PBC中,PGPB=PNPC=又BC=3,所以GN∥BC,GN=2,又因?yàn)锳D∥BC,AD=2,所以GNAD,四邊形ADNG是平行四邊形,所以AG∥DN,又因?yàn)镋F∥DN,所以AG∥EF,又因?yàn)锳G與平面AEF有公共點(diǎn),所以AG?平面AEF.【誤區(qū)警示】本題第(3)問主要考查直線與平面的位置關(guān)系,不要忽略AG與平面AEF有公共點(diǎn),不是交點(diǎn).【方法技巧】1.線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直.證明線線垂直常用方法有:(1)定義(夾角90°);(2)等腰三角形三線合一;(3)菱形的對(duì)角線;(4)直角梯形(直角腰與上下底都垂直);(5)矩形的鄰邊;(6)勾股定理(最大邊所對(duì)角是直角);(7)直徑所對(duì)的圓周角是直角;(8)線面垂直(直線與平面內(nèi)所有直線垂直);(9)面面垂直(定理);(10)分別平行于兩條垂直直線的兩直線垂直;(11)k1·k2=-1(斜率不存在單獨(dú)討論);(12)a·b=0(不用單獨(dú)討論);(13)其他,點(diǎn)與它在平面上投影的連線垂直于平面等.2.求二面角的步驟:(1)作.作輔助線,即找二面角的棱分別在兩個(gè)半平面內(nèi)的垂線,找到所求角的平面角.(2)證.證明上一步作出的線與二面角的棱垂直.(3)求.往往放在三角形中求角的正弦值或余弦值.求角的三角函數(shù)值的方法:①構(gòu)造直角三角形.如果是直角三角形,直接運(yùn)用邊長(zhǎng)作比例即可,如果是等腰三角形,只需作出底邊的高(也是中線),構(gòu)造出直角三角形;②余弦定理.4.(2019·北京高考文科·T18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面PAC.(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE？說明理由.【命題意圖】本題考查立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,線面垂直、面面垂直的判定,線面平行的判定,意在考查學(xué)生的直觀想象與邏輯推理能力.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以BD⊥AC,又因?yàn)锳C∩PA=A,AC,PA?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E為CD中點(diǎn),所以AC=AD,AE⊥CD,AB∥CD,所以AE⊥AB,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE,又因?yàn)镻A∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以AE⊥平面PAB,又AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.(3)PB中點(diǎn)F符合題意,下證.取AB中點(diǎn)G,連接CG,FG,CF.因?yàn)锳BCD,E,G分別為CD,AB的中點(diǎn),所以AGCE,四邊形AGCE為平行四邊形,所以AE∥CG,又因?yàn)锳E?平面PAE,CG?平面PAE,所以CG∥平面PAE,在△PAB中,F,G分別為PB,AB的中點(diǎn),所以FG∥PA,易得FG∥平面PAE,又因?yàn)镃G∩FG=G,CG,FG?平面CFG,所以平面CFG∥平面PAE,又因?yàn)镃F?平面CFG,所以CF∥平面PAE.【方法技巧】面面垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直,線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直.證明線線垂直常用方法有:1.定義(夾角90°);2.等腰三角形三線合一;3.菱形的對(duì)角線;4.直角梯形(直角腰與上下底都垂直);5.矩形的鄰邊;6.勾股定理(最大邊所對(duì)角是直角);7.直徑所對(duì)的圓周角是直角;8.線面垂直(直線與平面內(nèi)所有直線垂直);9.面面垂直(定理);10.分別平行于兩條垂直直線的兩直線垂直;11.k1·k2=-1(斜率不存在單獨(dú)討論);12.a·b=0(不用單獨(dú)討論);13.其他,點(diǎn)與它在平面上投影的連線垂直于平面等.5.(2019·天津高考文科·T17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn),求證:GH∥平面PAD.(2)求證:PA⊥平面PCD.(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.【命題意圖】本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.【解題指南】(1)連接BD,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),以及三角形中位線的性質(zhì),得到GH∥PD,利用線面平行的判定定理證得結(jié)果.(2)取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到DN⊥PA,利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果.(3)利用線面角的定義得到∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得結(jié)果.【解析】(1)連接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因?yàn)镚H?平面PAD,PD?平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA?平面PAC,故DN⊥PA,又因?yàn)镻A⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)連接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點(diǎn),所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD=3所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為336.(2019·江蘇高考·T16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),AB=BC.求證:(1)A1B1∥平面DEC1.(2)BE⊥C1E.【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.【解題指南】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論.(2)由題意首先證得線面垂直,然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【證明】(1)因?yàn)镈,E分別為BC,AC的中點(diǎn),所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1