等式的性質與方程的解一、等式的性質1、性質1：等式的兩邊同時加上同一個數或代數式，等式仍成立符號語言：如果，則對任意c，都有；2、性質2：等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數或代數式，等式仍成立符號語言：如果，則對任意不為零的c，都有.3、等式性質理解（1）因為減去一個數等于加上這個數的相反數，除以一個數等于乘以一個數的倒數，因此上述性質中的“加上”與“乘以”，如果分別改為“減去”與“除以”，結論仍成立。（2）等式性質的眼神=1\*GB3①對稱性：等式左右兩邊呼喚，所得結果仍是等式，即如果，那么；=2\*GB3②傳遞性：如果，，那么（也叫等量代換）。二、恒等式1、恒等式的含義：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何實數時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等。2、恒等式的變形：把一個代數式變換成另一個與它恒等的代數式叫作代數式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數式相等。3、恒等式的證明方法：證明恒等式，沒有統一的方法，需要根據具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷。一般可將恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件愛你的恒等式的證明。4、常見的代數恒等式（1）完全平方公式：，（2）平方差公式：（3）立方和/差公式：，（4）多項式乘多項式：，5、十字相乘法對于任意的，都有。可以利用這個恒等式來進行因式分解。給定式子，如果能找到和，使得且，則為了方便記憶，已知和，尋找滿足條件的和的過程，常用圖來表示：其中兩條交叉的線表示對應數相乘后相加等于C，正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”。6、利用恒等式化簡的步驟（1）先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多項式的項數=1\*GB3①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；=2\*GB3②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；=3\*GB3③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行。三、方程的解集方程含有未知數的等式叫做方程.方程解（或根）能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解.方程的解集把一個方程所有解組成的稱為這個方程的解集.解方程求方程的解的過程叫做解方程.2、一元一次方程一元一次方程方程兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做一元一次方程。滿足條件=1\*GB3①必須是整式方程；=2\*GB3②只含有一個未知數；=3\*GB3③未知數的次數是1.表示形式或題型一等式的性質及應用【例1】（2022秋·山東德州·高一校考階段練習）已知等式，則下列變形正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，滿足，但無意義，故錯誤；對于B，兩邊同時加上2，該等式仍然成立，故正確；對于C，當，，滿足，但得不到，故錯誤；對于D，當時，無法得到，故錯誤；故選：B【變式11】（2023秋·云南·高一昆明一中校考開學考試）已知等式，則下列變形一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于選項A，因為，當或時，無意義，故選項A錯誤；對于選項B，等式的兩邊同時減去，根據等式的基本性質，該等式仍然成立，故選項B正確；對于選項C，因為，當或時，無意義，故選項C錯誤；對于選項D，因為，當或時，無意義，故選項D錯誤；故選：B【變式12】（2022秋·上海·高一月考）設，下列命題中為假命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【解析】對于A，若，兩邊平分可得，故A為真命題；對于B，，所以，故B為真命題；對于C，當時，無意義，故C為假命題；對于D，若，由等式的性質可得，故D為真命題.故選：C.【變式13】（2022秋·遼寧朝陽·高一建平實驗中學月考）下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】B【解析】如果，當時，那么不成立，故A錯誤；如果，由等式的性質知，故B正確；如果當時，那么不成立，故C錯誤；如果，那么或，故D錯誤.故選：B.題型二恒等式的判斷及應用【例2】（2023·高一課時練習）下列等式中，屬于恒等式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，時，，故A錯誤；對于B，取，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，取,可得,與無意義，故D錯誤.故選:C.【變式21】（2023秋·重慶·高一開學考試）下列各式中，不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據完全平方公式的特點可知D不正確，A、B、C都正確.故選：D.【變式22】（2023·高一課時練習）若等式恒成立，則常數；．【答案】//【解析】因為，所以，，解得.故答案為：；.【變式23】（2022秋·高一課時練習）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】圖甲中陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分面積為，因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，所以.故選：B題型三二次三項式因式分解【例3】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學校考開學考試）將多項式進行因式分解，正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】可得，或，所以，.故選：A.【變式31】（2023秋·山西運城·高一校考階段練習）將下列多項式因式分解，結果中不含因式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A.原式，不符合題意；對于B.原式，不符合題意；對于C.原式，符合題意；對于D.原式，不符合題意.故選：C.【變式32】（2021秋·高一課時練習）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）（3）【變式33】（2022秋·全國·高一專題練習）將下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）【答案】答案見解析.【解析】；；（3）.題型四多元高次式因式分解【例4】（2022秋·高一課時練習）分解因式：；．【答案】；【解析】，=；，，，，故答案為：，【變式41】（2023秋·浙江紹興·高一浙江省柯橋中學校考開學考試）分解因式：．【答案】【解析】原式故答案為：【變式42】（2023秋·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學校考開學考試）把下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式43】（2022秋·全國·高一專題練習）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.題型五方程的解集的求法【例5】（2022秋·高一單元測試）若關于的方程的解是正數，則的取值范圍是.【答案】且【解析】方程解得，依題意得且，解得且4，故答案為：且【變式51】（2022·上海·高一專題練習）若關于x的方程的解為非正數，則實數k的取值范圍是．【答案】【解析】方程化為，當，即時，方程無解，不滿足，當時，可得，解得，綜上，實數k的取值范圍是.故答案為：.【變式52】（2022秋·全國·高一專題練習）已知關于的方程的解集為，則實數的值（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】由，得