考點15函數y=Asin(wx+)的圖象及三角函數模型的簡單應用一、選擇題1.(2019·全國卷Ⅰ理科·T11)關于函數f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論:①f(x)是偶函數②f(x)在區間π2③f(x)在[-π,π]有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是 ()A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③【解析】選C.因為f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)為偶函數,故①正確.當π2<x<π時,f(x)=2sinx,它在區間π2,π單調遞減,故②錯誤.當0≤x≤π時,f(x)=2sinx,它有兩個零點:0,π;當-π≤x<0時,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一個零點:-π,故f(x)在[-π,π]有3個零點:-π,0,π,故③錯誤.當x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)時,f(x)=2sinx;當x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)時,f(x)=sinx-sinx=0,又f(x)為偶函數,所以f(x)的最大值為2,故④正確.綜上所述,①④正確【光速解題】畫出函數f(x)=sin|x|+|sinx|的圖象,由圖象可得①④正確,故選C.2.(2019·全國卷Ⅲ理科·T12)設函數f(x)=sinωx+π5(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且僅有5個零點①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點③f(x)在0,④ω的取值范圍是125其中所有正確結論的編號是 ()A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【命題意圖】本題考查三角函數y=Asinωx+φ的圖象與性質,【解析】選D.①若f(x)在[0,2π]上有5個零點,可畫出大致圖象,由圖1可知,f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點,故①正確.②由圖1、圖2可知,f(x)在(0,2π)有且僅有2個或3個極小值點,故②錯誤.④當f(x)=sinωx+π5=0時,ωx+π5=kπ(所以x=kπ因為f(x)在[0,2π]上有5個零點.所以當k=5時,x=5π-π當k=6時,x=6π-解得125≤ω<2910,故④③函數f(x)=sinωx+-π2+2kπ<ωx+π5<π2+2kπ(k2k-710π取k=0,當ω=125時,單調遞增區間為-724π<x<1當ω=2910時,單調遞增區間為-729π<x<3綜上可得f(x)在0,π10上單調遞增.故所以結論正確的編號有①③④.3.(2019·北京高考文科·T8)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為 ()A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【命題意圖】本題以直線與圓,三角函數作為問題背景,求面積的最值,考查邏輯推理能力、運算求解能力,體現了邏輯推理和數學運算的核心素養.試題難度:大.【解析】選B.陰影區域面積最大時,也即△PAB面積最大時,AB不動,P動,即底AB是定值,高為點P到AB的距離最大時,面積最大.此時,點P在優弧AB的中點上,如圖所示.設圓心為O,連接OA,OB,OP,因為∠APB=β,所以∠AOB=2β,S扇形AOB=12×2β×22=4βS△AOP=S△BOP=12OA·OPsin∠AOP=12×2×2sin(π-β)=2sin所以陰影區域面積最大為4β+4sinβ.4.(2019·天津高考理科·T7)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數,將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數為g(x).若g(x)的最小正周期為2π,且gπ4=2,則f3π8= A.-2 B.-2 C.2 D.2【命題意圖】本題考查函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數A,ω,φ之間的關系.【解題指南】只需根據函數性質逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】選C.f(x)為奇函數,可知f(0)=Asinφ=0,由|φ|<π可得φ=0;把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得g(x)=Asin12ωx,g(x)的最小正周期為2π,可得ω=2,由gπ4=2,可得A=2,所以f(x)=2sin2x,f3π8=2sin5.(2019·天津高考文科·T7)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函數,且f(x)的最小正周期為π,將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數為g(x).若gπ4=2,則f3π8= A.-2 B.-2 C.2 D.2【命題意圖】本題考查函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的圖象與其參數A,ω,φ之間的關系.【解題指南】只需根據函數性質逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】選C.f(x)為奇函數,可知f(0)=Asinφ=0,由|φ|<π可得φ=0;又因為f(x)的最小正周期為π,可得ω=2,所以y=f(x)=Asin2x,把其圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,得g(x)=Asinx,由gπ4=2,可得A=2所以f(x)=2sin2x,f3π8=2sin3π二、填空題6.(2019·全國卷Ⅰ文科·T15)函數f(x)=sin2x+3π2-3cos【命題意圖】本題首先應用誘導公式,轉化得到二倍角的余弦,進一步應用二倍角的余弦公式,得到關于cosx的二次函數.題目有一定的綜合性,注重了基礎知識、數學式子的變形及運算求解能力的考查.【解析】f(x)=sin2x+3π2-3cosx=-cos=-2cos2x-3