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第六章積分學不定積分定積分定積分第1頁第一節一、曲邊梯形面積二、定積分定義三、定積分幾何意義定積分概念及性質四、定積分基本性質第2頁一、曲邊梯形面積曲邊梯形面積=?設曲邊梯形是由連續曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積第3頁處理步驟1)大化小.在區間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;2)常代變.在第i個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高小矩形,并以此小矩形面積近似代替對應小曲邊梯形面積得第4頁3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第5頁二、定積分定義(P175)任一個分劃任取總趨于確定極限I,則稱此極限I為函數在區間上定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積.記作模第6頁積分上限積分下限被積函數被積表示式積分變量積分和1.定積分僅與被積函數及積分區間相關,而與積分變量用何字母表示無關,即說明：分劃方法及取法無關,第7頁

必要條件:且只有有限個間斷點函數可積充分條件(2個)：在上有界。(1)(2)3.定積分上限與下限交換時，定積分值變號。即第8頁三、定積分幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積負值各部分面積代數和第9頁例1.利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取第10頁第11頁[注]利用得兩端分別相加,得即第12頁四、定積分性質(設所列定積分都存在)(k為常數)第13頁6.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a,b]上則推論2.第14頁7.若對任意恒有則有推論3.函數在[a,b]上連續，且不恒為零，則有第15頁8.積分中值定理則最少存在一點使證:則由性質7可得依據閉區間上連續函數介值定理

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