專題3.4雙曲線的標準方程和性質【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1曲線方程與雙曲線】 1【題型2利用雙曲線的定義解題】 3【題型3雙曲線的標準方程的求解】 5【題型4求雙曲線的軌跡方程】 7【題型5利用雙曲線的幾何性質求標準方程】 10【題型6雙曲線的漸近線方程】 12【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】 14【題型8雙曲線中的最值問題】 16【題型9雙曲線的實際應用問題】 18【知識點1雙曲線的標準方程】1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：雙曲線在坐標系中的位置標準方程焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系【題型1曲線方程與雙曲線】【例1】（2023·高二課時練習）當ab<0時，方程ax2-ay2=b所表示的曲線是（

）A．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線【解題思路】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．【解答過程】當ab＜0時，方程ax2-∴方程表示雙曲線．焦點坐標在y軸上；故選：D．【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先求方程mx2【解答過程】因為方程mx2+又當mn<0時，方程m因此“mn<0”是“方程mx2+故選：C.【變式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）已知曲線C的方程為x2m+A．曲線C可以表示圓B．曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【解題思路】由橢圓、雙曲線、圓的方程定義列式求解判斷.【解答過程】對A，若曲線表示圓，則有m=2m+5>0對BC，若曲線表示橢圓，則有m>02m+5>0m≠2m+5?m>0對D，若曲線表示雙曲線，則有m2m+5<0?-52<m<0，此時故選：CD.【變式1-3】（2022·高二課時練習）已知x21-k(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在x軸上的雙曲線；(3)表示焦點在y軸上的雙曲線．【解題思路】根據雙曲線標準方程中的分母的正負解決即可．【解答過程】（1）因為x21-k所以(k-1)(|k|-3)<0所以k<-3或1<（2）因為x21-k-y則k-1＞所以1<k（3）因為x21-k-y2則k-3＞所以k<-3【題型2利用雙曲線的定義解題】【例2】（2023秋·江蘇常州·高二校考期末）雙曲線C:x225-y239=1A．22 B．2 C．2或22 D．24【解題思路】根據雙曲線的定義即可求解.【解答過程】由雙曲線方程可得：a=5，c=25+39=8，設雙曲線的左右焦點分別為若點P在雙曲線的左支上，則由雙曲線的定義可知：PF所以PF若點P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可知：PF所以PF2=12-10=2綜上：P到右焦點的距離為PF故選：A.【變式2-1】（2023秋·遼寧錦州·高三統考期末）雙曲線C：x2a2-y212=1的左右焦點分別為F1，F2，一條漸近線方程為3xA．7 B．9 C．1或9 D．3或7【解題思路】由漸近線方程可得a=2，則c=4【解答過程】由3x+y=0，可得又因M在雙曲線C，則由雙曲線定義，有MF2-故選：B.【變式2-2】（2023春·四川資陽·高二統考期末）已知雙曲線C:x2-y2m2=1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l經過FA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】結合雙曲線的定義來解決即可.【解答過程】雙曲線x2-y由雙曲線的定義，可得A所以AF則三角形ABF1的周長為故選：B.【變式2-3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯考期末）設F1，F2是雙曲線x24-y212=1的兩個焦點，PA．24 B．152 C．125 D．30【解題思路】利用雙曲線定義求出△PF【解答過程】3PF153PF2-根據余弦定理：cos∠則sin∠F1故選：A.【題型3雙曲線的標準方程的求解】【例3】（2023秋·天津河西·高二統考期末）設中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（

）A．x29-C．x2100-【解題思路】根據題意列式求解a,b【解答過程】∵雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為x2a2由題意可得c2=a∴雙曲線的方程為x2故選：A.【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習）與橢圓C:y216+xA．x2-yC．y22-【解題思路】求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義可求得a的值，再由b=c2-【解答過程】橢圓C的焦點坐標為0,±2，設雙曲線的標準方程為y2由雙曲線的定義可得2a∴a=2，∵因此，雙曲線的方程為y2故選：C.【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,5，F20,-5，P是雙曲線上一點且滿足A．x216-y29=1 B．【解題思路】根據雙曲線的定義求得正確答案.【解答過程】依題意c=5，P所以b=由于雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的標準方程是y2故選：D.【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知F1,F2是雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,A．x212-C．x23-【解題思路】在△PF1D和△PF2D分別利用余弦定理得2n2【解答過程】如圖所示設PF1=n，PF2=m，在△PF1D在△PF2D2×①+②得在△PF1F③④聯立消去x得2n因為S△PF1F由均值不等式可得72=2n當且僅當2n2=12此時由④9x2=n2所以PF22=P所以在△PF1D中由雙曲線的性質可得PF2-所以雙曲線E的方程為x2故選：C.【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（2022·四川·高三統考對口高考）已知y軸上兩點F10,-5，F20,5，則平面內到這兩點距離之差的絕對值為A．x29-C．x29+【解題思路】根據給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.【解答過程】點F10,-5，F20,5，令因此動點P的軌跡是以F10,-5，F2即雙曲線的實半軸長a=4，而半焦距c=5，則虛半軸長所以所求軌跡方程為y2故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知平面內兩定點F1-3,0，F23,0A．PF1-C．PF1-【解題思路】由雙曲線的定義即可求解.【解答過程】解：由題意，因為F1所以由雙曲線的定義知，當0<PF1故選：C.【變式4-2】（2022·高二課時練習）動圓M與圓C1：x+52+y2=25和圓C2：A．x24-C．x29-【解題思路】根據圓與圓的位置關系，進而結合雙曲線的定義即可求得答案.【解答過程】設動圓M的半徑為r，圓C1的圓心為C1-5,0，半徑r1=5，圓C2的圓心為C25,0，半徑r2=1，因為動圓M與圓C1和圓C2均外切，所以MC1=r+5，MC2=r+1，所以故選：A．【變式4-3】（2023秋·安徽安慶·高二校考期末）已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點，點F1關于點A．x2+y23=1 B．x【解題思路】由N是圓O:x2+y2=1上任意一點,可得|ON|=-1，N為【解答過程】如圖，當點P在y軸左側時，連接ON，PF1，則|ON結合PN為線段MF1的垂直平分線，可得所以PF同理，當點P在y軸右側時，PF故點P的軌跡是雙曲線，其方程為x2故選：B.【知識點2雙曲線的簡單幾何性質】1．雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的一些幾何性質：圖形標準方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.(2)代數法：若題目中的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可建立目標函數，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數關系式，然后根據函數關系式的特征選用配方法、判別式法，應用基本不等式以及三角函數的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型5利用雙曲線的幾何性質求標準方程】【例5】（2023·河南·校聯考模擬預測）若雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,bA．x22-y28=1 B．【解題思路】根據雙曲線一條漸近線的斜率可得b=2a，將點3,2的坐標代入方程【解答過程】由題意可得ba=2，所以把點3,2的坐標代入方程x2a所以b2則C的標準方程為x2故選：A.【變式5-1】（2023·四川成都·三模）已知雙曲線C經過點4,2，且與雙曲線x22-y2A．x28-y24=1 B．x【解題思路】首先利用共漸近線方程的設法設出雙曲線C的方程，再代入點，即可求解.【解答過程】由題意設雙曲線C的標準方程為x22-得162-4=所以雙曲線C的標準方程為x2故選：A.【變式5-2】（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓y24+xA．3x216C．3y24【解題思路】由橢圓方程可確定焦點在y軸上且離心率e=12，從而得雙曲線的焦點也在y軸上，離心率e=2【解答過程】解：因為橢圓y24+x2所以所求雙曲線的焦點也在y軸上，離心率e=2即ca=2，所以又因為雙曲線的虛軸長為4，即2b=4即c2所以a2所以所求雙曲線的方程為：3y故選：C.【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為6A．x29-C．x227-【解題思路】根據離心率求出ba=22，得漸近線方程為y=±22x，設直線y=2【解答過程】因為雙曲線Γ:x2a2-y所以雙曲線Γ的漸近線方程為y=±設直線y=22x的傾斜角為由對稱性不妨令點A，B分別在第一、四象限，坐標原點為O，則∠AOB于是得sin∠而雙曲線的虛半軸長為b，即OA=顯然四邊形ABCD為矩形，其面積S=4S△AOB=4×所以雙曲線的方程為x2故選：B．【題型6雙曲線的漸近線方程】【例6】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知雙曲線x2a2-yA．y=±3xC．y=±23【解題思路】先應用雙曲線x2a2-y23【解答過程】由題知雙曲線x2a2-y23所以a=1,b=所以雙曲線的漸近線方程為y=±故選：A.【變式6-1】（2023·河南開封·統考三模）已知雙曲線x2-my2=1mA．y=±22x B．y=±3【解題思路】由雙曲線的定義與性質計算即可.【解答過程】由題意可得x2-m漸近線方程為y=±故選：D.【變式6-2】（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）已知點P為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限內的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線lA．-3 B．-22 C．-【解題思路】設漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線PF1的方程，聯立兩直線方程求得A的坐標，再由向量共線的坐標表示可得【解答過程】解：設Pm,n，漸近線l的方程為直線PF1的方程為y聯立①②可得x=-a2即有A-由PA=2AF1，可得解得m=2c-3a由P在雙曲線上，可得2c化為4c2=13可得2b所以直線l的斜率為-3故選：D．【變式6-3】（2023春·四川成都·高二校聯考期末）已知雙曲線C?:?x2a2-y2b2=1(a>0,A．y=±2x BC．y=±2x【解題思路】求得雙曲線的漸近線方程，求得點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離d1,d2，根據題意化簡得到c2=2【解答過程】設P(x0,y漸近線方程為y=±ba則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離分別為：d1因為F1F2可得c4=4a又由c2=a2+所以雙曲線C的漸近線方程為y=±故選：D．【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【例7】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知雙曲線C:3mx2-myA．32 B．233 C．2【解題思路】把雙曲線方程化成標準形式，求出m即可求出離心率作答.【解答過程】雙曲線C:3mx2-my因此雙曲線C的實半軸長為1，所以雙曲線C的離心率為2.故選：C.【變式7-1】（2023春·四川涼山·高二統考期末）已知雙曲線C:x2a2-yA．2 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據漸近線方程可得ba=1，再由e【解答過程】因為雙曲線C:x2所以ba所以雙曲線的離心率為e=故選：B.【變式7-2】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統考三模）已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點，過F且垂直于xA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【解題思路】求出點A、B的坐標，設點Px,y，其中x≤-a，可得出y2=b2x2a【解答過程】將x=c代入雙曲線C的方程可得c2不妨取點Ac,b2a、Bc,-AP=x-因為PA⊥PB=c因為x≤-a，則ca可得x=a2整理可得e2-e-2≥0故選：D.【變式7-3】（2023·安徽合肥·校考模擬預測）雙曲線x2a2-y2b2=1（a>2，b>0）的焦距為2cc>0，已知點Aa,0，B0,A．22,2 B．52,5【解題思路】首先表示出直線AB的方程，利用距離公式表示出d1，d2，依題意可得2abc≥45c，再根據a【解答過程】依題意直線AB：xa+yb=1所以d1=2所以d1+d即25c2-a2又e>1，所以e故選：B.【題型8雙曲線中的最值問題】【例8】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:x24-y24=1的左焦點為F，點P是雙曲線CA．5 B．5+22 C．7 D．【解題思路】由雙曲線定義PF等于P到右焦點F1的距離PF1+4，而PF1【解答過程】記雙曲線C的右焦點為F122,0，所以當且僅當點P為線段EF1與雙曲線故選：C．【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習）若點P在曲線C1:x216-y29=1上，點Q在曲線A．9 B．10 C．11 D．12【解題思路】分析可知兩圓圓心為雙曲線C1的兩個焦點，利用圓的幾何性質以及雙曲線的定義可求得PQ-【解答過程】在雙曲線C1中，a=4，b=3，c記點F1-5,0、F25,0，當PQ所以，PQ-故選：B.【變式8-2】（2023·遼寧撫順·統考模擬預測）已知雙曲線C:y24-x22=1的焦點分別是FA．PF1?PF2的最大值為C．PF1?PF2的最小值為【解題思路】設出點P的坐標，結合雙曲線的范圍，利用數量積的坐標運算求解即可.【解答過程】根據題意，F1,F2的坐標為0,6,0,-故PF又y2=41+x2又x∈R，故當x=0故PF1?P故選：D.【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）已知F1,F2分別為雙曲線x29-y2A．19 B．23 C．25 D．85【解題思路】設P(x,y)且x≥3，應用兩點距離公式及【解答過程】令P(x,y)且x所以|PF1則|PF1|2所以|PF故選：B.【題型9雙曲線的實際應用問題】【例9】（2023春·河南商丘·高二開學考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y216-x2m=1的圖象的一部分，當拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為4A．4米 B．82-4米 C．26-【解題思路】將A-23,-8代入雙曲線得到m=4，當【解答過程】根據題意：M0,-4，A-23,-8，故64當水面寬度為46米時，即x=-26拱頂M到水面的距離為47故選：D.【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發生在接報中心的（

）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離3403m B．東偏南45°方向，距離3403mC．西偏北45°方向，距離1703m D．東偏南45°方向，距離1703m【解題思路】建立平面直角坐標系，由條件確定該巨響發生的軌跡，聯立方程組求其位置.【解答過程】如圖，

以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系．設A、B、設P（x，y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得PA=PC，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為由雙曲線定義知P點在以A