3DObjectRepresentations

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methods多邊形表面PolygonSurfaces曲線曲面:Bezier曲線立體構造Solid-Modeling八叉樹Octrees分形Fractal…2RepresentationMethods三維對象表示方法通常可分為兩類邊界表示Boundaryrepresentations空間分區Space-partitioningrepresentations3RepresentationMethods邊界表示使用一組曲面描述三維對象曲面將物體分為內外兩部分。典型例子：多邊形平面、樣條曲面4RepresentationMethods5RepresentationMethods空間分區表示用來描述物體內部性質將包含物體的空間區域劃分成一組較小的、非重疊的、鄰接的實體。如：八叉樹表示6RepresentationMethods78.1多邊形表面三維圖形中運用邊界表示的最普遍方式是使用一組包圍物體內部的表面多邊形。很多圖形系統以一組表面多邊形來存儲物體的描述。由于所有表面以線性方程加以描述，因此會簡化并加速物體的表面繪制和顯示。某些情況下，多邊形表示是惟一可用的，但很多圖形包也允許以其它方式對物體加以描述，如樣條曲面，它在轉換到多邊形表示后加以處理88.1多邊形表面多邊形表數據表分為兩組進行組織幾何表：頂點坐標和用來標識多邊形表面空間方向的參數屬性表：指明物體透明度及表面反射度的參數和紋理特征9多邊形表面頂點表序號點坐標1x1,y1,z12x2,y2,z23x3,y3,z34x4,y4,z45x5,y5,z5邊表序號頂點號1v1,v22v2,v33v3,v14v3,v45v4,v56v5,v1多邊形面表序號邊序號1E1,E2,E32E3,E4,E5,E6E1E2E4E5S1v2v1v3v4v5E3E6S210PolygonSurfaces多邊形網格圖形系統一般使用多邊形網格對3D物體進行建模118.2曲線和曲面曲線曲面的生成方法給定一組數學函數給定的一組數據點12一旦給定函數，圖形包將指定曲線方程投影到顯示平面上，且沿著投影函數路徑繪制像素位置。由函數式描述而生成的顯示曲面的例子有二次曲面和超二次曲面

(P.334-P.337)OpenGL二次和三次曲面函數(P.337-P.341)8.2曲線和曲面13樣條的歷史很早的繪圖員利用“ducks”和有柔性的木條（樣條）來繪制曲線木質的樣條具有二階連續并且通過所有的控制點8.3樣條表示ADuck(weight)Duckstraceoutcurve14樣條：通過一組指定點集而生成平滑曲線的柔性帶。樣條曲線在計算機圖形學中的含義由多項式曲線段連接而成的曲線在每段的邊界處滿足特定的連續性條件樣條曲面使用兩組正交樣條曲線進行描述8.3樣條表示15樣條在圖形學中的應用設計曲線、曲面汽車車身設計、飛機和航天飛機表面的設計、船體設計以及家庭應用。8.3樣條表示16曲線的產生給定一組離散的坐標點，將數據集擬合成指定的曲線函數根據曲線函數得到曲線的圖形8.3樣條表示17曲線的類型插值樣條曲線：選取的多項式使得曲線通過每個控制點逼近樣條曲線：選取的多項式不一定使曲線通過每個控制點8.3樣條表示18凸殼凸殼的定義Convexhull

包含一組控制點的凸多邊形邊界凸殼的作用提供了曲線或曲面與包圍控制點的區域之間的偏差的測量以凸殼為界的樣條保證了多項式沿控制點的平滑前進19凸殼20參數連續性條件兩個相鄰曲線段在相交處的參數導數相等零階連續(C0連續)：簡單地表示曲線連接一階連續(C1連續)：說明代表兩個相鄰曲線的方程在相交點處有相同的一階導數（切線）二階連續(C2連續)：兩個曲線段在交點處有相同的一階和二階導數，交點處的切向量變化率相等參數連續性條件21曲線分段構造時參數連續性條件零階連續一階連續二階連續F(u)f(u)F(1)=f(0)F'(1)=f'(0)F''(1)=f''(0)22幾何連續性條件兩個相鄰曲線段在相交處的參數導數成比例零階連續（G0連續）：與0階參數連續性相同，即兩個曲線必在公共點處有相同的坐標一階連續（G1連續）：表示一階導數在兩個相鄰曲線的交點處成比例二階連續（G2連續）：表示兩個曲線段在相交處的一階和二階導數均成比例幾何連續性條件23插值樣條曲線三次樣條插值自然三次樣條插值Hermite樣條插值Cardinal樣條插值Kochanek_Bartels樣條插值逼近樣條曲線Bezier曲線B_樣條曲線24Bezier曲線和曲面法國Bezier使用逼近樣條設計汽車外形,數學基礎簡單，容易實現25Bézier構造公式

假定給出n+1控制點:Pk=(xk,yk,zk),k取值范圍為0到n，這些坐標值用于合成向量P(u),

BlendingFunctions合成函數 Bk,n(u)=C(n,k)*uk*(1-u)n-k C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)26ExamplesquadraticBéziercurve二次Bézier曲線cubicBéziercurve立方Bézier曲線Implementation(P.357-359)27例：二次Bezier曲線由三個控制點生成B0,2(u)=(1-u)2B1,2(u)=2u(1-u)B2,2(u)=u2

28例：三次Bezier曲線由四個控制點生成B0,3(u)=(1-u)3B1,3(u)=3u(1-u)2B2,3(u)=3u2(1-u)B3,3(u)=u3

29Bezier曲線舉例P0P1P230Bezier曲線舉例P0P1P2P3P0P1P2P331Bézier曲線特性Bezier多項式次數＝控制點個數-1Bézier曲線總是通過第一和最后一個控制點 P(0)=p0,P(1)=pn任何Bézier曲線總是落在控制點的凸殼內

32P0P1P2P0P1P2P3P0P1P2P3P0P1P2P3P4P0P1P2P333Designtechniques第一和最后一個控制點重合生成封閉Bézier曲線多個控制點位于同一位置會對該位置加以更多的權零階參數連續Bézier曲線的構造一階參數連續Bézier曲線的構造

34p1p0=p5p4p2p3p0p1=p2p3p4p0p1p2P0’P1’P2’P3’35Bezier曲面使用兩組正交的Bezier曲線來設計

(m+1)*(n+1)個控制點368.4實體構造技術由簡單的物體來構成復雜的物體掃描表示結構實體幾何法37掃描表示思想：通過平移、旋轉及其他對稱變換來構造三維對象通過指定一個二維形狀以及在空間區域內移動該形狀的掃描來描述該三維物體38zoyxA平移掃描二維圖形A沿Z軸平移39旋轉掃描二維圖形A繞Z軸旋轉zByxA40結構實體幾何法思想通過對兩個指定三維對象進行并、交或差等集合操作產生一個新的三維對象

41結構實體幾何法物體A和B差并交差428.5八叉樹分層樹形結構，稱為八叉樹。思想利用實體的空間相關性優點減少了三維物體的存儲需求提供了存儲有關物體內部信息的方便表示43四叉樹二維平面三維空間八叉樹44四叉樹四叉樹數據結構思想同質象限1023102345用于二維平面的分解對二維區域遞歸地等分4個小正方形，這個分解過程可表示為一棵樹，除葉節點，其每個節點都有四個分支，分別表示4個小正方形若小正方形是同質的，則不必再分解；若小正方形是非同質的，則需將它再一分為四分解是遞歸的。四叉樹46四叉樹例312031200123013247四叉樹31245613251924182021222371112891014151617具有子孫的節點空節點實節點2451391078111231415202116172223181924251648三維形體的分解對三維空間進行前后、左右、上下等分為8個小立方體，小立方體單元均質，則停止分解；小立方體單元非均質，需進一步分解為8個子立方體直至所有小立方體單元均質，或已分解到規定的分解精度為止。八叉樹49八叉樹236720131375具有子孫的節點空節點實節點508.6分形Fractal歐氏幾何法&分形幾何法分形基本特征分形生成過程分形分類分形維數概念51Euclidean-GeometryMethods--useequationstodescribeobjectswhichhavesmoothsurfacesandregularshapes.Fractal-GeometryMethods--useprocedurestomodelnaturalobjectswhichhaveirregularorfragmentedfeatures.

歐氏幾何法&分形幾何法52infinitedetailateverypoint每點具有無限細節self-similaritybetweentheobjectpartsandtheoverallfeatures對象整體和局部之間的自相似性利用一個過程來描述分形物體，該過程為產生物體局部細節指定了重復操作

distantCloserCloseryet分形基本特征53Idea

分形圖形的生成過程是重復使用指定的變換函數作用于空間區域中的點的過程

InitialpointP0,transformationfunctionF P1=F(P0),P2=F(P1),P3=F(P2)……

Examples(P399)

分形生成過程54Vonkochsnowflake55樹形生成元及對應曲線56樹形生成元及對應曲線57分形分類類型自相似分形：組成部分是整個物體的收縮形式自仿射分形：組成部分為不同坐標方向上的不同縮放因子形成。不變分形集：由非線性變換形成。自平方分形自逆分形：由自逆過程形成。58Self-similarFractal自相似分形

自相似分形的組成部分是整個物體的收縮形式。從初始形狀開始，對整個物體應用縮放參數s來構造物體的子部件。TypesDeterministicself-similar確定自相似分形Statisticallyself-similar統計自相似分形用于模擬樹木、灌木和其他植物(彩頁12)

分形分類5960Self-affineFractal自仿射分形

自仿射分形的組成部分由不同坐標方向上的不同縮放參數sx、sy、sz形成TypesDeterministicself-affinefractals確定自仿射分形Statisticallyself-affinefractals統計自仿射分形用于模擬巖層、水和云等自然景物(彩頁13)

分形分類6162InvariantFractalSets不變分形集由非線性變換形成Typesself-squaringfractals自平方分形self-inversefractals自逆