2021年江西省高考數學教學質量檢測試卷（理科）（4月份）一、選擇題（每小題5分）.1．集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{x|x﹣a＞0}，且（?RA）∩B＝（0，1]，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知m，n∈R，且mi（1+2i）＝n+4i（其中i為虛數單位），則m+n＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．43．某幾何體的三視圖如圖所示，已知圖中圓的半徑都為1，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．π4．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，若點A（x0，2）在拋物線上，則|AF|＝（）A．3 B．2 C．4 D．2+15．根據下面給出的某地區2014年至2020年環境基礎設施投資額（單位：億元）的表格，以下結論中錯誤的是（）年份2014201520162017201820192020投資額/億元47535662122140156A．該地區環境基礎設施投資額逐年增加 B．2018年該地區環境基礎設施投資增加額最大 C．2018年和2019年該地區環境基礎設施投資總額比2014年至2017年的投資總額小 D．2020年該地區環境基礎設施投資增加額相比2019年有所減少6．函數f（x）＝cos2x的圖象為（）A． B． C． D．7．已知定義在R上的函數f（x），則“f（x）的周期為2”是“f（x）＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（x+2y+3z）5的展開式中xy2z2的系數為（）A．5 B．30 C．1080 D．21609．如圖是公元前約400年古希臘數學家泰特托斯用來構造無理數，，，…的圖形之一，此圖形中∠BAD的余弦值是（）A． B． C． D．10．已知動直線l：xcosα+ysinα＝1與圓C1：x2+y2＝2相交于A，B兩點，圓C2：x2+y2＝1．下列說法：①l與C2有且只有一個公共點；②線段AB的長度為定值；③線段AB的中點軌跡為C2．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．311．定義：若存在n個正數x1，x2…，xn，使得f（﹣xi）＝﹣f（xi）（i＝1，2，…，n），則稱函數y＝f（x）為“n階奇性函數”．若函數g（x）＝是“2階奇性函數”，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）12．已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的一個周期的圖象如圖所示，其中f（0）＝1，f（1）＝0．f（x1）＝f（x2）＝﹣，則f（x2﹣x1﹣2）＝（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分）.13．設，為非零向量，且|2+3|＝|2﹣3|，則，的夾角為．14．若x，y滿足約束條件，則z＝的最大值是．15．已知F是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F作漸近線的垂線FH（點H為垂足），并交雙曲線的右支于點A，若A為線段FH的中點，則雙曲線的離心率為．16．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱長均為a，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，點E在棱A1D1上，且A1E＝2ED1，平面α過點E且平行于平面A1DB，則平面α與平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各表面交線圍成的多邊形的面積是．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝Sn+an+2，a32＝S1S5，（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn＝a，求數列{bn}的前n項和Tn．18．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，四邊形BDEF是平行四邊形，∠DBF＝45°，BF＝2，FA＝FC．（1）求證：FD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．19．在某學校某次射箭比賽中，隨機抽取了100名學員的成績（單位：環），并把所得數據制成了如下所示的頻數分布表：成績分組[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）[9，10]頻數5182826176（1）求抽取的樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）已知這次比賽共有2000名學員參加，如果近似地認為這次成績Z服從正態分布N（μ，σ2）（其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2＝1.61），且規定8.27環是合格線，那么在這2000名學員中，合格的有多少人？（3）已知樣本中成績在[9，10]的6名學員中，有4名男生和2名女生，現從中任選3人代表學校參加全國比賽，記選出的男生人數為ξ，求ξ的分布列與期望Eξ．[附：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，≈1.27，結果取整數部分]20．如圖，已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的離心率為，A，B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓E上異于A，B的一個動點，直線l過點B且垂直于x軸，直線AP與l交于點Q，圓C以BQ為直徑．當點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為π．（1）求橢圓E的標準方程；（2）設圓C與PB的另一交點為點R，記△AQR的面積為S1，△BQR的面積為S2，試判斷是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求的取值范圍．21．已知函數f（x）＝xex+ax+bcosx．（1）當b＝0時，討論函數f（x）極值點的個數；（2）當b＝﹣2，x≥0時，都有f（x）≥2ex﹣4，求實數a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數方程]22．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲線C1和C2的直角坐標方程；（2）已知點P（1，），曲線C1與C2相交于A，B兩點，求||．[選修45：不等式選講]23．已知函數f（x）＝|x+a|+|x﹣|（a＞0）．（1）求證：f（x）≥2；（2）當a＝時，f（x）≥﹣x2+4x+m恒成立，求m的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{x|x﹣a＞0}，且（?RA）∩B＝（0，1]，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，∴?RA＝{x|x≤1}，且（?RA）∩B＝（0，1]，∴a＝0．故選：B．2．已知m，n∈R，且mi（1+2i）＝n+4i（其中i為虛數單位），則m+n＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4解：由mi（1+2i）＝n+4i，得﹣2m+mi＝n+4i，∴，即m+n＝﹣m＝﹣4．故選：B．3．某幾何體的三視圖如圖所示，已知圖中圓的半徑都為1，則此幾何體的體積為（）A． B． C． D．π解：根據幾何體三視圖轉換為幾何體的直觀圖，該幾何體為個球體；故．故選：D．4．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，若點A（x0，2）在拋物線上，則|AF|＝（）A．3 B．2 C．4 D．2+1解：點A（x0，2）在拋物線上，可得12＝4x0，解得x0＝3，所以|AF|＝x0+＝3+1＝4．故選：C．5．根據下面給出的某地區2014年至2020年環境基礎設施投資額（單位：億元）的表格，以下結論中錯誤的是（）年份2014201520162017201820192020投資額/億元47535662122140156A．該地區環境基礎設施投資額逐年增加 B．2018年該地區環境基礎設施投資增加額最大 C．2018年和2019年該地區環境基礎設施投資總額比2014年至2017年的投資總額小 D．2020年該地區環境基礎設施投資增加額相比2019年有所減少解：由表格中的數據信息可知，該地區環境基礎設施投資額逐年增加，故選項A正確；2015～2020年的投資增額分別為：6，3，6，60，18，16，所以2018年該地區環境基礎設施投資增加額最大，故選項B正確；2018年和2019年該地區環境基礎設施投資總額為262億元，2014年至2017年的總額為218億元，故選項C錯誤；2019年的投資增額為18，2019年的投資增額為16，所以2020年該地區環境基礎設施投資增加額相比2019年有所減少，故選項D正確．故選：C．6．函數f（x）＝cos2x的圖象為（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝?cos（﹣2x）＝?cos2x＝﹣f（x），∴函數f（x）為奇函數，排除選項A和C，又f（π）＝?cos2π＞0，排除選項B，故選：D．7．已知定義在R上的函數f（x），則“f（x）的周期為2”是“f（x）＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：①當f（x）＝時，有f（x）＝＝＝f（x+2），則f（x）的周期為2，②當f（x）的周期為2，例如f（x）＝sinπx，當x為整數時，f（x）＝f（x+1）＝0，則f（x）＝無意義，綜上所述：f（x）的周期為2是f（x）＝的必要不充分條件．故選：B．8．（x+2y+3z）5的展開式中xy2z2的系數為（）A．5 B．30 C．1080 D．2160解：（x+2y+3z）5表示5個因式x+2y+3z的乘積，故它的展開式中，含xy2z2的項是由其中一個因式取x，其中兩個因式取2y，剩下的兩個因式取3z得到的，故xy2z2的系數為??22??32＝5×6×4×9＝1080．故選：C．9．如圖是公元前約400年古希臘數學家泰特托斯用來構造無理數，，，…的圖形之一，此圖形中∠BAD的余弦值是（）A． B． C． D．解：由題意，在△BCD中，∠DCB＝135°，由余弦定理可得BD2＝CD2+BC2﹣2CD?BC?cos∠DCB＝1+1+2×＝2，所以在△BAD中，cos∠BAD＝＝＝．故選：C．10．已知動直線l：xcosα+ysinα＝1與圓C1：x2+y2＝2相交于A，B兩點，圓C2：x2+y2＝1．下列說法：①l與C2有且只有一個公共點；②線段AB的長度為定值；③線段AB的中點軌跡為C2．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：C2的圓心到直線l的距離d＝＝1，∴直線l與圓C2相切，故①正確；由①知l為C2的切線，而C1，C2是同心圓，設C1半徑為R，則R＝，設C2半徑為r，則r＝1，則|AB|＝2＝2＝2，∴線段AB的長度為定值，故②正確；根據對稱性，l與C2的切點即線段AB的中點，故線段AB的中點軌跡為C2，故③正確；故選：D．11．定義：若存在n個正數x1，x2…，xn，使得f（﹣xi）＝﹣f（xi）（i＝1，2，…，n），則稱函數y＝f（x）為“n階奇性函數”．若函數g（x）＝是“2階奇性函數”，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）解：由題意可得，方程g（﹣x）＝﹣g（x）有且只有兩個正根，即m（﹣x）+m＝﹣xlnx有且只有兩個正根，方程可化為：xlnx＝m（x﹣1），因此轉化為函數y＝xlnx與y＝m（x﹣1）在y軸右側的圖象有兩個交點，先研究函數y＝xlnx的圖象，因為y′＝lnx+1，當0＜x＜時，y′＜0，當x＞時，y′＜0，且當x＝1時，y＝0，y′＝1，在x＝1處切線的斜率為1，如圖所示：而y＝m（x﹣1）過點（1，0）斜率為m，由圖象有兩個交點，則只需m＞0且m≠1，故m的實數取值范圍為（0，1）∪（1，+∞），故選：D．12．已知函數f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的一個周期的圖象如圖所示，其中f（0）＝1，f（1）＝0．f（x1）＝f（x2）＝﹣，則f（x2﹣x1﹣2）＝（）A． B． C． D．解：由f（0）＝1，可得sinφ＝，又＜φ＜π，所以φ＝，由f（1）＝0，可得ω+φ＝2kπ+π，可得ω＝2kπ+，k∈Z，又因為周期T＞4（1﹣0），所以＞4，可得0＜ω＜，所以ω＝，所以T＝＝12，所以f（x）＝2sin（x+），因為f（x1）＝2sin（x1+）＝﹣，所以sin（x1+）＝﹣，因為f（4）＝2sin＝﹣2，所以點（x1，﹣），（x2，﹣）關于直線x＝4對稱，所以設（×4+）﹣（x1+）＝α，則sin（﹣α）＝sin（x1+）＝﹣，可得cosα＝，又（x2+）﹣（x1+）＝2α，可得（x2﹣x1）＝2α，所以f（x2﹣x1﹣2）＝2sin[（x2﹣x1）﹣+]＝2sin（+2α）＝2cos2α＝2（2×﹣1）＝﹣．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設，為非零向量，且|2+3|＝|2﹣3|，則，的夾角為．解：根據題意，，為非零向量，若|2+3|＝|2﹣3|，則有|2+3|2＝|2﹣3|2，變形可得：42+12?+92＝42﹣12?+92，即?＝0，則，的夾角為．故答案為：．14．若x，y滿足約束條件，則z＝的最大值是2．解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（1，2），z＝的幾何意義為可行域內的點與定點O（0，0）連線的斜率．∵kOA＝＝2，∴z＝的最大值等于2．故答案為：2．15．已知F是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F作漸近線的垂線FH（點H為垂足），并交雙曲線的右支于點A，若A為線段FH的中點，則雙曲線的離心率為．解：由題意可知，FH的方程為y＝﹣（x﹣c），與漸近線方程為y＝x，可得H的坐標為（，），A是線段AF2的中點（，），根據中點A在雙曲線C上，∴，∴＝2，故e＝＝，故答案為：．16．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱長均為a，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，點E在棱A1D1上，且A1E＝2ED1，平面α過點E且平行于平面A1DB，則平面α與平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各表面交線圍成的多邊形的面積是a2．解：如圖，符合條件的截面是六邊形EFGHMN，且EF＝GH＝MN＝a，FG＝HM＝NE＝，六邊形內角均為120°，連接EG，GM，ME，可知三角形EGM為等邊三角形，所以面積為，故答案為：．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝Sn+an+2，a32＝S1S5，（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn＝a，求數列{bn}的前n項和Tn．解：（1）正項數列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝Sn+an+2，整理得an+1﹣an＝2（常數），所以數列{an}是以a1為首項，2為公差的等差數列，因為a32＝S1S5，所以，解得a1＝1或﹣4（負值舍去），故an＝2n﹣1．（2）因為an＝2n﹣1，所以，所以＝（22+23+…+2n+1）﹣（1+1+…+1）＝2n+2﹣n+4．18．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，四邊形BDEF是平行四邊形，∠DBF＝45°，BF＝2，FA＝FC．（1）求證：FD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．解：（1）證明：連接AC交BD于O，連接OF，因為四邊形ABCD是菱形，所以O點是AC中點，AC⊥BD，又因為FA＝FC，所以OF⊥AC，又因為BD∩AC＝O，所以AC⊥平面FBD，因為FD?平面FBD，所以AC⊥FD，因為四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，所以BD＝2，又因為∠DBF＝45°，BF＝2，所以FD＝＝2，于是BF2＝BD2+DF2，所以FD⊥BD，因為AC∩BD＝O，所以FD⊥平面ABCD．（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，＝（，1，0），＝（0，﹣2，2），設平面ADE的法向量為＝（x，y，z），則，令y＝，＝（﹣1，，），平面BED的法向量為＝（1，0，0），因為二面角A﹣DE﹣B為銳角，所以二面角A﹣DE﹣B的余弦值為＝＝．19．在某學校某次射箭比賽中，隨機抽取了100名學員的成績（單位：環），并把所得數據制成了如下所示的頻數分布表：成績分組[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）[9，10]頻數5182826176（1）求抽取的樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）已知這次比賽共有2000名學員參加，如果近似地認為這次成績Z服從正態分布N（μ，σ2）（其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2＝1.61），且規定8.27環是合格線，那么在這2000名學員中，合格的有多少人？（3）已知樣本中成績在[9，10]的6名學員中，有4名男生和2名女生，現從中任選3人代表學校參加全國比賽，記選出的男生人數為ξ，求ξ的分布列與期望Eξ．[附：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，≈1.27，結果取整數部分]解：（1）由所得數據列成的頻數分布表，得樣本平均數××××××0.06＝7．（2）由（1）知Z～N（7，1.61），所以P（Z≥8.27）＝＝0.15865，所以在這2000名學員中，合格的有2000×≈317人．（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列為：ξ123P所以E（ξ）＝1×+2×+3×＝2（人）．20．如圖，已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的離心率為，A，B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓E上異于A，B的一個動點，直線l過點B且垂直于x軸，直線AP與l交于點Q，圓C以BQ為直徑．當點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為π．（1）求橢圓E的標準方程；（2）設圓C與PB的另一交點為點R，記△AQR的面積為S1，△BQR的面積為S2，試判斷是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求的取值范圍．解：（1）由已知，＝?＝，當點P在短軸端點時，由△AOP相似于△ABQ?BQ＝2b，所以圓C的面積為πb2，所以b＝1，a＝2，所以橢圓的標準方程為+y2＝1．（2）設P（x0，y0），則+y02＝1?＝﹣①，A，B的坐標分別為（﹣2，0），（2，0），所以kAP＝，?直線AP的方程為y＝（x+2），令x＝2時，Q（2，），又kBP＝，點R在圓上，所以QR⊥BR，因此kQR＝，所以直線RQ的方程為y﹣＝（x﹣2），即y0（x0+2）y﹣4y02＝（4﹣x02）（x﹣2），由①是得到4﹣x02＝4y02，代入直線RQ的方程，化簡為4y0x﹣（x0+2）y﹣4y0＝0，設A，B兩點到直線RQ的距離分別為d1，d2，則＝＝＝3，為定值．21．已知函數f（x）＝xex+ax+bcosx．（1）當b＝0時，討論函數f（x）極值點的個數；（2）當b＝﹣2，x≥0時，都有f（x）≥2ex﹣4，求實數a的取值范圍．解：（1）b＝0，f（x）＝xex+ax?f′（x）＝（x+1）ex+a，記g（x）＝f′（x），g′（x）＝（x+2）ex，令g′（x）＝0，得x＝﹣2，f′（﹣2）＝a﹣，當x＜﹣2時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，a﹣＜f′（x）＜a，當x＞﹣2時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，f′（x）＞a﹣，①當a﹣≥0，即a≥，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，無極值點；②當a﹣＜0且a＞0，即0＜a＜時，f′（x）＝0有兩個不同的根，f（x）有兩個極值點，③當a≤0時，f′（x）＝0有一個根，f（x）有一個極值點．（2）依題意（x﹣2）ex+axx﹣2cosx+4≥0對任意的x≥0恒成立，記h（x）＝（x﹣2）ex+axx﹣2cosx+4，h（0）＝0，h′（x）＝（x﹣1）ex+a+2sinx，h′（0）＝a﹣1，h″（x）＝xex+2cosx，所以x∈[0，]時，xex≥0，2cosx＞0?h″（x）＞0，x∈[，+∞）時，xex≥e＞π＞2，h″（x）＞2+2cosx≥0，所以h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，①a﹣1