2022-2023學年海南省瓊海市高一下學期5月期中考試數(shù)學試題一、單選題1．設全集為，集合，，則等于（

）A． B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【答案】C【分析】先算出，再算出即可．【詳解】解：因為全集為，集合，所以：＝{1，3，5，6}，∴＝{2，4，7}.故選：C．【點睛】本題主要考查了集合的并、交、補集混合運算，屬于基礎知識的考查．2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用由復數(shù)的乘法法則計算即可得出答案.【詳解】故選：A3．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負和對數(shù)的真數(shù)大于零求解即可【詳解】由題意得，解得，所以函數(shù)的定義域為，故選：C4．若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得.聯(lián)立方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，.由可得，.故選：B.5．如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由斜二測畫法原理將直觀圖轉化為原圖，得出三角形是直角三角形，求出兩直角邊的長，再計算三角形面積即可求解.【詳解】由直觀圖作出原圖如圖所示：直觀圖中：是等腰直角三角形，，所以在原圖中，，，且，所以原三角形面積是，故選：B6．若一個長、寬、高分別為4，3，2的長方體的每個頂點都在球的表面上，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出長方體的體對角線長，即可得出球的半徑，根據(jù)面積公式，即可得出答案.【詳解】設球的半徑為，由已知可得，長方體的體對角線長為，所以，，所以，球的表面積為.故選：A.7．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【詳解】依題意在上的投影向量為.故選：A.8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．2 C．0 D．5【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)的周期為6，然后利用周期和，可求得結果.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以的周期為6，所以，故選：D二、多選題9．已知復數(shù)：，則（

）A． B．的虛部為C．的共軛復數(shù)為 D．是方程的一個根【答案】ACD【分析】化簡求出，根據(jù)復數(shù)的概念可判斷A、B、C，代入化簡可判斷D.【詳解】對于A，，所以，故A項正確；對于B，由A可得，，的虛部為，故B項錯誤；對于C，由A可得，，的共軛復數(shù)為，故C項正確；對于D，由A知，，則，所以是方程的一個根，故D項正確.故選：ACD.10．在中，內(nèi)角A、、所對應邊分別為、、，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若點為的重心，則D．若點為的重心，則【答案】AC【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性以及余弦函數(shù)在各個象限的符號，即可判斷A項；根據(jù)正弦定理，即可判斷B項；作圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，以及重心的結論，即可判斷C項；假設成立，由結論出發(fā)得出的點位置與已知無關，即可判斷D項.【詳解】對于A項，若都為銳角，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，成立；若為鈍角，為銳角，則有.綜上所述，，故A項正確；對于B項，若，則，根據(jù)正弦定理可知，，故B項錯誤；對于C項，如圖1，設為的中點，以為鄰邊構造平行四邊形.

由已知可得，，，所以.根據(jù)向量加法的法則可知，.又方向相反，且，所以，所以，，故C項正確；對于D項，假設點為的重心，則成立.由可得，，所以.同理可得，，.所以，點為的垂心，與重心無關，故假設不正確，故D項錯誤.故選：AC.11．如圖正方體，棱長為1，為中點，為線段上的動點，過A、、的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論正確的是（

）

A．當時，為四邊形B．當時，為等腰梯形C．當時，為六邊形D．當時，的面積為【答案】ABD【分析】對于A、B，延長交于點，連接并延長交于，連接.即可得出截面形狀，判斷A、B；對于C項，延長交于點，連接并延長交于點，交延長線于，連接，即可得出截面形狀；對于D項，作出截圖，求出平行四邊形的邊長與夾角，根據(jù)面積公式，即可得出答案.【詳解】對于A，如圖1，延長交于點，連接并延長交于，連接.

因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，則四邊形即為所求截面，故A項正確；對于B項，如圖2，延長交于點，連接并延長交于，連接.

因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為分別為的中點，所以.又，所以點與點重合，所以，截面即為梯形.又，，，所以，，所以，所以，截面四邊形為等腰梯形，故B項正確；對于C項，如圖3，延長交于點，連接并延長交于點，交延長線于，連接，交于點，連接.

可知，截面為五邊形，故C項錯誤；對于D項，如圖4，截面即為四邊形.

易知.又，在中，，所以，，所以，的面積為，故D正確.故選：ABD.12．如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個平面后，則下列四個結論中正確的是（

）

A． B．是等邊三角形C．平面平面 D．二面角的正切值為【答案】ABD【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理易證平面，從而可知，可判斷A；利用勾股定理可求得，從而可判斷B；作出平面與平面的二面角的平面角，利用平面，可知為直角，因此不是直角，從而可判斷C；作出二面角的平面角，設為，可求得，從而可判斷D.【詳解】設等腰直角三角形的腰為，則斜邊，為的中點，，又平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故A正確；由A知，平面，平面，，又，由勾股定理得：，又，是等邊三角形，故B正確；

為等腰直角三角形，取斜邊的中點，則，又為等邊三角形，連接，則,為平面與平面的二面角的平面角，由平面可知，為直角，因此不是直角，故平面與平面不垂直，故C錯誤；

由題意知，平面，過點作于點，連接，則，為二面角的平面角，設為，則，故D正確;故選：ABD.三、填空題13．已知，則.【答案】【分析】由，再利用二倍角公式計算出結果.【詳解】.故答案為：14．已知一個正方體與一個圓柱的高度均為1，且正方體的表面積與圓柱的側面積相等，則圓柱的體積為.【答案】【分析】設圓柱底圓半徑為r，由正方體的表面積與圓柱的側面積相等求得r，由體積公式即可求【詳解】設圓柱底圓半徑為r，由正方體的表面積與圓柱的側面積相等得，故，故圓柱體積為.故答案為：四、雙空題15．如圖，在正方體中，為中點，則與平面所成角的大小為；CD與AE所成角的余弦值為.【答案】45°【分析】由CD⊥，得是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的大小；由CD∥AB，得∠BAE是CD與AE所成角（或所成角的補角），由此能求出CD與AE所成角的余弦值．【詳解】在正方體中，E為中點，∵CD⊥，∴是與平面所成角，∵CD＝，CD⊥，∴＝45°，∴平面與平面所成角的大小為45°；∵CD∥AB，∴∠BAE是CD與AE所成角（或所成角的補角），∵AB⊥，在中不妨設AB＝2，則，∴CD與AE所成角的余弦值為．故答案為：45°；．五、填空題16．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【分析】化簡函數(shù)，再由，可得，令即可求出答案.【詳解】，當時，，因為在區(qū)間所以令，解得，所以函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：六、解答題17．若平面向量滿足.(1)求與的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，由平面向量的數(shù)量積運算，求得，即可求解；（2）根據(jù)，利用平面向量的數(shù)量積公式，即可得結果.【詳解】（1）解：由題意，向量，可得，即，所以，又由，所以．（2）解：向量且，可得.18．在中，角A、、所對的邊為、、，.(1)求角的大小；(2)若面積為，周長為5，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角整理可得出，然后根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）根據(jù)面積公式得出，進而即可根據(jù)余弦定理得出答案.【詳解】（1）由已知結合正弦定理邊化角可得，.又，代入整理可得，.因為，所以.又，所以.（2）由及可得，.又周長為5，則，所以.根據(jù)余弦定理可得，，整理可得，.19．如圖，正三棱柱中，，，是延長線上一點，且.（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)三棱柱的性質(zhì)，可以證出，結合線面平行的判定定理可以證出直線平面；（2）過作于，利用面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，即等于點到平面的距離．利用等邊三角形計算出的長為，結合三角形的面積等于，用錐體體積公式可以算出三棱錐的體積．【詳解】解（1）因為，且又四邊形是平行四邊形，可得.又，所以.（2）過作于，又，則且又，所以，即為點到平面的距離.因為正三角形中，，所以三棱錐的體積.【點睛】本題以一個特殊正三棱柱為載體，適當加以變化，求三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．20．如圖，在三棱錐中，底面．(1)求證：平面平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得線線垂直，利用線線垂直證明線面垂直，進而證明面面垂直.（2）利用幾何法找線面角，然后在三角形中求正弦值.【詳解】（1）底面．又ACB=，；又平面，又平面，∴平面（2）取PC的中點O，連接AO、BO；又∵平面平面且交線為，平面，直線AB在平面PBC中的射影為OB，為AB與平面PBC所成的角在直角中，AB=，，21．如圖所示，有兩個興趣小組同時測量一個小區(qū)內(nèi)的假山高度，已知該小區(qū)每層樓高4.(1)興趣小組1借助測角儀進行測量，在假山水平面C點測得B點的仰角為15°，在六樓A點處測得B點的俯角為45°，求假山的高度（精確到0.1）；(2)興趣小組2借助測距儀進行測量，可測得AB=22，BC=16，求假山的高度（精確到0.1）.附：.【答案】(1)4.2m(2)4.3m【分析】（1）令假山的高度為.根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求得，則，再根據(jù)即可求解.【詳解】（1）令假山的高度為.由題意可知，，則，根據(jù)正弦定理可得，，即，所以，而，所以故假山的高度大約為4.2m.（2）根據(jù)余弦定理，可得，則，所以故假山的高度大約為4.3m.22．如圖，A，B是單位圓上的相異兩定點（為圓心），（為銳角），點C為單位圓上的動點