空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)1、空間向量的加法和減法：(1)求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)o為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形oacb，則以o起點(diǎn)的對(duì)角線oc就是a與b的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.(2)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形B法則.即：在空間任取一點(diǎn)0，作0A=a，0B=b，則ba=a—b.B2、實(shí)數(shù)九與空間向量a的乘積九a是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)九〉0時(shí)，九a與a方向相同；當(dāng)九<0時(shí)，九a與a方向相反；當(dāng)九=0時(shí)，九a為零向量，記為0.九a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的M倍.3、 如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線. ( )4、 向量共線充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b豐0)，a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)九，使a=xb.5、 平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量.6、 向量共面定理：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)X，y，使Ap=XAB+yA或?qū)臻g任一定點(diǎn)0，有0P=0A+XAB+yAC；或若四點(diǎn)P，a，B，C共面，貝U0P=x0A+y0B+z0C(x+y+z=1).7、 已知兩個(gè)非零向量a和b，在空間任取一點(diǎn)0，作oa=a，0B=b，則zab稱為向量a，b的夾角，記作〈a,b.兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：〈a,b>e[o,^].TT8、 對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，若〈a,b〉=—，則向量a，b互相垂直，記作a丄b.2<9、 已知兩個(gè)非零向量a和b，則|a|bcos{~a稱為a，b的數(shù)量積，記作a-b.即a-b=|a|*os〈“b零向量與任何向量的數(shù)量積為o.10、 a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos〈a,b〉的乘積.11、 若a，b為非零向量，e為單位向量，則有(1)e-a=a-e=|a|cos〈a,e〉；(2)a丄boa-b=o；(3)廳.牙=<a司丫與方同向)丫a?a=|a|2，|a=Ja?a；-ia|b(與b反向)―?(4)cos〈a,b〉=a.b；(5)la?b<[a]”.12、 空間向量基本定理：若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在實(shí)數(shù)組{x,y,z}，使得p=xa+yb+zc.13、 若三個(gè)向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是—>p=xa+yb+zc,x,y,zeR這個(gè)集合可看作是由向量a,c生成的,｝稱為空間的一個(gè)基底，a，b，c稱為基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.e為有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?，3 e為有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?，3 一一一r的公共起點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以e，r，r的方向?yàn)閤軸，y軸，乙軸的正方向3 1 2 3一以e，e，12_一__建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP=p.存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝，使得p=xe+ye+ze.把x，y，12 3z稱作向量p在單位正交基底e，q，r下的坐標(biāo)，記作p=(x,y,z)?此時(shí)，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)(x,y,z)?15、 設(shè)a=(x,y,z)，b=(x,y,z)，則(1)a+b=(x+x,y+y,z+z)?111222121212(2)a-b=(%]-%2,y】—y^,z-)? (3)九a=(九x,九y,九z).(4)a-b=xx+yy+zz.(5)若a>b為非零向量，貝Ua丄boa-b=0oxx+yy+zz=0.oxox=Xx,y=Xy,z=Xz.(7)|a|=la-a=\；'x21 21 21 2 1xx+yy+zz12+212—.+y2+z2-x2+y2+z211^222(6)若b豐0，貝Ua//boa=Xb(8)cos(8)cos〈a,b〉=ab(9)A(x,y,z)，B=(x,y,z)，則d=|X§|=<(x—x1+(y—y1+(z—z1?1 1 1 2 2 2 ABII、21 2 1 2 116、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定.點(diǎn)A是直線l上一點(diǎn)，向量a表示直線l的方向向量，則對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，有AP=ta，這樣點(diǎn)A和向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點(diǎn).17、空間中平面a的位置可以由a內(nèi)的兩條相交直線來(lái)確定.設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a，b.P為平面a上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使得OP=xa+yb，這樣點(diǎn)O與向量a，b就確定了平面a的位置.18、 直線l垂直a，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面a的法向量.19、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則a//boa//boa=Xb(XeR)，a丄boa丄boa-b=0.20、 若直線a的方向向量為a，平面a的法向量為n，且a@a，則a//aoa//aoa丄noa-n=0，a丄aoa丄aoa//noa=Xn.21、 若空間不重合的兩個(gè)平面a，0的法向量分別為a，b，則a〃卩oa//boa=Xb，a丄0oa丄boa-b=0.、 、 、 - |a