空洞定位的幾種解法向為王瑛伍微國防科技大學四院一隊摘要：本文提出了圖解排除法，及基于線性方程組的空洞定位方法(主要方法)。對第二種方案，先網格化得到超定的線性方程組，后用最小二乘法解之。在試圖減少波源和接收器時，我們確定了若干基本原則，為機器判定作了準備。一．問題描述一塊240X240的平板(如圖)，在AB邊等距地放置7個波源Pi(i=1...7),CD邊對等地安放7個接收器Q(j=1...7),記錄由Pi發出的彈性波達到Qj的時間tj(秒)ij在AD邊等距地放置7個波源Ri(i=1.7),BC邊對等地安放7個接收器Sj(j=1...7),記錄由Ri發出的彈性波達到Sj的時間t勸(秒)(如圖1)。已知彈性波在介質和空氣中的傳播速度分別為2880(米/秒)和320(米/秒)，且彈性波沿板邊緣的傳播速度于在介質中的傳播速度相同。確定該平板內空洞的位置。僅根據由Pi發出的彈性波達到Qj的時間t..(i=1.7),能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。二．基本假設1．假設所測時間數據真實無錯誤，但是有一定的誤差。2．假設平板可劃分化為網格，空洞定位于每個網格單元內。三．變量描述WaveLine,:第l條波線，即以PiQj為第l=(i-1)*7+j條波線，以RiSj為第l=(i-1)*7+j+49條波線；(l=1.98)Timel: 測得的彈性波沿WaveLinel的傳播時間；Lengthl:WaveLinel的長度；Holel: 沿WaveLinel的空洞的長度；MeshgridUnitk:第k個網格單元，具體表示如圖2；(k=1...36)

圖2圖2X:MeshgridUnit的空洞權值，X=0時，表示MeshgridUnit內無空洞，X=1時,kkkkk表示MeshgridUnit內有空洞；WaveLineInUnit:WaveLine被MeshgridUnit所截得的長度，即WaveLine在lklklMeshgridUnitk內的那部分長度。四．思路及解法數據初步處理：由彈性波的物理傳播方式可得：（HOl€320)（HOl€320)+(Lng丄片Ol)e2880=Tllime(i=i???98)l運行C程序GetHoleLength.cpp（見附錄）可求得Hole?，矩陣Holel見附錄。由于真實的Holei三0,分析數據得出誤差限為9.0120米。若算出空洞長度小于誤差限的可認為沒有空洞。方案一：圖解排除法

若Hole,W9.0120m,則用直線連接與l對應的PiQj或RiSj,得圖3如下:由基本假設2.知：直線通過的網格單元內不存在空洞，無直線通過的網格單元內（圖3中陰影區）可能存在空洞。由于R5S6通過一個陰影網格單元，故MeshgridUnit8內有空洞；8由于P5Q6通過一個陰影網格單元，故MeshgridUnit23內有空洞；由于P4Q5通過一個陰影網格單元，故MeshgridUnit16內有空洞；由于P1Q4通過一個陰影網格單元，故MeshgridUnit20內有空洞；由于P3Q7通過一個陰影網格單元，故MeshgridUnit27內有空洞；由于P1Q7間空洞長度為160.8296米，且通過三個陰影網格單元，故MeshgridUnit21,MeshgridUnit26內有空洞；由于R4S5間空洞長度為86.5502米，且通過二個陰影網格單元，故MeshgridUnit15內有空洞。根據已求出的Hole1可知，洞徑均在40米左右，可認為以上8個方格內幾乎充滿空洞。注：本方案C源程序見附錄。方案二：基于線性方程組的空洞定位法準備階段：1．從經典的線性方程組定位方法（如CT圖像重建等）出發，本題的波線似乎應該有一定的線寬。但是，考慮到實際的波線線寬遠小于山體等自然物，同時，彈性波的傳播速度不會因為線寬的改變而改變。所以，彈性波的波線線寬可忽略不計。（參考書目［1］）2．由于波線線寬忽略不計，實際中應該這樣處理：左右網格單元鄰邊屬于右側網格單元，上下網格單元的鄰邊屬于上側網格單元。運行C程序LinelnHole.c可求得WaveLinelnUnit。lk前面已經求出了Holel。記A=\waveLLneInUn記A=\waveLLneInUnnt」mxnX=［X」 （空洞權值矩陣）b」Hol』mx1就本題而言，m=98,n=36。因為對WaveLinel空洞長度守恒，有:＊）AX=b ＊）這是一個超定方程組，理論上可用最小二乘法解決，即求1

mi1

min~2AX-b22實際中，我們使用MATLAB軟件的mldivide（\）和lsqnonneg兩個函數分別求解得：（注：A的秩rank（A）=36；A的條件數cond（A）=10.9753）0.08480.0215-0.2578-0.17920.12090.15700.10070.7820-0.02830.0275-0.17450.0904-0.10020.08480.0215-0.2578-0.17920.12090.15700.10070.7820-0.02830.0275-0.17450.0904-0.1002-0.06031.06341.0929-0.0109-0.1762-0.21650.89050.98360.15010.8431-0.13930.07900.66341.0162-0.0046-0.17870.05160.16110.0724-0.3398-0.17980.15800.1367法一：使用左除(\)得到空洞權值X為(注：將Xk填到相應的MeshgridUnitk中得下表)MeshgridUnit”中得下表）0.018700000.06170.04560.85020000000.95631.00030000.77960.88690.06490.824400.01680.87930.84110000.05720000.01880.0738在A的秩為36，條件數不太大(即矩陣不是嚴重病態)的情況下，我們認為，在誤差范圍內，凡是接近0的Xk即可認為0,接近1的Xk即可認為1。誤差限為￡=9.0120/40=0.2253,即:若Xk￡(1±￡),則認為對應的網格單元幾乎被空洞充滿；若Xke(0±￡)，則認為對應的網格單元幾乎被介質充滿；若Xk不屬于上述范圍,則表明無法確定。對比兩種方法的結果,法二優于法一。法二的結果表明,在MeshgridUnitk(k=8,15,16,20,21,23,26,27)內有空洞。(如圖4)下面考慮去掉一些波源和接收器的情況：1.僅根據由Pi發出的彈性波達到Qj的時間J(i=l???7),不能確定空洞的位置。理由如下：可能無法確定空洞的縱坐標。特例如下：只有若干平行于AB邊的狹窄長條行空洞。若空洞非常窄，則每條波線

(WaveLine)通過空洞的長度都相等。顯然僅由tij無法確定空洞的縱坐標。我們知道在(*)式中，A是無誤差的，而b是有誤差的。如果A嚴重病態,由此求出的X顯然是不可靠的。在僅根據由Pi發出的彈性波達到Qj的時間t..

（i=l???7）的情況下，m=49,n=36,求得A的條件數為4.3400x1016,已嚴重病態，故無法確定空洞的位置，或即使能確定，也是不可靠的。就本題而言，我們用MATLAB軟件得到空洞權值X如下：0.17770.0939000.10340.131800.718100.00020000.02070.98721.04730000.74480.920600.7133000.76360.647800.032100.01510.07870000.0001其中，X27=0.6478超出了誤差范圍，不可確定。雖然基本上也得到了近似的結果，但是，我們認為這是由于本題數據的特殊性造成的巧合，不具備一般性。2．討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。顯然，網格越稀疏，能減少的波源和接收器就越多，同時，這是以減小精度為代價的；并且，對稱等距地減少波源和接收器遠不如不等距減少的方法好；即使是去掉相同個數的波源和接收器，也會因為去掉的波源和接收器不同而有不同效果；另外，如果去掉的波源和接收器太多，（＊）式為欠定方程組，無確定解。針對本題，我們認為能夠確定空洞位置的前提為：矩陣A不是嚴重病態。減少波源和接收器的基本原則為：a＞經驗推測原則；b＞非對稱不等距原則；c＞非嚴重病態原則；d＞超定方程組原則。減少波源和接收器的基本方法為：按基本原則遍歷。舉例如下：示例一：去掉P3P6Q2Q4R3R5S2S4（非對稱不等距），所得A的條件數為174.4463，并非嚴重病態，得到空洞權值X如下：00000001.02510.0791000001.00081.033500.08250.06201.02600.92810.02860.78100.048200.96500.950900000.05580000這是一個相當不錯的結果。示例二：去掉P3P5Q3Q5R3R5S3S5（對稱等距），所得A的條件數為1.7991x1016，嚴重病態，得到空洞權值X如下：0.022700.011100000.41030.368500.25510001.16680.4936000.00670.65751.80160.11541.17350.123800.12800.95080000.050900000這是一個非常糟糕的結果。與真實結果相比，X顯然已完全失真。兩相對比，前述的基本原則的正確性與重要性得到了驗證，同時這些基本原則又有力地保證了第一問結論的正確性，因為在那里A的條件數相當小。注：本方案C源程序(LinelnHole.c)見附錄。五．評價及推廣評價：方案一思路簡單清晰，邏輯性強，以圖形方式表示，一目了然；但是，此方案僅適合于粗略定位，當網格細化時，工作量將非常大，不利于推廣。方案二基于線性方程組定位，模型合理，理論性