決戰2021年中考數學復習知識點過關梳理練習:

《圓的綜合》(二)

1.如圖，。。是的外接圓，且45=4C,點〃在弧8c上運動，過點。作如〃8C,DE

交48的延長線于點￡,連接/〃、BD.

(1)求證：NADB=4E；

(2)當四=6,純=3時，求朋的長？

(3)當點〃運動到什么位置時，如是。。的切線？請說明理由.

2.如圖，是。。的直徑，AC±AB,8c交。。于點。，點￡在劣弧切上，底的延長線交

命的延長線于點F,連接4E交劭于點G.

(1)求證：ZAED=ZCAD-,

(2)若點￡是劣弧劭的中點，求證：E"=EG-EA；

(3)在(2)的條件下，若BO=BF,DE=2,求)的長.

3.如圖，四邊形力仇》為圓內接四邊形，對角線4C、劭交于點￡,延長以、第交于點尸.

(1)求證：△必/"△RIC；

(2)如果劭平分N47a劭=5,BX2,求”的長；

(3)如果20。=60°,DC=DE,求證：AE=AF.

(備用圖)

4.如圖，已知熊是。。的直徑，444,點C是陽延長線上一點，且8c=2,點。是半圓

的中點，點戶是。。上任意一點.

(1)當即與48交于點E且PC=CE時,求證：外與。。相切；

(2)在(1)的條件下，求外的長；

(3)點戶是。。上動點，當小。C的值最小時，求戶C的長.

5.如圖，絲是。。直徑，點夕是下方的半圓上不與點48重合的一個動點，點C為北

中點，延長比交。。于點。，連接4。，過點。作。。的切線交陽的延長線于點￡,連CE

(1)求證：△DAg/\ECP;

(2)填空：

①當NDAP=時，四邊形DEPC為正方形;

②在點夕運動過程中，若。。半徑為10,tanNZV/,則4?=.

D

6.如圖1,四為。。的直徑，點。為。。上一點，CD平分NACB交?0千點D,交48于點￡

(1)求證：△/做為等腰直角三角形；

(2)如圖2,口繞點。順時針旋轉90°,得至,連接維'，證明：BE'為。。的

切線；

(3)如圖3,點尸為弧劭的中點，連接〃；交劭于點G,若。F=1,求4G的長.

7.如圖1,是。。的一條弦，點C是溢上一點.

(1)若ZACB=30°,AB=4.求00的半徑.

(2)如圖2,若點戶是。。外一點.點只點。在弦四的同側.連接以、PB.比較NAPB

與的大小關系，并說明理由.

(3)如圖3.設點G為4C的中點，在贏上取一點。.使得俞=標，延長班至￡,使

AE^AB,連接如，打為然的中點，過點4作維的垂線，交。0于點只連接外；PG.寫

出夕G與中的數量關系，并說明理由.

8.在Rt^/ISC中，N8=90°,CE平分NBCA交AB干點、E,在4?上取一點0,以0C為半徑

的圓恰好經過點￡,且分別交4C,8c于點〃，F,連結如，EF.

(1)求證：48是。。的切線；

(2)若4?=2,00=3；

①求△/&?的面積；

②求所的長.

9.如圖，設四邊形483內接于。0,8c為。。的直徑，E為DC上一點、,韋AEHBC、AE=EC

=5,48=4,

(1)求朋的長；

(2)求的面積.

D

10.如圖，(DO的直徑448,半徑0CL48,。為弧外上一動點(不包括8、。兩點)，DE

rOC,DFLAB,垂足分別為￡、F.

(1)求配的長.

(2)若點E為0c的中點，

①求弧①的度數.

②若點"為直徑上一動點，直接寫出好外的最小值.

參考答案

1.證明：；48=4?,

LABC=ZACB,

NADB=/ACB,

：.NADB=NABC,

?：DE//BC,

：.2ABC=乙AED,

NADB=ZE；

(2)解：由(1)知，NADB=NE,

'：NBAD=/BAD,

:.叢ABD^/\ADE,

.AB_AD

"AD"AE'

■：AB^6,BE=3,

.6AD

"AD

：.AD=3五,

.?J。的長為3捉；

(3)當。為市的中點時，然是。。的切線，理由為:

為前的中點，

C.ADLBC,4。過圓心,

?：DE//BC,

：.ADLED,

???點。在。。上，

，底為圓。的切線.

2.(1)證明：?.)8是。。的直徑，

/.ZADB=9Q°,

■：AC±AB,

AZ045=90°,

/ABg4CAD,

:標=菽,

，NAED=4ABD,

：.ZAEg/CA氏

(2)證明：..?點￡是劣弧做的中點,

--?DE=BE-

：.AEDB=ADAE,

?：NDEG=NAED,

：.AEDGS4EAD,

.ED_EA

■,EG'ED'

：.E"=EG?EA；

(3)解：連接如，

??.點￡是劣弧劭的中點,

NDAE=NEAB,

'：OA=OE,

???NOAE=NAEO,

:?/AEO=/DAE、

：,0E//AD,

.OFJF

"OA"DE,

\'BO=BF=OA,DE=2,

.2,EF

…丁可，

:.EF=4.

3.(1)證明：?：NADB=NACB,4AFC=Z.BFD,

：.t\FBD^/\FAGy

(2)解：???9?平分N4?C,

^ADB=Z.BDC,

4ADB=NACB,

/.NACB=NBDC,

?//EBC=NCBD、

:.△BEXABCD、

.BC^BD

，，-BE"EC1

?2二

?'BE

.?.BE=±,

D

421

:,DE=BD-8r=5-￡=告；

55

(3)證明：???NOIZ?=60°,

:?NABF=/ADC=V10°-N〃Z?=120°-4DEC,

=120°-(60°+N4?￡)=60°-NADE,

而N月=60°-/ACF,

,：4ACF=/ADE,

NABF=NF,

：.AB=AF.

,?,四邊形48CD內接于圓,

D

/.NABD=/ACD,

又,：DE=DC,

???Z.DCE=NDEC=/AEB,

：.NABD=NAEB,

：.AB=AE.

；,AE=AF.

4.(1)證明：如圖1,

.??點。是半圓的中點,

：.ZAPD=45°,

連接0P,

0A=OP,

/.NOAP=ZOPA、

PEC=NOAR/APE=NOPA"APE=NAPE-ZOPE^ZAPE=2ZAPE-ZOPE=90°

4OPE,

,:PC=EC,

CPE=NPEC=9G-/APE、

???NOPC=NOPB-ZCPE=N0陽90°-NOPE=9N,

???點戶在。。上,

.fC是。0的切線;

(2)解：由(1)知，40Pg90。，

F8=4,

：.OP=OB=^AB=2,

\'BC=2,

：?OC=O濟BC=4,

22=2

根據勾股定理得，CP=7OC-OPVs；

(3)解：連接①，如圖2,

...。是半圓。的中點，

.-.Z80D=90°,要使小QC的值最小，則連接緲交。。于戶'，

即點P在P,的位置時，見"C最小，

由(2)知，00=4,

在RtZkC勿中，勿=仍=2,

根據勾股定理得，^7OD2-K)C2=2V5,

連接BP,AD,則四邊形?!酎8是。。的內接四邊形，

乙CBP'=4CDA,

,：/BCP=4DCA,

:.XCBP'sXCDA、

.CPy_BC

AC-CD'

.CP7^2

"4+2=275，

5

圖1

5.（1）證明：為初的中點且c。過圓心a

：.AC=CP,DC1.AP,

:.NDCA=/DC-9Q°,

為。。上一點且48為。。的直徑，

：.4APB=qG,

???底為。。的切線，

：.ZCDE=9Q°,

，四邊形CPED是矩形,

：.CD=PE,2CPE=9Q°=NACD,

'AC=CP

在△"IC和△&?尸中，，ZACD=ZCPE,

CD=PE

:.△DAC^XECPQSAS；

解：⑵①由（1）知，AC=CP,

???四邊形田已為正方形，

egCP,

AC=CD、

???NZ?〃=90°,

/.ZDAP=45°,

故答案為：45°；

②由（1）知，四邊形⑦配是矩形,

：.CD//PE,

:.NCEP=/DCE,

由(1)知，△以彥

NADC=/CEP、

/.NADC=/DCE,

\'tanZP6^，=-1L,

2

「.tanN4?61=工

2

在中，設47=x,

「?tanN/0g,

CD2

22=

?，32x,^7AC<DV5^

???。。的半徑為10,

：.0A=0D=W,

：,0C=CD-0D=2x-10,

在RtZ\/lC。中，曲OC=OR、

.\x2+(2x-10)2=102,

-'-x=0(舍)或x=8,

：.AD=yf^x=8娓,

故答案為8泥

6.證明(1)：???48是。。的直徑，

:?NADB=4ADB=9N,

,:CD斗吩乙ACB,

AD=BD，

.\AD=BD^

???△/48Z?是等腰直角三角形.

(2)由旋轉的性質得，NEDE=90°,DE=DE,

???NADB=9G,

/.NADE=NBDE',

?:AD=BD,

??.△ADE9/\BDE'(SAS'),

:?NDAE=4DBE,

?：NEAD=/DCB=A50,NABD=NDCA=45°,

/.ZOBE=^ABD^ZDBE=90°,

二8f為。。的切線；

（3）解：?.,點尸為前的中點，

/.ZFAD=^-ZDAB=22.5°,

2

取4G的中點〃，連結力/,

???/408=90°,

:?DH=AH=GH、

???N4W=N9=22.5°,

DHF=NAD出/FAD=45°,

?：ZAFD=ZACD=45°,

???NDHF=4AFD,

：.DH=DF=3

:,AG=2DH=2.

7.解：（1）如圖1,連接），OB,

OA=OB,

'：ZACB=30°,

「?N408=2/46=60°,

...△兒應是等邊三角形，

：.OA=AB=^,

即。。的半徑為4；

（2）如圖2,能與。。的交點記作點。，連接力。,

/.NAQB>/APB,

*/NAQB=4ACB,

???NAPBVNACB；

(3)PG=PF,理由：如圖3,

連接8G,并延長至“，使Z/G=8G,連接力//,

??.點G是4c的中點，

AG=CG、

在△4G，和aCGb中，

'AG=CG

,ZAGH=ZCGB,

HG=BG

:.XAGH^XCGB(SAS'),

：.AH=BC,4HAG=4BCG,

:?AH〃BC,

???N%?N/8J80。,

,''AD=BC.

:.AgBC、

：.AD=AH,

"AD=BC>

AD+DirC=BC+DirC，

AirC二BinD，

???NABC=/BAD,

??,NBA卅NBAD='8G0,

???/￡4分/勿/?=180°,

:./EAA/BAH、

?：AE=AB,

:.△EAD^XHBA(SIS),

:?/AED=/ABH、DE=BH、

.??點廠是蛇的中點,

:?EF*DE、

：?EF*BH,

?；BG=HG,BG=^BH,

:.EF=BG、

連接戶￡PB,

'：PA'BE、AE=AB,

:?PE=PB,

/.4PEA=/PBA、

?：NAED=4ABH,

:?NPEA-NAED=NPBA-NABH,

PEF=/PBG,

：./\PEF^/\PBG(SAS'),

:?PG=PF.

圖2

m

C

O

、：CE平俵/ACB、

：.Z.ECO=^FCO,

?：OC=OE,

???NECO=4CE0,

/.4FC0=/CEO,

C.OE//BC,

又?：NB=90°,

，40EA=9N,

即48是。。的切線;

(2)?-：OE//BC,

:、△AEO^lXABC、

.OE_A0

"BC'AC1

24

:?BC=S

b

ZOEA=90°,

在RtZ\〃O中，AE=5,

148

:，S△上士AE?BC=*\

ND

②Y0E〃BC、

.AE_A0

'EB=OC

又,：/AEMNOED=ZOEM/OEC=90°,

/-NAED=NOEC=/ECF、

■：/AD曰/EDC=/EDO/EFC=\8G,

/ADE=/EFC、

:?△AED^AECF,

,AE^AD

"EC