第七章量綱分析與相似理論第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-1量綱分析

一、量綱與單位1.單位：表征各物理量的大小。

如長(zhǎng)度單位m、cm、mm；時(shí)間單位小時(shí)、分、秒等。質(zhì)量單位千克、克等2.量綱：表征各物理量單位的種類(lèi)。

如m、cm、mm等同屬于長(zhǎng)度類(lèi)，用L表示；小時(shí)、分、秒等同屬于時(shí)間類(lèi)，用T表示；公斤、克等同屬于質(zhì)量類(lèi)，用M表示。第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.基本量綱和導(dǎo)出量綱（1）基本量綱：量綱互不依賴(lài)、相互獨(dú)立。

長(zhǎng)度量綱質(zhì)量量綱時(shí)間量綱（2）導(dǎo)出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數(shù)乘積來(lái)表示。力粘度

速度第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.量綱分類(lèi)

（1）幾何學(xué)量綱：

（2）運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：

（3）動(dòng)力學(xué)量綱：

（4）無(wú)量綱數(shù)：

第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、量綱和諧性原理1.量綱和諧原理是指在一個(gè)反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項(xiàng)的量綱必須是一致的，它是被無(wú)數(shù)事實(shí)所證明的一個(gè)客觀原理。連續(xù)性方程

伯諾里方程

2.在經(jīng)驗(yàn)公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類(lèi)公式的量綱是不和諧的。

動(dòng)量方程

第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、量綱分析法量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。瑞利法若某一物理過(guò)程與個(gè)物理量有關(guān)，即

其中一個(gè)物理量可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式

無(wú)量綱數(shù)

待定系數(shù)

第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7-1已知作用在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體上的離心力，與物體的質(zhì)量、速度和圓周半徑有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)離心力公式。[解]根據(jù)已知條件，離心力可以寫(xiě)成以下指數(shù)形式根據(jù)量綱和諧性，有

第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7-2由實(shí)驗(yàn)得知：恒定有壓管流的臨界流速與管徑、流體密度和粘度有關(guān)，試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。[解]根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系根據(jù)量綱和諧性有

第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.定理法

(布金漢法)

若物理方程為

而這些變量中含有m個(gè)基本物理量，則可組合這些變量成為(n–m)個(gè)無(wú)量綱π數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即…這三個(gè)基本量分別表征流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特征第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月必須相互獨(dú)立

表征流體物性：密度、粘度等

表征幾何特性:管徑、管長(zhǎng)等

表征運(yùn)動(dòng)特性：速度、重力加速度等

第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理法的運(yùn)用步驟：

（1）找出對(duì)物理過(guò)程有影響的個(gè)物理量，寫(xiě)成函數(shù)形式。所謂有影響的物理量是指對(duì)研究的物理過(guò)程起作用的各種獨(dú)立因素（2）選出個(gè)相互獨(dú)立的基本量，一般取個(gè)（4）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項(xiàng)的待定系數(shù)、、。

（3）將個(gè)基本量依次與其余量組成個(gè)無(wú)量綱項(xiàng)

（5）寫(xiě)出描述該物理過(guò)程的關(guān)系式

第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7-3已知圓球的繞流阻力與流體的密度和粘度、圓球的直徑、來(lái)流的流速相關(guān)，試用定理推導(dǎo)繞流阻力公式。[解]（1）建立函數(shù)關(guān)系式

（2）選取、、為三個(gè)基本量，求各項(xiàng)。

第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)量綱和諧性原理

同理

（3）寫(xiě)出無(wú)量綱方程

第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7-4根據(jù)實(shí)驗(yàn)，某氣體管流現(xiàn)象的物理方程為

壓強(qiáng)損失：

氣體密度：

流速：

動(dòng)力粘度：

管徑：

管長(zhǎng)：

管壁粗糙度：

試用定理推導(dǎo)氣體管路壓強(qiáng)損失公式。[解]

（1）取、、作為三個(gè)基本量，求各項(xiàng)

第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計(jì)算步驟，求得各項(xiàng)結(jié)果為（3）寫(xiě)出無(wú)量綱方程

第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-2相似的基本概念一、幾何相似模型和實(shí)際流場(chǎng)的幾何形狀相似，即對(duì)應(yīng)的線段成比例，對(duì)應(yīng)的夾角相等。長(zhǎng)度比尺

面積比尺

體積比尺

第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、運(yùn)動(dòng)相似

兩個(gè)流場(chǎng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即速度比尺

加速度比尺

時(shí)間比尺

重力加速度比尺

第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、動(dòng)力相似兩個(gè)流動(dòng)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上受到的各種同名力方向相同、大小成比例，即粘性力重力壓力彈性力表面張力慣性力力的比尺

密度比尺粘度比尺

第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、初始條件和邊界條件相似1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個(gè)流動(dòng)相似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.對(duì)于非恒定流，初始條件是必須的，而對(duì)于恒定流，初始條件則失去了意義。3.邊界條件是指兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，比如，自由表面上的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)，固體邊界上的法線速度為零等。幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提；動(dòng)力相似是決定流動(dòng)相似的主要因素；運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-3相似準(zhǔn)則

1.相似準(zhǔn)則：兩個(gè)流動(dòng)要實(shí)現(xiàn)動(dòng)力相似，作用在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)上的各種作用力的比尺要滿(mǎn)足的約束關(guān)系。一、牛頓相似準(zhǔn)則

2.牛頓相似準(zhǔn)則慣性力比尺

力的比尺

牛頓數(shù)

牛頓相似準(zhǔn)則是兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似的充分與必要條件

第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、動(dòng)力相似準(zhǔn)則

1.雷諾準(zhǔn)則（粘性力準(zhǔn)則）粘性力比尺

雷諾數(shù)

雷諾準(zhǔn)則：粘性力起主要作用。第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.佛汝德準(zhǔn)則（重力準(zhǔn)則）重力比尺

佛汝德數(shù)

佛如德準(zhǔn)則：重力起主要作用。第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.歐拉準(zhǔn)則（壓力準(zhǔn)則）壓力比尺

歐拉數(shù)

歐拉準(zhǔn)則：動(dòng)壓力起主要作用。第23頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.其它準(zhǔn)則韋伯準(zhǔn)則（表面張力準(zhǔn)則）

柯西準(zhǔn)則（彈性力準(zhǔn)則）馬赫準(zhǔn)則（彈性力準(zhǔn)則）韋伯?dāng)?shù)

柯西數(shù)

馬赫數(shù)

水擊、水流誘發(fā)振動(dòng)超音速氣流小規(guī)模流動(dòng)，表面張力顯著第24頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7-5一潛艇長(zhǎng)為L(zhǎng)＝78m，水面航速為13kn,現(xiàn)用1：50的模型在水池中做實(shí)驗(yàn)測(cè)它的興波阻力，試確定水池拖車(chē)的拖曳速度。

解：實(shí)驗(yàn)應(yīng)按佛汝德準(zhǔn)則進(jìn)行。已知船模長(zhǎng)度：實(shí)艇水面航速為：故實(shí)驗(yàn)時(shí)船模的拖曳速度為：第25頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例7-6已知直徑為15cm的輸油管，流量0.18m3/s，油的運(yùn)動(dòng)粘度νp=0.13cm2/s。現(xiàn)用水作模型實(shí)驗(yàn)，水的運(yùn)動(dòng)粘度νm=0.013cm2/s。當(dāng)模型的管徑與原型相同時(shí)，要達(dá)到兩流動(dòng)相似，求水的流量Qm。若測(cè)得5m長(zhǎng)輸水管兩端的壓強(qiáng)水頭差，試求100m長(zhǎng)的輸油管兩端的壓強(qiáng)差？解：（1）因圓管中流動(dòng)主要受粘滯力作用，所以應(yīng)滿(mǎn)足雷諾相似準(zhǔn)則因，上式可簡(jiǎn)化為第26頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月流量比尺，所以模型中水的流量為（2）流動(dòng)的壓降滿(mǎn)足歐拉準(zhǔn)則

因，則5m長(zhǎng)輸油管兩端的壓強(qiáng)差為