第七節函數展開成傅里葉級數第1頁，課件共56頁，創作于2023年2月一.三角級數三角函數系的正交性在高等數學學習當中，接觸兩類基函數：

函數在一點的性質

周期函數(整體性質)Fourier級數三角級數表達周期函數第2頁，課件共56頁，創作于2023年2月諧波分析稱為三角級數.簡單的周期運動:復雜的周期運動:得級數(一)三角級數表達周期函數第3頁，課件共56頁，創作于2023年2月1757年,法國數學家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數表示函數:1759年,拉格朗日在對聲學的研究中使用了三角級數.1777年,歐拉在天文學的研究中,用三角函數的正交性得到了將函數表示成三角函數時的系數.也就是現今教科書中傅立葉級數的系數.第4頁，課件共56頁，創作于2023年2月

在歷史上,三角級數的出現和發展與求解微分方程

1753年.丹

貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為是分不開的.三角級數的形式,這為傅立葉級數題奠定了物理基礎,促進了它的發展.

1822年,傅立葉在?熱的解析理論?一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角級數方法進行加工處理,發展成一般理論.傅立葉指出:可以展開成級數第5頁，課件共56頁，創作于2023年2月其中~第6頁，課件共56頁，創作于2023年2月證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數之積在機動目錄上頁下頁返回結束(二)、三角函數系的正交性第7頁，課件共56頁，創作于2023年2月上的積分不等于0.且有但是在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在機動目錄上頁下頁返回結束第8頁，課件共56頁，創作于2023年2月二、函數展開成傅里葉級數問題:2.展開的條件是什么?且能展開成三角級數第9頁，課件共56頁，創作于2023年2月(利用正交性)第10頁，課件共56頁，創作于2023年2月(利用正交性)第11頁，課件共56頁，創作于2023年2月傅里葉系數第12頁，課件共56頁，創作于2023年2月代入傅里葉系數的三角級數稱為傅里葉級數問題:在什么條件下函數可以展開成傅里葉級數?狄利克雷于1829年第一次對于傅立葉級數的收斂性給出了嚴格的證明.得到了現今教科書中的所謂狄利克雷判定準則.第13頁，課件共56頁，創作于2023年2月定理(收斂定理,展開定理)設f(x)是周期為2的周期函數,并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數收斂,且有

x為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數.

x為連續點注意:函數展成傅里葉級數的條件比展成冪級數的條件低得多.簡介目錄上頁下頁返回結束第14頁，課件共56頁，創作于2023年2月則有則有有既第15頁，課件共56頁，創作于2023年2月例1.

設f(x)是周期為2

的周期函數,它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數將f(x)展成傅里葉級數.

機動目錄上頁下頁返回結束第16頁，課件共56頁，創作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，課件共56頁，創作于2023年2月1)根據收斂定理可知,時,級數收斂于2)傅氏級數的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.機動目錄上頁下頁返回結束第18頁，課件共56頁，創作于2023年2月

不同頻率正弦波逐個疊加成方波物理意義第19頁，課件共56頁，創作于2023年2月第20頁，課件共56頁，創作于2023年2月第21頁，課件共56頁，創作于2023年2月第22頁，課件共56頁，創作于2023年2月第23頁，課件共56頁，創作于2023年2月第24頁，課件共56頁，創作于2023年2月傅里葉級數展開式的意義——函數的整體逼近.第25頁，課件共56頁，創作于2023年2月解所給函數滿足狄利克雷充分條件.例2第26頁，課件共56頁，創作于2023年2月第27頁，課件共56頁，創作于2023年2月第28頁，課件共56頁，創作于2023年2月非周期函數展開成傅里葉級數并且滿足收斂定理的條件，可利用周期的延拓展開成傅里葉級數，第29頁，課件共56頁，創作于2023年2月周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數定義在[–

,]上的函數f(x)的傅氏級數展開法其它機動目錄上頁下頁返回結束第30頁，課件共56頁，創作于2023年2月例3.

將函數級數.則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2為周期的函數F(x),機動目錄上頁下頁返回結束第31頁，課件共56頁，創作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結束第32頁，課件共56頁，創作于2023年2月物理意義不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波第33頁，課件共56頁，創作于2023年2月利用此傅氏展開式求幾個特殊的級數的和第34頁，課件共56頁，創作于2023年2月第35頁，課件共56頁，創作于2023年2月例4.將函數展成傅里葉級數,其中E為正常數.解:延拓成以2為周期的函數機動目錄上頁下頁返回結束第36頁，課件共56頁，創作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結束第37頁，課件共56頁，創作于2023年2月例5解第38頁，課件共56頁，創作于2023年2月

三、正弦級數或余弦級數

1.奇函數與偶函數的傅里葉級數第39頁，課件共56頁，創作于2023年2月證奇函數同理可證(2)．偶函數證畢第40頁，課件共56頁，創作于2023年2月定義第41頁，課件共56頁，創作于2023年2月解所給函數滿足狄利克雷充分條件.例１第42頁，課件共56頁，創作于2023年2月和函數圖象第43頁，課件共56頁，創作于2023年2月第44頁，課件共56頁，創作于2023年2月觀察兩函數圖形第45頁，課件共56頁，創作于2023年2月2.在[0,]上的函數展成正弦級數與余弦級數周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成機動目錄上頁下頁返回結束第46頁，課件共56頁，創作于2023年2月例1.將函數分別展成正弦級數與余弦級數.

解:

先求正弦級數.去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機動目錄上頁下頁返回結束第47頁，課件共56頁，創作于2023年2月注意:在端點x=0,

,級數的和為0,與給定函數機動目錄上頁下頁返回結束因此得

f(x)=x+1的值不同.

第48頁，課件共56頁，創作于2023年2月第49頁，課件共56頁，創作于2023年2月再求余弦級數.將則有作,偶周期延拓機動目錄上頁下頁返回結束第50頁，課件共56頁，創作于2023年2月說明:令

x=0可得即機動目錄上頁下頁返回結束第51頁，課件共56頁，創作于2023年2月第52頁，課件共56頁，創作于2023年2月內容小結1.周期為2的函數的傅里葉級數及收斂定理其中注意:若為間斷點,則級數收斂于機動目錄上頁下頁返回結束第53頁，課件共56頁，創作于2023年2月2.周期為2的奇、偶函數的傅里葉級數奇函數正弦級數偶函數余弦級數3.在[0,]上函數的傅里葉展開法作奇周期延拓,展開為正弦級數作偶周期延拓,展開為余弦級數1.

在[0,]上的函數的傅里葉展開法唯一嗎?答:不唯一,延拓方式不同級數就不同.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習第54頁，課件共56頁，創作于2023年2月傅里葉(1768–1830)法國數學家.

他的著作《熱的解析理論》(1822)是數學史上一部經典性書中系統的運用了三角級數和三角積分,他的學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎發展起來的文獻,

他深信數學是解決實際問題傅里葉分析對近代數學以及物理和工程技術的發展都產生了深遠的影響.第55頁，課件共56頁，創作于2023年2月狄利克雷(1805–1859)德國數