《畫法幾何》復習《畫法幾何》復習1一、投影概念及投影法分類1.投影的形成

2.投影的分類

二、點、直線、平面正投影的基本性質

1.類似性:2.全等性;3.積聚性;4.重合性三、三面投影圖

長對正、高平齊、寬相等第一章投影的基本知識一、投影概念及投影法分類二、點、直線、平面正投影的基本性2一、點的投影規律二、點用坐標表示A(x、y、z)三、兩點的相對位置及可見性第二章點和直線一、點的投影規律二、點用坐標表示A(x、y、z)三、兩3

一.點的投影規律VOXa

aaxAWOXa

axaa

ZZYayazYHYWayazd″(1).

a

a⊥OX【長對正】(2).

a

a

⊥OＺ【高平齊】(3).

aax＝a

az

【寬相等】xxxyzzzyyay一.點的投影規律VOXaaaxAWOXaaxaa4VOXa

aax(x,y,z)WZYayazd″OXZYHYWaa

d″A(x,z)(x,y)(y,z)(x,z)(x,y)(y,z)二.點用坐標表示A(x、y、z)VOXaaax(x,y,z)WZYayazd″OXZYH5上三.兩點的相對位置及可見性XZYWYHOa

a

ab

bb

1.方位關系VOWZYXＡ點在Ｂ點的方。右、前、Aaa

a

bb

b

B上三.兩點的相對位置及可見性XZYWYHOaaab6Vox

()2.重影點及其可見性

若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，稱為重影點。aba

b

c

d′()cd()c

d′cdoxＡＢa

b

ab

()CD可見性判別——坐標值大的點投影可見，反之不可見。Vox()2.重影點及其可見性若兩點位于同7四、直線的投影c(d)直線的投影仍為直線，特殊時為一點。ＡＢＣＤＥＦabefsc四、直線的投影c(d)直線的投影仍為直線，特殊時為一點。ＡＢ8五、屬于直線的點VoxABa

babk1.從屬性——則點的各個投影必屬于該直線的各同面投影。2.定比性——屬于直線段的點分割直線段之長度比等于其投影長度比。即:

投影特性AKaka

k

a

k

KBkbk

b

k

b

＝＝＝kKa

babxokk五、屬于直線的點VoxABababk1.從屬性——則點9【例】含點C作正平線CD與直線AB相交。aba′b′c′cdd′aba′b′c′c錯誤畫法誤作成水平線【例】含點C作正平線CD與直線AB相交。aba′b′c′cd10Vox直線的跡點跡點——直線與投影面的交點。AB×H——水平跡點（M）AB×V——正面跡點（N）AB×W——側面跡點（S）oxa

b′abBAa

b′abMNnm

m

mn

nmn

Vox直線的跡點跡點——直線與投影面的交點。AB×H——11c(d)ＡＢＣＤＥＦabefsc

直線與投影面的相對位置有:平行、垂直和傾斜。前二者稱為特殊位置直線，簡稱特殊線；后者稱為一般位置直線、簡稱一般線。投影面平行線投影面垂直線一般位置直線六、各種位置的直線c(d)ＡＢＣＤＥＦabefsc直線與投影面12ZYWVX七.線段的實長和傾角abB0ZB－ZA距離差1.直角三角形法XOa

b

aba

b

ab

sc

A0a

b

YA－YB

scZYHYWb

a

AB

b

a

XA－XBa

b

scZYWVX七.線段的實長和傾角abB0ZB－ZA1.直角三13XOa

b

absc

sc2.實長、傾角、距離差、投影長之間的關系sc

abZ差a

b

Y差X差a

b

四個要素中任意知道其中二個要素，都可以求出另二個要素。解題時必須弄清楚這些要素之間的關系。

如求，因是對Ｈ面的傾角，故所有要素都和Ｈ有關，即Ｈ投影(ab)以及距Ｈ面的距離差(Ｚ差)。

scZYHYWb

a

a

b

scab

scsc

XOababscsc2.實長、傾角、距離差、投影長之14

【例】已知直線AB的a、a′，AB＝25，且

＝30°，

＝45°；試完成AB的V、H投影。有幾解？2525ab45°30°Z差a′axoabb在該圓上b′在該線上a

b

Y差bb′a

b

有8解b在該線上【例】已知直線AB的a、a′，AB＝25，且＝15八、兩直線的相對位置b

bc

d

dca

aXb

a

abdc

d

cb

a

abc

d

cd3

(4

)341

2

1(2)平行相交相叉八、兩直線的相對位置bbcddcaaXbaab16定理：若直角有一條邊平行于某一投影面時，則該直角在該投影面上的投影也反映直角。九.直角投影定理VXb'c'a'cAaCBbb'c'a'acbxo異面垂直也適用Dd'可任意畫定理：若直角有一條邊平行于某一投影面時，則該直角在該投影面17一、平面的表示法a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d1.用幾何元素表示平面第三章平面一、平面的表示法aabcbcbaacbcb18PVPHPX2.用跡線表示平面QHPV3.熟悉各種位置平面的投影PVPHPX2.用跡線表示平面QHPV3.熟悉各種位置平面的19P二.屬于平面的直線和點1.直線屬于平面的幾何條件：⑴直線通過屬于平面的兩個點，則直線屬于平面。⑵直線通過屬于平面的一個點，且平行于屬于平面的另一條直線，則直線屬于平面。

2.點屬于平面的幾何條件：點屬于平面的任一直線，則點屬于該平面。ADCBKP二.屬于平面的直線和點1.直線屬于平面的幾何條件：⑴20【例】已知點D屬于

ABC，試求點D的水平投影。d

a

b

c

abc1

1d22

【例】已知點D屬于ABC，試求點D的水平投影。da21【例】已知平面ABCD的正面投影，且邊AD∥V面，

完成其水平投影。bcda'b'c'd'1'12'2a【例】已知平面ABCD的正面投影，且邊AD∥V面，

22VOZYXWP三、屬于平面的特殊位置直線1.屬于平面的投影面平行線PHPVPWabca'b'c'1'2'12取水平線和正平線VOZYXWP三、屬于平面的特殊位置直線1.屬于平面的投影面23【例】已知點E屬于△ABC平面，且點E距離H面15，距

離V面10，試求點E的投影。xa'1015b'c'abce'o12341'2'3'4'e【例】已知點E屬于△ABC平面，且點E距離H面15，距

24AB幾何條件——屬于平面且垂直于跡線的直線即為平面對該投影面的最大斜度線。VOZYXWPHPVPWP平面對H面的最大斜度線——⊥水平線平面對V面的最大斜度線——⊥正平線平面對W面的最大斜度線——⊥側平線AB//H，則雨水總是沿與AB垂直的方向流下雨水流向2.屬于平面的最大斜度線AB幾何條件——屬于平面且垂直于跡線的直線即為平面對VOZY25HABC證明最大斜度線對投影面的傾角最大a

已知:EF‖HAD⊥EF求證:AD與H面的傾角

為最大DEF證明:在直角△AaD和△AaC中tg

=tg

=∵aD＜aC∴

＞

ef●最大斜度線對投影面的傾角等于平面對投影面的傾角●根據直角投影定理，平面對某面最大斜度線在該投影面的投影，與該投影面平行線在該面的投影或同面跡線垂直。HABC證明最大斜度線對投影面的傾角最大a已知:EF‖26【例】求

ABC平面對H面的傾角

。acba'b'c'

作圖步驟：1.取一水平線；2.作水平線的垂線，求出對H面的最大斜度線；3.利用直角三角形法求出平面的

角。

11'232'3'【例】求ABC平面對H面的傾角。acba'b'c'27直線與平面、兩平面之間的相對位置有：∥、×、⊥。一、平行問題幾何條件——若直線平行屬于平面的任一直線，則此直線與該平面平行。PABCD幾何條件——若屬于一平面的相交二直線對應地平行于屬于另一平面的相交二直線，則此二平面平行。PQABCDEF第四章直線與平面相對位置直線與平面、兩平面之間的相對位置有：∥、×、⊥。一、平行問題28二、相交問題目的:求交點和交線方法:利用積聚性或輔助平面法1.特殊情況相交——利用積聚性作圖2.一般情況相交——利用輔助平面法作圖交點和交線的特點:共有性KKL二、相交問題目的:求交點和交線方法:利用積聚性或29CPFABMNEK輔助平面法求交點●作圖步驟：1.包含直線EF作輔助平面P；

2.求出P與△ABC的交線MN；3.EF與MN的交點即為所求；4.判別可見性。CPFABMNEK輔助平面法求交點●作圖步驟：2.求出P30【例】求直線EF與△ABC的交點K，并判別可見性。a

af

e

efbc

cb

2.求出平面P與△ABC的交線MN；1.包含直線EF作鉛垂面P；

作圖步驟：3.交線MN與直線EF的交點K即為所求；4.判別可見性。PHmnm

n

1'2'12()k

33'()k【例】求直線EF與△ABC的交點K，并判別可見性。aaf31【例】求兩平面的交線并判別可見性。abca'b'c'd'e'f'defPH121'2'Rv4'3'34k'gg'k輔助平面法【例】求兩平面的交線并判別可見性。abca'b'c'd'e'321.直線與平面垂直●若直線垂直于屬于平面的任意兩條相交二直線，則直線必垂直于平面。

VoxPPHPVPxL1L2AB●反之，若直線垂直于平面，則直線必垂直于屬于平面的所有直線。二、垂直問題1.直線與平面垂直●若直線垂直于屬于平VoxPPHPVPx33VoxPPHPVPxL1L2AB平面垂線的投影特性：根據直角定理，若直線垂直于平面，則有：

●直線的水平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；

●直線的正面投影必垂直于該平面的正平線的正面投影。aba'b'l1'l1l2l2'VoxPPHPVPxL1L2AB平面垂線的投影特性：34ABC【例】求點K到△ABC的距離。1'122'b'ak'a'bc'ck距離scKLPVl'l空間分析ABC【例】求點K到△ABC的距離。1'122'b'ak'a35空間分析A【例】求點K到直線AB的距離。kabk'l2l'1'a'b'Bsc2'1PVLK距離空間分析A【例】求點K到直線AB的距離。kabk'l2l'136QP2.平面與平面垂直定理——若一直線垂直于平面，則包含該直線的所有平面都垂直于該平面。AB

反之，若兩平面垂直，則從屬于其中一平面的任何一點向另一平面所作的垂線必屬于該平面。BQP兩平面垂直兩平面不垂直ABAQP2.平面與平面垂直定理——若一直線垂直于平面，則包含該37BN【例】以AB為底作等腰△ABC，使頂點C屬于直線MN。abmna'b'm'n'xoAMDCc'c122'1'

作圖步驟1.作底邊AB的中垂面；2.求此中垂面與頂點所在直線MN的交點C；3.連△ABC即可。PVd'dBN【例】以AB為底作等腰△ABC，使頂點C屬于直線MN。a38求作一直線KL，使其垂直于ABC，且與DE、FG相交。a′b′c′abcd′de′ef′g′fgk′l′kl求作一直線KL，使其垂直于ABC，且與DE、FG相交。a′39一、平面立體的投影及表面取點四、兩平面立體相交三、直線與平面立體相交二、平面立體的截交線五、同坡屋面的交線第六章平面立體一、平面立體的投影及表面取點四、兩平面立體相交三、直線40b'(c')d作圖方法——利用屬于直線、平面的點的作圖方法ADBaa"a'bb'c'c"d'd"()一、平面立體的投影及表面取點b'(c')d作圖方法——利用屬于直線、平面的點的作圖方法A41a'Aa"B(c")b"bacc'Cb'a'Aa"B(c")b"bacc'Cb'42P截平面截面(或斷面)截交線截交線性質：截交線是截平面與立體表面的共有線；2.截交線是閉合的平面多邊形求截交線方法：1.交點法——求出截平面與立體各棱線的交點，按連點原則依次連接而成；2.交線法——求出截平面與立體各棱面的交線；3.連線原則——位于立體的同一表面的兩點才能相連。二、平面立體的截交線P截平面截面(或斷面)截交線截交線性質：求截交線方法：二、43作出三棱錐被截割后的、投影HW平行作出三棱錐被截割后的、投影HW平行44貫穿點——直線與立體表面的交點。它是直線與立體表面的

共有點，求貫穿點就是求線與面交點的問題。貫穿點求貫穿點的方法:利用積聚性輔助平面法b'k'l'ABLKaba'lLKBb'l'k'kl貫穿點之間沒有線表面可見則點也可見三、直線與平面立體相交貫穿點——直線與立體表面的交點。它是直線與立體表面的貫穿點求45【例】求直線KL與三棱錐的貫穿點。bb'a'aPBLAK輔助平面法PV1'2'3'123klk'l'【例】求直線KL與三棱錐的貫穿點。bb'a'aPBLAK輔46相交的兩立體稱為相貫體，相貫體表面的交線稱為相貫線。相貫線的性質:1.相貫線是兩立體表面的共有線；2.由于立體有一定范圍，故相貫線一般是閉合線；只有當兩立體具有重疊表面時，相貫線才不閉合。兩平面立體相貫——其相貫線一般是閉合的空間折線。四、兩平面立體相交相交的兩立體稱為相貫體，相貫體表面的交線稱為相貫線。相貫線的47互貫（一組交線）全貫（兩組交線）求兩平面立體相貫線的步驟分析形體——弄清兩立體的形體特征以及它們是全貫或是互貫。求相貫點——就是求每一條棱線與另一立體的貫穿點。連相貫點——屬于一立體的同一棱面同時也屬于另一立體同一棱面的兩點才能相連。判別可見性——位于兩立體均為可見表面的相貫線才是可見的。互貫（一組交線）全貫（兩組交線）求兩平面立體相貫線的步驟分析48【例】求三棱錐和四棱柱的相貫線。平行【例】求三棱錐和四棱柱的相貫線。平行49求兩平面體的相貫線并補畫側面投影求兩平面體的相貫線并補畫側面投影501.坡度(即α角)相等2.所有檐口線同高3.一條檐線代表一個坡面4.相鄰二檐線的坡面有交線(凸角為斜脊、凹角為斜溝)、平行二檐線的坡面交線為平脊5.屋面上每個點必有至少三條線平脊檐口線斜脊斜溝五、同坡屋面的交線1.坡度(即α角)相等平脊檐口線斜脊斜溝五、同坡屋面的交線51先碰先交，依次封閉先碰先交，依次封閉52三.直線和曲面立體相交二.平面截割曲面立體一.曲面立體的表面取點四.平面體和曲面體相交五.兩曲面立體相交第七章曲面立體三.直線和曲面立體相交二.平面截割曲面立體一53圓柱表面取點ABCd(d)"cba(d)'a"b"(c")a'Dc'b'分特殊點和一般點，作圖方法利用積聚性圓柱表面取點ABCd(d)"cba(d)'a"b"(c"54圓錐表面上取點1.緯圓法2.素線法a(a")bb"b'(c')c"ca'A一般點特殊點圓錐表面上取點1.緯圓法2.素線法a(a")bb"b'(55A圓球表面上取點只能用緯圓法c'(d)a'abcb"(c")(d")a"b'd'一般點特殊點A圓球表面上取點只能用緯圓法c'(d)a'abcb"(c")56P截交線的性質——閉合的平面曲線或平面多邊形。它是立體表面和截平面的共有線。求截交線方法——輔助平面法，即素線法和緯圓法。求截交線的實質就是如何求屬于截交線上的點的問題，因此應熟練掌握曲面體表面取點，取點應先取特殊點（如最高、最低、最前、最后、最上、最下、以及可見與不可見的分界點）后取一般點。平面截割曲面立體P截交線的性質——閉合的平面曲線或平面多邊形。它是立求截交線57平面與圓柱相交矩形橢圓圓平面與圓柱相交矩形橢圓圓58平面與圓錐相交圓三角形橢圓雙曲線拋物線平面與圓錐相交圓三角形橢圓雙曲線拋物線59平面與圓球相交不管截平面位置如何，截交線總是圓；但其投影可能是直線、圓或橢圓。圓平面與圓球相交不管截平面位置如何，截交線總是圓；但其投影可能60變化情況45o變化情況45o61【例】求圓柱截交線。【例】求圓柱截交線。62【例】求圓錐的截交線。【例】求圓錐的截交線。63b′ca″b″c′c″a′ab1″2″1′2′12求半球截割后的投影。b′ca″b″c′c″a′ab1″2″1′2′12求半球截割64目的——求貫穿點，它是直線和曲面體的共有點。一.特殊情況KLl"lk"k'k判斷可見性l'l三.直線和曲面立體相交目的——求貫穿點，它是直線和曲面體的共有點。一.特殊情況K65【例】求直線與圓錐的貫穿點【例】求直線與圓錐的貫穿點66【例】求直線與圓球的貫穿點。【例】求直線與圓球的