教案教學基本信息課題總體集中趨勢的估計學科數(shù)學學段：高中年級高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學必修第二冊A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學設計參與人員姓名單位設計者羅曉燕北京市通州區(qū)潞河中學實施者羅曉燕北京市通州區(qū)潞河中學指導者王學一通州區(qū)教育研修學院課件制作者羅曉燕北京市通州區(qū)潞河中學其他參與者康杰北京市基教研中心教學目標及教學重點、難點本節(jié)課研究了集中趨勢參數(shù)——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)?用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都有關系，對這組數(shù)據(jù)所包含的信息的反映最為充分，因而其應用最為廣泛，特別是在進行統(tǒng)計推斷時有重要的作用；但平均數(shù)計算時比較煩瑣，并且容易受到極端數(shù)據(jù)的影響。?中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡便，是一個反映數(shù)據(jù)“集中趨勢”的位置的代表值。?眾數(shù)利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值得信息，但并未告訴我們它比別的值多的程度，能傳遞的數(shù)據(jù)的信息較少，對極端值也不敏感。對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)。結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．會求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)并理解它們的意義和作用．理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．通過對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的學習，強化“數(shù)學抽象”、“數(shù)學運算”的核心素養(yǎng)．教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入引言：為了研究總體的分布情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計總體的分布規(guī)律，但有時候，我們可能不太關心總體的分布規(guī)律，而更關注總體取值在某一方面的特征．例如，對于某縣今年小麥的收成情況，我們可能更關注該縣今年小麥的總產量或者平均每公頃的產量，而不是產量的分布；對于一個國家國民的身高情況，我們可能更關注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等等．數(shù)學研究的目的是解決實際問題，從實際需要的量出發(fā)，探究所要研究的數(shù)學問題，抽象出數(shù)學概念．新課情景引入：引例：假設你到人才市場去找工作，有個企業(yè)老板說“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬”，你該如何理解這句話？分析：平均數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)一、原始數(shù)據(jù)的集中趨勢【探究1】假設通過抽樣調查，獲得100戶居民某年的月均用水量如下表（單位：t）：9.0 13.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).（1）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)是，則這組數(shù)據(jù)的平均值為．問題1：在這個問題中，平均數(shù)是多少？答：．（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于中間位置的那個數(shù)（或中間兩數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．問題2：居民用水的中位數(shù)是多少？答：首先將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，因為100為偶數(shù)，所以存在最中間的兩位數(shù)，第50位數(shù)是6.4，第51位數(shù)是6.8，所以中位數(shù)為．（3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．問題3：居民用水的眾數(shù)是多少？答：根據(jù)剛才排序后的數(shù)據(jù)，很容易得到我們有兩個中位數(shù)，他們都出現(xiàn)了4次，所以眾數(shù)有兩個分別為2.0和5.5.問題4：由此估計總體居民的月均用水量是多少？答：由樣本的數(shù)據(jù)我們估計出全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)是8.79、中位數(shù)是6.6、眾數(shù)是2.0和5.5．二、分組數(shù)據(jù)的集中趨勢【探究2】將100戶居民的月均用水量分成組距相同的9組．請問，如何從頻率分布表和頻率分布直方圖中估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？（1）平均數(shù)：EQ\o\ac(○,1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[1.2,4.2)230.23[4.2,7.2)320.32[7.2,10.2)130.13[10.2,13.2)90.09[13.2,16.2)90.09[16.2,19.2)50.05[19.2,22.2)30.03[22.2,25.2)40.04[25.2,28.2]20.02合計1001.00問題5：加權平均數(shù)的公式是什么？它是處理什么類型的數(shù)據(jù)的平均數(shù)？答：，其中問題6：對比剛才的平均數(shù)公式，我們已經沒有了原始數(shù)據(jù)，以區(qū)間[1.2,4.2)為例，我們用什么數(shù)值表示這組數(shù)據(jù)的大小最合理？說明：通過分析，選擇1.2估計整組數(shù)據(jù)，會使得數(shù)值偏小，選擇4.2估計整組數(shù)據(jù)，會使得數(shù)值偏大，因此使用小組數(shù)據(jù)的中點（即區(qū)間端點的平均值）會更接近于大部分數(shù)據(jù)．追問：我們還需要求小組數(shù)據(jù)的頻數(shù)嗎？說明：通過公式發(fā)現(xiàn)對任一個小組，頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總個數(shù)即為頻率．在求平均數(shù)時，只需頻率乘以小組數(shù)據(jù)的中點即可．分組數(shù)據(jù)的平均值等于每個小組的頻率與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．同理可得頻率分布直方圖中求平均數(shù)的方法為EQ\o\ac(○,2)頻率分布直方圖因此分組數(shù)據(jù)的平均值等于每個小組的頻率與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．對于頻率直方圖中數(shù)據(jù)的平均值等于每個小長方形的面積與小組數(shù)據(jù)的中點的乘積，再求和．答：注意：頻率分布表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.94頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)8.96原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.79，相差不大．（2）中位數(shù)問題7：中位數(shù)是最中間數(shù)據(jù)（中間兩個數(shù)的平均值），我們沒有原始數(shù)據(jù)了，怎么定義中位數(shù)呢？聯(lián)想一下百分位數(shù)，我們是否可以根據(jù)百分位數(shù)定義中位數(shù)？說明：第50百分位數(shù)．（一組數(shù)據(jù)中至少有50%的數(shù)據(jù)小于或等于某個值，且至少有50%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值，則這個值為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）EQ\o\ac(○,1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[1.2,4.2)230.23[4.2,7.2)320.32[7.2,10.2)130.13[10.2,13.2)90.09[13.2,16.2)90.09[16.2,19.2)50.05[19.2,22.2)30.03[22.2,25.2)40.04[25.2,28.2]20.02合計1001.00月均用水量在4.2t以下的居民用戶所占比例為23%,月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%=55%，因此，中位數(shù)位于[4.2,7.2)內．所以估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為6.73．EQ\o\ac(○,2)頻率分布直方圖注意：頻率分布表中數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.73頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的中位數(shù)6.71原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.6眾數(shù)：EQ\o\ac(○,1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[1.2,4.2)230.23[4.2,7.2)320.32[7.2,10.2)130.13[10.2,13.2)90.09[13.2,16.2)90.09[16.2,19.2)50.05[19.2,22.2)30.03[22.2,25.2)40.04[25.2,28.2]20.02合計1001.00問題8：眾數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，在分組數(shù)據(jù)中我們能也定義頻數(shù)最大的那組數(shù)據(jù)中包含眾數(shù)？說明：分組頻數(shù)頻率[1.2,4.2)230.23[4.2,7.2)320.32[7.2,28.2]450.45合計1001.00不能，因為原則上組距越寬包含的數(shù)據(jù)有可能越多，用寬組距的頻數(shù)跟窄組距的頻數(shù)比較，不能凸顯眾數(shù)的概念——即有可能出現(xiàn)的次數(shù)越大．所以為了規(guī)避組距對眾數(shù)的影響，我們求單位組距內頻數(shù)越多，也就是單位組距內頻率越大，這組就包含數(shù)據(jù)的眾數(shù)．追問：從字面意思看，眾即為多，也是密，與疏密程度有關的量是什么？分析：反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．規(guī)定：最大組的區(qū)間的中點是眾數(shù)．是頻率分布直方圖中各矩形的高，眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標．答：眾數(shù)為t注：頻率分布表中數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5.7頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的眾數(shù)5.7原始數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.0和5.5由樣本的分組數(shù)據(jù)我們估計出全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)是8.96、中位數(shù)是6.71、眾數(shù)是5.7．小結：引導學生思考平均代表三個統(tǒng)計量從學生已知的知識出發(fā)，利用實際生活的實例回憶初中針對這部分知識的定義．通過計算實際問題的集中趨勢，回憶平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法．利用樣本的值估計總體數(shù)據(jù)．在實際問題中，回憶如何應用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法掌握了原始數(shù)據(jù)的集中趨勢的方法后，探究分組數(shù)據(jù)的計算方法．先以頻率分布表中平均數(shù)的計算為例，引出分組數(shù)據(jù)平均數(shù)的計算方法．對比分組數(shù)據(jù)沒有原始數(shù)據(jù)的特點，假定數(shù)據(jù)是均勻分布，得到用小組數(shù)據(jù)的中點去估計小組內的所有數(shù)據(jù)的結論．同時根據(jù)分組數(shù)據(jù)已知的是頻率的特點，探究頻率、頻數(shù)和數(shù)據(jù)總個數(shù)的關系，利用小組數(shù)據(jù)的中點和頻率求平均數(shù)的方法．分組數(shù)據(jù)的估計值與原始數(shù)據(jù)的精確值差別不大．體會估計的有效性．為沒有了原始數(shù)據(jù)，就不存在最中間的數(shù)據(jù)，假定所有的數(shù)據(jù)都是均勻分布的，結合百分位數(shù)的定義，得出中位數(shù)就是第50百分位數(shù)．通過理解頻率直方圖中小長方形的面積即為頻率的特點，體會通過從數(shù)據(jù)小到大對應小長方形的面積和判斷中位數(shù)所在的長方形，再根據(jù)成比例求出具體的中位數(shù)．分組數(shù)據(jù)的估計值與原始數(shù)據(jù)的精確值差別不大．體會估計的有效性．有原始數(shù)據(jù)的次數(shù)最多，與頻數(shù)相結合，因為組距相等，得到頻率組多，也就是頻率直方圖中，小長方形最高的那組數(shù)據(jù)的中間值為眾數(shù)．引導學生利用已學到的概念探究新問題總結概念，深化集中方式的計算方法．例題例1：某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生,將其成績(單位:分,均為整數(shù))分成七段后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.估計這次成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．答：平均數(shù)為=68.5中位數(shù)：所以中位數(shù)在區(qū)間[70,80)上．設中位數(shù)為y,則解得y≈71.7,所以估計中位數(shù)是71.7分.眾數(shù)為最高小長方形的橫坐標的小組數(shù)據(jù)的中點，所以眾數(shù)為．通過對例題的分析，鞏固分組數(shù)據(jù)中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法，進一步體會每個量的特征及意義，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力．新課三、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分析平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)7.78.796.62.0和5.5779.4836.62.0和5.5（1）整體特征問題9：數(shù)據(jù)的集中趨勢有三個量可以度量，它們分別有什么優(yōu)缺點？名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)能反映出更多關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“極端”,對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)的影響;②容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點;②容易得到；=3\*GB3③不受極端值影響．①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;②無法客觀地反映總體特征（2）平均數(shù)、中位數(shù)單峰右邊“拖尾”，左邊“拖尾”左圖：右邊“拖尾”，平均數(shù)為68.5，中位數(shù)為71.7，平均數(shù)小于中位數(shù)．右圖：左邊“拖尾”，平均數(shù)為8.96，中位數(shù)為6.71，平均數(shù)大于中位數(shù)．問題10：左右拖尾對平均數(shù)和中位數(shù)有什么影響？分析：單峰，平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多．右邊“拖尾”，平均數(shù)大于中位數(shù)．左邊“拖尾”，平均數(shù)小于中位數(shù)．（3）集中趨勢的選擇問題11：100戶居民的月均用水量的問題中，用分組數(shù)據(jù)估計出的值：平均數(shù)為8.96、中位數(shù)約為6.71、眾數(shù)為5.7，我們選擇哪一個數(shù)據(jù)度量集中趨勢呢？提示：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的特點以及需求選擇符合條件的統(tǒng)計量表示集中趨勢．比如，水利部門考慮供水量則需要用平均數(shù)，極大值要考慮到，如果只選擇眾數(shù)或者中位數(shù)就會出現(xiàn)供水量不足的情況．如果考慮大部分居民的用水情況，則只需選擇眾數(shù)或者中位即可．通過一個極端大的數(shù)據(jù)，體會極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的影響。通過對比探究題中的圖形和例1中的圖像得到左右拖尾對平均數(shù)和中位數(shù)的影響．培養(yǎng)學生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力．例題例2：某學校要制定高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格．據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要的校服規(guī)格如下表所示．校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？分析：校服規(guī)格是分類型數(shù)據(jù)，不能求平均數(shù)．選擇眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適．注：對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產品質量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)．校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386用上表的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格，合理嗎？答：由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理．例3：某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下：職務董事長副董事長董事總經理經理管理職員人數(shù)11215320工資300002000035003000250020001500計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．試問哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？（精確到1元）答：平均數(shù)為中位數(shù)為1500．眾數(shù)為1500．哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？分析：在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映公司員工的工資水平．回到引例引例：假設你到人才市場去找工作，有個企業(yè)老板說“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬”，你該如何理解這句話？分析：單純從一個平均收入20萬元，不能判斷這家公司的工資是高還是低，還需要借助工資的分布情況等其他信息進一