“變”中之“不變”——關(guān)于一道題的解法研究與改編摘要：通過一道題的解法研究，總結(jié)問題的本質(zhì)，改編試題.關(guān)鍵詞：解法研究反思改編《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在對數(shù)學(xué)“課程性質(zhì)”簡述中寫到“基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。”數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).筆者認為：數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和圖形空間關(guān)系的一門學(xué)科，從錯綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系中尋找不變的規(guī)律，在整個過程中用數(shù)學(xué)特有的符號語言進行推理和表達。一、試題呈現(xiàn)在正方形ABCD和正方形AEFG中，分別連接AC、AF、CF，點H為CF的中點.（1）如圖1，當(dāng)點F、G分別在線段AB、AC上，求∠BHG的度數(shù).（2）如圖2，當(dāng)點E、F、G分別在線段AB、AC、AD上，求證：GH=BH.（3）如圖3，當(dāng)點G在線段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面積.圖2圖3圖1二、解法分析第（1）題用“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”、“等邊對等角”、“外角的性質(zhì)”易求∠BHG的度數(shù).第（2）題解法較多，通過作垂線、作平行線、延長一倍的中線、連接中線等方法構(gòu)造全等，結(jié)合使用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”等結(jié)論證明GH=BH.解法一：如圖4，連接DH，△CDH≌△CBH證得DH=HB；過H點作HI∥CD，由等分線段定理，得：DI=IG，再由垂直平分線的性質(zhì)得到GH=DH，從而得出圖4GH=BH.解法二：圖5如圖5，過F點作FI⊥BC，垂足為I點，連接HI，HI是Rt△FIC斜邊上的中線，△GHF≌△BHI，直接證得GH=BH.解法三：如圖6，分別延長DC和GH，交于I點，再連接DH，△CHI≌△FHG，DH是Rt△GDI斜邊上的中線，得到DH=GH，又△CDH≌△CBH可得DH=BH，所以GH=BH.圖6解法四：圖7如圖7，過H點作CD和GF延長線的垂線，垂足分別為J和I點，△CJH≌△FIH，得到HI=HJ，再證△DHJ≌△GHI，DH=GH=BH.解法五：如圖8，過H點作BC和AD的垂線，垂足分別為I和J點，延長EF交IJ，并垂直于IJ.先證明△CHI≌△FHK，得到KF=IC=IH，再證△GJH≌△HIB，得證.圖8解法六：圖9如圖9，延長GH和DC交于I點，連接BI和GB，先證△GHF≌△IHC，再證△GAB≌△ICB，得證.解法七：如圖10，延長EF交CD于I點，連接DH、IH，由前面證得DH=BH，現(xiàn)圖10圖11證△DIH≌△GFH，最后得到BH=DH=GH.解法八：如圖11，過H點作BC、AD的垂線，垂足分別為I、J點，由前面方法已證DI=IG=CJ=HJ，所以IH=JB，易證△HIG≌△BJH，得證GH=BH.圖12解法九：圖13如圖12，連接HE，先證△GHF≌△EHF，得到GH=EH；過H點作HI⊥AB，垂足為I點，因H是CF中點，BC∥HI∥EF，所以EI=IB，所以EH=BH，最后得證.解法十：如圖13，過H點分別做HJ⊥BC、HI⊥GF，垂足為J、I點，先證△CHJ≌△HFI，圖14圖15再證△HGI≌△HBJ，從而得證.第（3）題解法一：如圖14，延長GH交BC于點I，易證△CHI≌△FHG，證得GH=IH，所以△BGH的面積等于△GBI面積的一半.解法二：延長CB和EF交于點I，過H點作BC和AB的垂線HJ和HK，垂足分別為J、K點.易證HJ是△CFI中位線，四邊形HJBK是正方形，求得△BGH的面積.三、思考與改編此題是共頂點的兩個正方形AEFG和正方形ABCD，將正方形ABCD固定，正方形AEFG繞A點旋轉(zhuǎn)，不論在什么位置GH⊥HB且GH=HB，所以本題我們可以如下設(shè)置問題：在正方形ABCD和正方形AEFG中，分別連接AC、AF、CF，點H為CF的中點.（1）如圖16，當(dāng)點E、F、G分別在線段AB、AC、AD上，猜想線段GH和HB的關(guān)系，并證明；（2）如圖17，將正方形AEFG繞A點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的過程中上述結(jié)論依然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請舉出反例.（3）如圖18，當(dāng)點G在線段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面積.圖16圖17圖18原題設(shè)置的三個小題都是三種特殊位置時的情況，并且要求解和求證的問題比較零散，題與題之間沒有邏輯關(guān)系，不利于問題本質(zhì)的探究和發(fā)現(xiàn)。改編后的問題設(shè)置由易到難、由淺入深、層層遞進，從特殊到一般再到特殊，通過一道題三個小問題弄清楚問題本質(zhì)——兩條線段長度相等、相互垂直，啟發(fā)學(xué)生在變化中尋找不變的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系.參考文獻[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.[2]許芬英.數(shù)學(xué)命題技術(shù)研究[M].杭州：浙江教育出版社，2017.[