2023屆山東省濰坊一中、山東師大附中等齊魯名校高三（下）第二次學業質量聯合檢測數學試題1.已知復數在復平面內的對應點為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：復平面內的點、復數及平面向量復數的四則運算綜合應用答案：D解析：因為復數在復平面內的對應點為，所以，

所以

故選2.設集合，則的所有子集的個數為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：集合的（真）子集個數問題對數（型）函數的單調性指數方程與指數不等式的解法答案：C解析：解不等式得，

解不等式得，

由于,

所以，，

所以，的所有子集的個數為個

故選3.設隨機變量，且，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：正態曲線的性質答案：A解析：因為隨機變量，

所以，

因為，

所以，

所以，根據正態分布的對稱性，

故選.4.拋擲一枚質地均勻的骰子次，則向上的點數為個互不相同的偶數的概率為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：古典概型的概率計算公式排列的應用答案：D解析：拋擲一枚質地均勻的骰子次，共有種不同結果，

其中向上的點數為個互不相同的偶數的情況為點數為的排列，故有種，

所以，向上的點數為個互不相同的偶數的概率為

故選.5.已知等邊三角形的邊長為，動點滿足．若，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：數量積的性質答案：B解析：，

由兩邊平方得，

即，

當且僅當時等號成立，

所以，

所以的最小值為

故選.6.克羅狄斯托勒密是希臘數學家，他博學多才，既是天文學權威，也是地理學大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內接四邊形的對角線與邊長的內在聯系，該定理的內容為圓的內接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：正弦定理及其應用三角函數中的數學文化答案：B解析：由托勒密定理，得．

因為，所以．

設圓的半徑為，由正弦定理，得．

又，所以．

因為，所以，

因，所以，所以，

所以，則，故．

故選7.已知正方體的棱長為，點滿足．若在正方形內有一動點滿足平面，則動點的軌跡長為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：立體幾何中的軌跡問題答案：C解析：如圖，在棱上分別取點，使得，，連接，

因為，，

所以，，

因為平面，平面，

所以平面，

因為，，

所以，，，

因為，，

所以，，，

所以

所以，四邊形是平行四邊形，

所以，

因為平面，平面，

所以，平面，

因為，平面，

所以平面平面，

因為平面平面,

所以，在正方形內有一動點滿足平面時，點的軌跡為線段，

因為

所以，動點的軌跡長為

故選.

8.設，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：導數與單調性導數中的函數構造問題答案：A解析：令，，則在上恒成立，

所以，函數在上單調遞減，

所以，當時，，即，；

令，，則，

所以，函數在上單調遞減，

所以，當時，，即，，

所以，當時，

所以，，

因為，

所以

所以，，即

，即

所以，

故選總結：本題解題的關鍵在于利用時，，結合二倍角公式，比較與的關系判斷.9.已知雙曲線和圓，則（

）A.

雙曲線的離心率為B.

雙曲線的漸近線方程為C.

當時，雙曲線與圓沒有公共點D.

當時，雙曲線與圓恰有兩個公共點知識點：雙曲線的離心率點到直線的距離雙曲線的漸近線圓的定義與標準方程答案：A；C；D解析：由已知得，，則，所以雙曲線的離心率，故選項正確；

雙曲線的漸近線方程為，即，故選項錯誤；

因為圓心到雙曲線的漸近線的距離，

所以當時，圓與雙曲線的漸近線相切，此時雙曲線與圓沒有公共點，故選項正確；

設雙曲線上的點的坐標為，，則圓心到點的距離為

，當且僅當時取等號，

所以圓心到雙曲線上的點的距離的最小值為，且雙曲線上只有兩個點到圓心的距離為，

所以當時，雙曲線與圓恰有兩個公共點，故選項正確.

故選.10.已知函數．若曲線經過點，且關于直線對稱，則（

）A.

的最小正周期為

B.

C.

的最大值為

D.

在區間上單調遞增知識點：函數的圖象及性質輔助角公式答案：A；B；D解析：因為曲線關于直線對稱，

所以，即，解得，

所以，，

所以，的最小正周期為，故選項正確；

因為曲線經過點，

所以，解得，

所以，，故選項正確；

所以，的最大值為，故選項錯誤；

當時，，

所以在區間上單調遞增，故選項正確

故選11.在數列中，若對于任意，都有，則（

）A.

當或時，數列為常數列B.

當時，數列為遞減數列，且C.

當時，數列為遞增數列D.

當時，數列為單調數列知識點：數列的遞推公式數列的函數特征數列的分類答案：A；B；C解析：對于選項，由得，

所以，當時，，是常數列；

當時，是常數列，故選項正確；

對于選項，，

因為，

所以，當時，，即，

同理可得，，

所以，即，

所以數列為遞減數列，且，故選項正確；

對于選項，當時，由得，即

由得，

所以，，

同理可得，

所以，即，

所以，數列為遞增數列，故選項正確；

對于選項，當時，由，即，

由得，符號不確定，

所以符號不確定，

所以，當時，數列的單調性無法確定，故錯誤

故選12.已知函數的定義域為，為奇函數，且對于任意，都有，則（

）A.

B.

C.

為偶函數

D.

為奇函數知識點：函數奇偶性的應用抽象函數的應用答案：B；C；D解析：由，得．

由是奇函數，得，即，

所以，即，所以，故選項錯誤；

由，得，由，得，所以，故選項正確；

由，，得，即為偶函數，故選項正確；

由，，得，則，

即為奇函數，故選項正確．

故選.13.寫出曲線過點的一條切線方程

?．（寫出其中的一個答案即可）知識點：利用導數求曲線的切線方程（斜率）答案：或解析：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．

因為，所以，

所以曲線在點處的切線方程為，即．

因為當或時，；當時，，

所以函數在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標，所以直線也符合題意．

故答案為：或.14.已知橢圓，直線交于兩點，點，則的周長為

?．知識點：直線與橢圓的綜合應用橢圓的定義答案：解析：由題知，

所以橢圓的焦點坐標為

所以，由得，

所以，為等邊三角形，且

因為，當時，解方程得，

所以，直線過點，且傾斜角為，即，

所以，直線為為等邊三角形中角的角平分線，

所以，直線為邊的中垂線，

所以，

因為

所以，的周長為，

故答案為：.

15.設奇函數的定義域為，且對任意，都有．若當時，，且，則不等式的解集為

?．知識點：函數奇偶性的應用對數型復合函數的應用抽象函數的應用答案：解析：設，且，則

因為，當時，，所以，

因為對任意，都有．

所以，，即，

所以，函數在上單調遞減，

因為是定義域為的奇函數，

所以，函數在上單調遞減，

因為不等式等價于不等式，即，

因為對任意，都有，，

所以，當時，得；當時，得

所以，

所以，，，，，

所以，當時，的解集為，

當時，的解集為，

所以，的解集為，

所以，不等式的解集為，

故答案為.16.已知三棱錐的體積為，且．若該三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則三棱錐的體積為

?．知識點：與球有關的切、接問題棱柱、棱錐、棱臺的體積答案：解析：由已知得?，，．

設點到平面的距離為，則??

．

又，所以，，兩兩互相垂直．

取的中點，連接并延長至點，使，連接、、，則的中點即為球心，

（四棱錐中底面，且為矩形，則四棱錐可以補形為以為底面的長方體，

即為該長方體的一條體對角線，三棱錐的外接球即為四棱錐也即為該長方體的外接球）．

因為點到平面的距離等于點到平面的距離的，而點到平面的距離等于點到平面的距離，

所以?．

故答案為.17.已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，數列滿足，求的前項和．知識點：等比數列的通項公式構造法求數列通項分組求和法答案：(1)數列滿足

所以，，解得，

由得，即，

所以，數列是等比數列，公比為，首項為，

所以，即

所以，的通項公式為(2)因為，，

所以，，

，，

所以，，

令，

設數列的前項和為，

因為數列為等差數列，為等比數列，

所以，

因為數列的前項和為與的和，，

所以，.解析：(1)略(2)略18.在中，，是邊上一點，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．知識點：正弦定理及其應用解三角形中的最值（范圍）問題答案：(1)由，，

可得，．

在中，由正弦定理得；

在中，由正弦定理得；

在中，由正弦定理得，

所以．(2)由，得．

設，則，，

所以，，

，則，

故．

設，則．

因為，所以，則．

設，，則．

因為當時，，所以函數在區間上單調遞增．

因為?，所以?，

故的取值范圍為．解析：(1)略(2)略19.為了促進地方經濟的快速發展，國家鼓勵地方政府實行積極靈活的人才引進政策，被引進的人才，可享受地方的福利待遇，發放高標準的安家補貼費和生活津貼．某市政府從本年度的月份開始進行人才招聘工作，參加報名的人員通過筆試和面試兩個環節的審查后，符合一定標準的人員才能被錄用．現對該市月份的報名人員數和錄用人才數（單位：千人）進行統計，得到如下表格．月份月份月份月份月份報名人員數千人錄用人才數千人

附：經驗回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

(1)求出關于的經驗回歸方程；(2)假設該市對被錄用的人才每人發放萬元的生活津貼①若該市月份報名人員數為人，試估計該市對月份招聘的人才需要發放的生活津貼的總金額；②假設在參加報名的人員中，小王和小李兩人被錄用的概率分別為，．若兩人的生活津貼之和的均值不超過萬元，求的取值范圍．知識點：統計分析的應用線性回歸模型的最小二乘法離散型隨機變量的分布列及其性質離散型隨機變量的均值或數學期望答案：(1)由題意得，，

所以，

故關于的經驗回歸方程為．(2)①將代入，得，

所以（萬元），

故估計該市對月份招聘的人才需要發放的生活津貼的總金額為萬元．②設小王和小李兩人中被錄用的人數為，則的可能取值為，，，

則，

，

，

所以，

則，解得．

又，所以，則．故的取值范圍是．解析：(1)略(2)①略②略20.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值.知識點：平面與平面垂直的判定定理用空間向量研究兩個平面所成的角答案：(1)設的中點為，連接，

因為為等邊三角形，所以，

又因為平面平面，

平面平面，

且平面，

所以平面，

因為平面，所以，

又，平面，

所以平面，又因為平面，

所以，

因為在等邊三角形中，為的中點，

所以，

因為，平面，

所以平面，

因平面，

所以平面平面；(2)連接，由（）知，平面，

因為平面，所以，

因為，，，

所以四邊形為矩形，

即，，，所以，

設，，，，

以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，

所以，，，，，，

所以，，，，

設平面和平面的法向量分別為，，

則

即

取，，則，，

所以，

所以平面與平面夾角的余弦值為.解析：(1)略(2)略21.已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上的一點，直線的斜率為的面積為．(1)求的方程；(2)過點作一條直線，交于兩點，試問在上是否存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．知識點：拋物線的頂點、焦點、準線拋物線的標準方程直線與拋物線的綜合應用圓錐曲線的存在性問題答案：(1)由題意知，設點的坐標為，

則直線的斜率為．

因為直線的斜率為，所以，即，

所以的面積，

解得或（舍去），

故拋物線的方程為．(2)假設存在點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方．

由（）得，拋物線的準線的方程為．

設直線的方程為，，，，

聯立得，

所以，，．

因為，

，

所以，解得或．

故存在定點，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方，其坐標為或．解析：(1)略(2)略22.已知，函數．(1)若和的最小值相等，求的值；(2)若方程恰有一個實根，求的值．知識點：導數與最值利用導數求解方程解的個數利用導數解決函數零點問題答案：(1)因，則

則在上單調遞減，在上單調遞增，

故

因，則