阻尼慣性秤的慣性質量與周期塊的定標

在北京大學的實驗中，測量物體的容性質量是一項基本實驗，可以提高學生對物體質量的理解，可以學會平衡和測量質量的新方法。在過去的慣性秤實驗教學中,是研究忽略阻力作用下的慣性秤擺動周期、等效質量和附加質量塊三者之間的關系文獻式中λ為空氣阻力系數,K為秤臂的彈性系數,m式中L為等效擺長。如果將秤臂秤臺平面調成水平,與固定的豎直平面垂直,即φ=90°,cosφ=0,則根據(2)或(3)式,分析討論了阻力對周期和振幅的影響1實驗結果的擬合由(2)式可知,由于阻力的存在λ≠0,使得周期T與質量m首先將慣性秤的秤臂秤臺固定在豎直支架上,使夾角固定不變,可以不為90度。選用微秒(μs)記時器,測出慣性秤每擺動20個周期所需的時間,重復三次,結果分別記為T然后,根據附表的實驗結果,利用數學計算軟件Maple進行二次曲線擬合。曲線擬合或稱回歸,是根據二個物理量之間的實驗結果,利用最小平方法,以求出最逼近或最能反映這二個物理量之間變化關系的函數,其計算方法和原理可參考文獻>restart:with(stats):with(fit):with(plots):with(PDEtools):其中restart為清除內存中已有Maple的函數和變量,with(stats)、with(fit)、with(plots)和with(PDEtools)分別為將stats,fit,plots(作圖工具函數庫),PDEtools(代數運算函數庫)調入內存,冒號“:”為不顯示函數庫加載后的結果。將質量塊的質量組成串行,賦值給變量m>m對附表中各質量塊相應的測得周期進行計算,求出一個周期所需的時間,并組成串行,賦值給變量T>T由于重復三次,每次連續測量擺動20個周期的時間,所以再求出一個周期的平方,組成串行,并賦值給變量t>t擬合后的直線方程為如果對附表中的質量和周期的平方,進行二次曲線擬合,相應指令和擬合后的曲線方程分別為進行三次曲線擬合,相應指令和擬合后的曲線方程分別為為了直觀地分析討論擬合后的曲線方程與實驗結果的符合情況,先畫出實驗結果的圖像,并賦值給變量g>g1:=plot(zip((m,T)->[m,T],m[i],t[i]),style=point,labels=[m,T]):再分別畫出直線方程eq1、二次曲線方程eq2和三次曲線方程eq3所對應的圖像,并分別賦值給變量g分別得到如圖1、圖2和圖3。圖中橫坐標m表示已知質量塊的質量,縱坐標T表示質量對應一個周期的平方。空心圓圈表示實驗數據點,實線表示擬合函數的質量m與一個周期的平方T的圖像。與實驗結果誤差較大。和(6)式的三次曲線方程T=3.064306383m與實驗結果很吻合,誤差較小。從圖像上比較,看不出圖2,圖3擬合曲線與實驗結果的誤差大小的差異,精度很接近。但可通過計算相對誤差比較二次曲線與三次曲線的擬合結果的差異。如果選擇(5)式求慣性質量,可用maple的solve()命令式中m的單位為克,T的單位為微秒的平方。測出待測物體擺動一個周期的平方T,代入(7)式,就可求得待測物體的慣性質量m。若以表1中參考質量m=102.8克為例,將它對應一個周期的平方T=0.5763800626×10可見,η2慣性質量的檢測在過去的慣性秤實驗教學中,忽略阻力作用,用作圖法分析討論了慣性秤定標和慣性質量的測量問題。本文考慮了阻力作用,用曲線擬合回歸法研究了阻尼的慣性秤定標和慣性質量的測量方案。由于曲線擬合回歸法是基于最小平方法的數據處理方法,需要對實驗數據進行大量和較復雜的計算,所以我們介紹了利用數學計算軟件Maple中的state函數庫的子函數庫fit的leastsquare[vars](data)和leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令,用這二個指令中的一個就可根據實驗結果,得到二個物理量之間的擬合曲線,作為慣性秤的定標曲線。由定標曲線則可求得待測物體的慣性質量。分析結果表明在阻尼慣性秤的定標和慣性質量測量實驗中,用leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令擬合的慣性質量與周期平方的二次曲線的函數關系更準確。本文利用先進的數學工具解決復雜的物理實驗問題的方法,對老師指導實驗具有有益的參考作用,對學生能起到激發學習計算軟件的興趣,并啟發引導分析復雜實驗現象的能力。如果以質量塊的質量m為自變量,對應的一個周期的平方T為因變量,進行線性擬合,相應指令為>eq1:=leastsquare[[m,T]]([m[i],t[i]]);>g2:=plot(rhs(eq1),m=0..250):g3:=plot(rhs(eq2),m=1..250):g4:=plot(rhs(eq3),m=1..250):然后將實驗結果的圖像g>display(g1,g2);display(g1,g3);display(g1,g4);由圖1可知,偏離直線的實驗數據點較多,說明(4)式的直線方程由圖2和圖3可知,實驗數據點均在