常見排列應(yīng)用題型及方法四川省鄰水中學(xué)黃文謙常見排列應(yīng)用題型及方法四川省鄰水中學(xué)黃文謙1例1.

某段鐵路上有12個車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通客票？類型一、無限制條件例1.某段鐵路上有12個車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通客票？類2練習(xí)1某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參加,每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次,共進行多少場比賽?練習(xí)1某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參加,每隊都要與3例2、用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析1：由于百位上的數(shù)字不能為0，只能從1到9這9個數(shù)字中任選一個，有種選法，再排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中任選2個，有種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)是：分析2：所求的三位數(shù)可分為：不含數(shù)字0的，有個；含有數(shù)字0的，有個，根據(jù)分類計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)是：分析3：從0到9這十個數(shù)字中取3個的排列數(shù)為，其中以0為百位數(shù)字的排列數(shù)為，故所求三位數(shù)的個數(shù)是：(特殊位置分析)(特殊元素分析)(排除法)類型二、有限制條件

一題多法例2、用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位4方法一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)限法。注意喲：一道題可以有多種解法方法一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題5練習(xí)現(xiàn)有7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A22種；第二步余下的5名同學(xué)進行全排列有A55種則共有A22A55=240種排列方法.練習(xí)現(xiàn)有7位同學(xué)站成一排．解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步6⑵甲、乙、丙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？(位置分析)第一步排頭和排尾從除去甲、乙、丙外的4位同學(xué)中選2位同學(xué)站有A42種方法；(元素分析)第一步:甲、乙、丙站在除排頭和排尾的5個位置中的3個位置有A53種站法;第二步:其余同學(xué)站其余4個位置有A44種站法;共有A53A44＝1440種排列方法．優(yōu)限法第二步其余位置余下的5位同學(xué)站有A55種方法，所以一共有A42A55＝1440種排列方法．⑵甲、乙、丙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？(位置分析)7⑵甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？排除法：若甲站在排頭有A66種方法；若乙站在排尾有A66種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有A55種方法.所以甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有A77－4A66＋2A55=2400種．(位置分析)第一步排頭和排尾從除去甲、乙外的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站有A52種方法；(元素分析)第一步:甲、乙站在除排頭和排尾的5個位置中的2個位置上有A52種站法;第二步:其余同學(xué)站其余5個位置有A44種站法;共有A52A55＝2400種排列方法．第二步其余位置余下的5位同學(xué)站有A55種方法，所以一共有A52A55＝2400種排列方法．⑵甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？排除法：若甲站在8解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一起進行全排列有A66種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A66A22＝1440種．⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余9方法二：對于相鄰問題,常用捆綁法，記得先捆后松，必須最后才松綁練習(xí)：甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？有A55A33＝720種．方法二：對于相鄰問題,常用捆綁法，記得先捆后松，必須最后才松10解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有A55種方法，此時他們中間和兩邊六個位置（就稱為“空”），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）有A62種方法.則共有A55

A62=3600種方法．解法一：(排除法)A77-A66A22=3600⑷甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有A55種方法，此時他11方法三：對于不相鄰問題，常用“插空法”練習(xí)：甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？

解：先將其余四個同學(xué)排好有A44種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學(xué)分別插入這五個“空”有A53種方法，所以一共有A44

A53

＝1440種．方法三：對于不相鄰問題，常用“插空法”練習(xí)：甲、乙和丙三個同12命中的三槍看作一個元素，和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中，有A25=5·4=20種排法。練習(xí).某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？本題不用松綁了，為什么？解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開，如圖表示沒有命中，__________命中的三槍看作一個元素，和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空13本題這樣考慮：共有7個座位，第二步將女生安排進剩下的空座位，只有1種方法；故，總的排列方法數(shù)為：第一步安排男生，從7個座位中選4個座位給男生有種方法；這種思想叫座位思想例

有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？方法四：定序元素后考慮本題這樣考慮：共有7個座位，第二步將女生安排進剩下的空座位，14例

有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？方法五：定序問題也可用“除法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).分析：先在7個位置上作全排列，有種排法。其實就是先安排男生，再安排女生，即。若女生不排序了，則排法為解題時書寫為例有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生15本題這樣考慮：共有6個座位，第二步將A、B、C安排進剩下的空座位，只有4種方法；ABC,BAC,CAB,CBA故，總的排列方法數(shù)為：第一步安排D、E、F，從6個座位中選3個座位給D、E、F男生有種方法；練習(xí)

有A、B、C、D、E、F六名學(xué)生排成一行，要求A、B在C的同側(cè)，有多少種排法？本題這樣考慮：共有6個座位，第二步將A、B、C安排進剩下的空16(1)1個女生用排除法則直接如果本題要分類，則要分成:前4個位置恰有例

有5名男生，3名女生8名學(xué)生排成一行，要求前4個位置至少有一個女生，有多少種排法？方法六：“至多”“至少”問題分類法或排除法(2)2個女生(3)3個女生元素分析，先安排3個女生位置分析，先安排前4個位置步1：選一個女生安排在前面四個位置中的一個，有A31×A41種方法步2：其余的人排余下的位置，有A77種方法共有A31A41A77種方法，這樣做對嗎？不對，不可籠統(tǒng)計算(1)1個女生用排除法則直接如果本題要分類，則要分成:前4個17例、10把椅子排成一行,現(xiàn)有3人就坐,要求每個人的兩側(cè)都有空椅子,則不同的入座方法有()種，要求任何兩人不相鄰，則不同的入座方法有()種。方法七：座位插空法練習(xí)、一座橋上有編號為1～10的10盞路燈,為節(jié)約用電,又不影響照明,可以把其中的三盞路燈關(guān)掉,但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞,也不能關(guān)掉兩端的路燈,問不同的關(guān)燈方法有多少種?（組合問題）例、10把椅子排成一行,現(xiàn)有3人就坐,要求每個人的兩側(cè)都有空18書架上原有5本不同的書排放在一排，再放上3本不同的書，且不改變原書的相對順序，求共有多少種不同的放法?法二、方法八：逐個插空法，其實是分步計數(shù)原理法一、先8本書全排，其中5本其實不用排，用除法6×7×8書架上原有5本不同的書排放在一排，再放上3本不同的書，且不改19有5名男生，4名女生排隊。(1)全部排成一排，有有多少種排法？(2)排成兩排，前排4人，后排5人，有多少種排法？(3)排成三排，每排3人，有多少種排法？(4)排成兩排，前排4人，后排5人，甲站前排，有多少種排法？(5)排成三排，每排3人，甲站第一排，有多少種排法？單排與多排問題有5名男生，4名女生排隊。單排與多排問題20編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.方法八：錯位數(shù)要記住常用的：當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.例.

某6小組的組長將數(shù)學(xué)作業(yè)本發(fā)放下去，某一人拿到了自己的作業(yè)本，其他組員拿到的都不是自己的作業(yè)本的發(fā)放方法有

種。編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒21現(xiàn)有4名男生和2名女生(1)站成一圈，有多少種站法？(2)站成一圈且女生要站在一起，有多少種站法？（1）（2）方法九：環(huán)狀排列——剪斷直排法BACEDFABCDEFBCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE現(xiàn)有4名男生和2名女生（1）（2）方法九：環(huán)狀排列——剪斷直22[解析]按末位是1、3、5分三類計數(shù)：第一類，末位是1的共有4×A24＝48個；第二類，末位是3的共有3×A24＝36個；第三類，末位是5的共有3×A24＝36個，由分類加法計數(shù)原理知共有48＋36＋36＝120(個)．3×4×4×3—還有沒有其他的方法呢？例：用0、1、2、3、4、5可以組成無重復(fù)數(shù)字的比2000大的四位數(shù)的奇數(shù)_____個．個千百十千個百十四位數(shù)奇數(shù)減去小于2000的四位奇數(shù)優(yōu)限法排除法1×2×4×3＝120(個)．?dāng)?shù)字類題型：含0的數(shù)字類問題，一般就要用優(yōu)限法[解析]按末位是1、3、5分三類計數(shù)：3×4×4×3—還有沒232、用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的且能被5整除的三位數(shù)？3、用1到9這九個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的且能被3整除的三位數(shù)？例1、4、72、5、83、6、91、用0、1、2、3、4這5個數(shù)字可組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)________個．除以3余0的：除以3余1的：除以3余2的：2、用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的且能被524用數(shù)字0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字能夠組成數(shù)字不重復(fù)的數(shù)中(1)能被5整除的四位數(shù)有

個，(2)能被3整除的三位數(shù)有_____個，(3)能被3整除的四位數(shù)有_____個，練習(xí)9640108用數(shù)字0，1，2，3，4這5個數(shù)字能夠組成數(shù)字不重復(fù)的數(shù)中能被4整除的五位數(shù)有

個能被4整除的數(shù)，末兩位數(shù)必能被4整除用數(shù)字0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字能夠組成數(shù)字不重復(fù)的數(shù)25例：由1,2,3,4可以組成多少個自然數(shù)(數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位數(shù))?[解析]組成的自然數(shù)可以分為以下四類：第一類：一位自然數(shù)，共有4個；第二類：二位自然數(shù)，又可分為兩步來完成，先取出十位上的數(shù)字，再取出個位上的數(shù)字，共有4×4＝16(個)；第三類：三位自然數(shù)，又可分三步來完成．每一步都可以從4個不同的數(shù)字中任取一個，共有4×4×4＝64(個)；第四類：四位自然數(shù)，又可分四步來完成．每一步都可以從4個不同的數(shù)字中任取一個，共有4×4×4×4＝256(個)．由分類加法計數(shù)原理知，可以組成的不同的自然數(shù)為4＋16＋64＋256＝340(個)．例：由1,2,3,4可以組成多少個自然數(shù)(數(shù)字可以重復(fù)，最多26例：從數(shù)字0，1，2，3，4這5個數(shù)字里，每次取3個組成沒有重復(fù)數(shù)字三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和。(1)4作百位的數(shù)的個數(shù)有個(2)3作百位的數(shù)的個數(shù)有個(3)2作百位的數(shù)的個數(shù)有個(4)1作百位的數(shù)的個數(shù)有個所有三位數(shù)的百位數(shù)之和為所有三位數(shù)的十位數(shù)之和為所有三位數(shù)的個位數(shù)之和為所有三位數(shù)和為12000+900+90=12990例：從數(shù)字0，1，2，3，4這5個數(shù)字里，每次取3個組成沒有27[分析]由于要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，所以可按“1號區(qū)域與4號區(qū)域同色”和“1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色”兩種情況分類，然后根據(jù)兩個原理分別求解.涂色問題:用5種不同的顏色給圖中的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？[分析]由于要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，所以可按“128[法一]第一類：1、4同色，可分三步來完成，第一步，先涂1、4，有5種涂法；第二步，再涂2，只要不與1、4同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂3，只要不與1、4同色即可，因此也有4種涂法；由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×4＝80種涂法；第二類：1、4不同色，可分四步來完成，第一步，先涂1，有5種涂法，第二步，再涂4，只要不與1同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂2，只要不與1、4同色即可，因此有3種涂法；第四步，涂3，只要不與1、4同色即可，因此也有3種涂法．由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×3×3＝180種涂法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的涂色方法種數(shù)為80＋180＝260.[法一]第一類：1、4同色，可分三步來完成，第二類：1、4不29[法二]1、42、31、4232、3142314先分堆用2色用3色用3色用4色再涂色+++=260[法二]1、42、31、4232、3142314先分堆用2色30“先分堆，再涂色”在涂色問題中更簡單以后涂色問題都這么解如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個區(qū)域里種1種花，且相鄰的2個區(qū)域種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48“先分堆，再涂色”在涂色問題中更簡單以后涂色問題都這么解如圖31某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如右圖）現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有______種.（以數(shù)字作答）

6、3