《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計(jì)本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，這是在學(xué)習(xí)了空間向量幾何形式及其線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容。空間向量基本定理是平面向量基本定理及其研究方法在空間上的推廣和拓展，是空間向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。空間向量的坐標(biāo)表示溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，豐富了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的視角、新的觀點(diǎn)和新的方法，給學(xué)生的思維開(kāi)發(fā)提供了更加廣闊的空間。在本節(jié)課中，我們將了解空間向量基本定理、理解空間向量的基底、基向量的概念，以及理解空間向量的正交分解和坐標(biāo)表示。通過(guò)經(jīng)歷由平面向量基本定理類比得出空間向量基本定理的過(guò)程，學(xué)生能夠理解空間任一向量可用空間不共面的三個(gè)已知向量唯一線性表出，并經(jīng)歷由空間向量基本定理得出空間向量的坐標(biāo)表示的過(guò)程。在教學(xué)過(guò)程中，我們將重點(diǎn)講解空間向量基本定理和空間向量的坐標(biāo)表示，幫助學(xué)生理解空間向量的概念和應(yīng)用。同時(shí)，我們將引導(dǎo)學(xué)生將平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示的研究方法類比到空間向量，著重理解空間向量的坐標(biāo)表示。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學(xué)應(yīng)用能力；培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，能借助圖形理解空間向量基本定理的意義；并且學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷地發(fā)展、變化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物。在引入新課時(shí)，我們將提出問(wèn)題，回憶平面向量基本定理的內(nèi)容，思考平面向量基本定理的作用。通過(guò)教師提問(wèn)舊知，學(xué)生回答，思考得出結(jié)論的活動(dòng)設(shè)計(jì)，鞏固學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為探索新知作好準(zhǔn)備。在探究新知時(shí)，我們將引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷由平面向量基本定理類比得出空間向量基本定理的過(guò)程，理解空間任一向量可用空間不共面的三個(gè)已知向量唯一線性表出，并經(jīng)歷由空間向量基本定理得出空間向量的坐標(biāo)表示的過(guò)程。提出問(wèn)題1：平面向量存在基底，那么空間向量是否存在基底，基底是否唯一？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先自己思考，然后小組交流，交流各自的想法；教師指導(dǎo)學(xué)生利用空間幾何體來(lái)研究，并巡視參加學(xué)生討論。活動(dòng)成果：1.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使p=xa+yb+zc。證明：(存在性)設(shè)a，b，c不共面，過(guò)點(diǎn)O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；過(guò)點(diǎn)P作直線PP′平行于OC，交平面OAB于點(diǎn)P′，連接OP′，在平面OPC內(nèi)，作PC′∥OP′，交直線OC于點(diǎn)C′；在平面OAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P′作直線P′A′∥OB，P′B′∥OA，分別與直線OA，OB相交于點(diǎn)A′，B′，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使OA'=xOA=xa，OB'=yOB=yb，OC'=zOC=zc，∴OP=OA'+OB'+OC'=xOA+yOB+zOC，∴p=xa+yb+zc。(唯一性)假設(shè)還存在x′，y′，z′使p=x′a+y′b+z′c，∴xa+yb+zc=x′a+y′b+z′c，∴(x-x′)a+(y-y′)b+(z-z′)c=0，不妨設(shè)x≠x′，即x-x′≠0，∴a=-(y-y′)/(x-x′)b-(z-z′)/(x-x′)c，∴a，b，c共面，這與已知矛盾，∴該表達(dá)式唯一。綜上兩方面，原命題成立。2.由此定理，若三向量a，b，c不共面，則所有空間向量所組成的集合是{p|p=xa+yb+zc，x∈R，y∈R，z∈R}，這個(gè)集合可以看作由向量a，b，c生成的，所以我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c叫做基向量。3.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索出空間向量基本定理。提出問(wèn)題2：空間向量能不能用坐標(biāo)表示？應(yīng)如何選擇空間向量的基底？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自主探索；教師巡視指導(dǎo)。活動(dòng)成果：1.空間向量可以用坐標(biāo)表示，選擇一個(gè)合適的基底，將空間向量表示為該基底上的坐標(biāo)。2.單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)度都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示。選擇單位正交基底可以簡(jiǎn)化計(jì)算，并且方便表示向量之間的夾角和距離。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生理解空間向量的坐標(biāo)表示和單位正交基底的概念。1.已知四個(gè)空間點(diǎn)O，A，B，C，且向量OA，OB，OC不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這四個(gè)點(diǎn)必須共面。因?yàn)槿绻@四個(gè)點(diǎn)不共面，那么OA，OB，OC就可以構(gòu)成一個(gè)基底。2.在四面體OABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則OE=1/2*(OA+OB+OC-OD-OE-OF)。根據(jù)中點(diǎn)定理，OD=1/2*OB，OF=1/2*OC，所以O(shè)E=1/2*(OA+OB+OC-1/2*OB-1/2*OA-1/2*AC)=1/2*(OA-1/2*OA+1/2*OB+1/2*OC)=1/2*(1/2*OA+1/2*OB+1/2*OC)=1/2*(a+b+c)/2=(a+b+c)/4。3.設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)正交基底，a=3i+2j-k，b=-2i+4j+2k，則向量a，b的點(diǎn)積為0，即a·b=3*(-2)+2*4+(-1)*2=-6+8-2=0，所以向量a，b垂直。小結(jié)：本課學(xué)習(xí)了空間向量基本定理和空間向量的坐標(biāo)表示，掌握了類比方法、數(shù)形結(jié)合方法和轉(zhuǎn)化變形方法，培養(yǎng)了類比思想、轉(zhuǎn)化思想和基底思想。作業(yè)：課本習(xí)題3.1A組第11題，補(bǔ)充練習(xí)。補(bǔ)充練習(xí)：1.已知{a，b，c}是空間向量的一個(gè)基底，則可以與向量p=a+b，q=a-b構(gòu)成基底的向量是a+2b。2.向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，則向量p在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(12,14,10)。3.在直三棱柱ABO-A'B'O'中，∠AOB=π/2，|AO|=4，|BO|=2，|AA'|=4，D為A'B'的中點(diǎn)，則DO的坐標(biāo)是(-2,-1,-4)，A'B的坐標(biāo)是(-4,2,-4)。4.線段PQ，RS，MN的中點(diǎn)不重合。設(shè)四面體OABC的棱OA，BC，OB，AC，OC，AB的中點(diǎn)分別是P，Q，R，S，M，N。由于OABC是四面體，所以任意兩個(gè)面的法向量都是共線的。因此，向量PQ，RS，MN的中點(diǎn)所在的線段也是共面的。但是，由于四面體OABC的形狀不確定，所以無(wú)法證明這三個(gè)中點(diǎn)不重合。本節(jié)課介紹了空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示方法。學(xué)生可以通過(guò)類比平面向量基本定理，選擇一組正交基底來(lái)表示向量的坐標(biāo)。本節(jié)課的教學(xué)方式主要包括問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、類比思考、啟發(fā)引導(dǎo)和自主探索等，旨在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)基礎(chǔ)將新知識(shí)類比出來(lái)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，加深學(xué)生的理解。類比是本節(jié)課設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)，教師在提問(wèn)的引導(dǎo)下，學(xué)生自主完成探究新知和理解新知的過(guò)程，在運(yùn)用新知時(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力。備課資料：1.已知正方形ABCD所在平面與向量PA垂直，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，且PA=AD=AB=1。求MN、DC的坐標(biāo)。解：因?yàn)镻A=AD=AB，且PA垂直于平面ABCD，AD垂直于AB，所以可以選擇以i、j、k為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz。根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，MN=MA+AP+PN=MA+AP+PC=-(1/2)j+k+(-k-i+j)/2=-i+k，DC=(0,1,0)。2.四棱錐P—OABC的底面為一矩形，PO垂直于平面OABC，設(shè)OA=a，OC=b，OP=c，E、F分別是PC和PB的中點(diǎn)，用a，b，c表示BF、BE、AE、EF。解：BF=BP=BO+OP=c-b-a=-a-b+c，BE=BC+CE=-a+CP=-a+(CO+OP)=-a-b+c，AE=AP+PE=AO+OP+(PO+OC)=-a+b+c，EF=CB=OA=a。因此，BF=-a-b+c，BE=-a-b+c，AE=-a+b+c，EF=a。空間向量的一組基底{a，b，c}可以用來(lái)表示任何空間向量。在使用這組基底時(shí)，需要注意應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則。在三維空間中，空間向量可以用三個(gè)分量表示。這三個(gè)分量可以看作是空間向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。因此，我們可以通過(guò)確定三個(gè)基向量來(lái)表示任何一個(gè)空間向量。在確定基向量時(shí)，我們需要選擇一組線性無(wú)關(guān)的向量。這組向量可以通過(guò)多種方法得到，比如說(shuō)我們可以選擇三個(gè)互相垂直