2023年重慶考研數學三試題及答案

一、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是最符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

1.已知函數/（%,y）=111（丁+|心足丁|）,則（）.

.df十七*df-天B.生存在，笠不存在

A.—不存在，—存在

dx（0,1）辦（0.0&（0,!）②（0.1）

C.日存在，更存在D.更不存在，笠不存在

dx

dx（0,1）小（0.D（0.D②<0,0

【答案】A.

【解析】由已知/（%,丁）=皿y+|心山卻），則

/(x,1)=ln(l+1xsin1|),/(0,y)=Iny.

d/(x,l)

當x>0時，/(x,l)=ln(l+xsinl),=sinl；

dx

x=0

爪1)

當比<0時，/(x,l)=ln(l-xsinl),叭=-sinl；

dxdx

(0.1)v=0

所以聯

不存在.

（0,1）

▽=V(o，y)

"(%,y)1,存在.

Sy(o,i)dy

故選A.

II----,X<°

2.函數/(x)={Jl+%2的一個原函數為().

I(x+l)cosx,x>0

In(A/1+X2-A^,X<0

A.F(x)=

(x+1)cosx-sinx,x>0

In(Jl+f-xj+l,x<0

B.尸(x)=

(x+1)cosx—sinx,x>0

In(Jl+x?一x),x40

C.E(x)={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

+/+x)+l,x<0

D.P(x)={\/

(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由已知limf(x)=lim/(%)=/(0)=1,即/(x)連續.

x->0*x^O-

所以f(x)在龍=0處連續且可導，排除A,C.

又無〉0時，[(x+l)cosx-sinx]'=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+l)sinx,

排除B.

故選D.

3.若y"+緲'+與，=。的通解在(-00,+0。)上有界，則().

A.a<0,b>QB.a>Q,b>Q

C.a=0,b<0D.a=0,b>0

【答案】D.

［解析】微分方程/+ay'+by=0的特征方程為r2+ar+b=0.

9xxeh左刀且z、4b—a~—.\j4b—w

①右右一4b<0,則通解為y(x)=e2(geos-------x+C2sm-------x)；

②若—4。>0,則通解為y(x)=C,e

③若。2一4。=0,則通解為y(x)=(G+C2X)e《.

由于y(x)在(—8,+00)上有界，若—>0,則①②③中x—>+8時通解無界，若—<0,

22

則①②③中xf—8時通解無界，故a=0.

a=0時，若。>0，則％=，通解為y(x)=(GcosyJbx+C2sin,在(一8,+oo)

上有界.

a=0時，若Z?<0,則？2=±%，通解為y(x)=C；e瘋+Ge-血，在(—，田)上無界.

綜上可得。=0,b>0.

8CO

4.設。“＜如且￡%與收斂,

z%絕對收斂是Z勿絕對收斂的（).

M=In=I/i=ln=l

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

00Q0

【解析】由已知條件可知z（。—4）為收斂的正項級數,進而2收一4）絕對收斂?

〃=1n=l

88

設絕對收斂，則由同=h-4+幻《四一幻+同與比較判別法,得z.

M=1/:=!

絕對收玫；

設絕對收斂，則由同=|q_2+包區|〃_。.|+可與比較判別法，得絕

?=|

對收斂.故選A.

5.A,B為可逆矩陣，E為單位陣，M*為M的伴隨矩陣，則

I。B）

1A|3，一5*A*\"\B\X-AB*、

A.

IO151c、o\A\B\

(\B\A-一產

C.D.AW

[o1。\B\X)

【答案】B.

【解析】由于

7EVAEXAE(E

、。八=

30B,0武0E)[0\A\\B\>

故

7EV町儼||3|0、

、o小〔。

B)I0\A\\Bi

"A-'-A-'B-'VlAHBI0、

B'A0|A||研

、0

_1A|AT|5|-|A|A-1

一、0B'\A\\B\,

-ABA

=、0B*|A廠

故選B..

6./（玉,龍2，尤3）=（尤1+*2）~+（玉+%3）~一4（W一％3）~的規范形為

A.y,2+y\B.y\-y\c.y；+D.y；+y；-y；

【答案】B

2

【解析】)(%,馬,毛)=(%+無2>+(%+尤3)2-4(X2-X3)

2%；-3x；-3元;+2X1%2+2X|七+8X2X3,

(211

二次型的矩陣為A=1-34

J4-3>

2-2112-A10

|A—花|=1-3-24=(4+7)1-3-21

14-3-214-1

2-210

=(2+7)21-20=-2(2+7)(2-3)=0,

14-1

4=3,4=-7,4=0,故規范形為故選B.

T，2、,2、T

7.已知向量組4=2,%1，笈=5,優=o若y既可由劣,&2線性表示,

3

又可由回，凡線性表示，則/=（）

'3、

B.k5,keR

、9

’-1、

C.k1,keR

、2,

【答案】D.

a

【解析】設7=A1al+A2a2=A摳+人血，則K\+A2a2-&q一&血=°，對關于

認,與段的方程組的系數矩陣作初等變換化為最簡形,

2-21003、

4=(四,％,一4,一四)=21-50->010-1,

310011J

解得(4,右￡，勺)T=。(-3,1,-1,1)T+(3,-1,1,())T=(3-3C,-l+C,l-C,C)T,故

1-C、n

y=Si+k2al=(3—3C)a,+(C-l)a25(1-C)=k5,keR.

8(1-C)J

8.設X服從參數為1的泊松分布，則￡(|X—￡(X)|)=().

112

A.-B.-C.一D.1

e2e

【答案】c.

e-1

【解析】方法一：由己知可得，P{X=Z}=—(攵=0,1,2,),E(X)=1,故

k\

司X/X)D問XT噂嵯

2

2e-1+E(X-l)=-.

e

故選C.

8AxA18k+

方法二：由于爐=￡丁，于是—=一￡x'e\*l于是

￡(k+l)!(&+1)!x

00依Ijt+i\

人(x-l)e'+l

=y.vX

E/+1)!1金(火+1)!-E%2

k=l(Z+l)!,X

e-1

由已知可得,P{X=A}=——(&=0,1,2,),E(X)=1,故

k\

op

e-'+e-^

k=](攵+1)!

(x-l)eA+1

=e-1+e-1=e-14-e-1=—

2

xx=ie

E(|X-E(X)|)=￡(|丫I)=[e-1+E(Y)]=e-1+￡(X)-l=e-1.

故選C.

9.設X1,Xz，…,X”為來自總體Na，/)的簡單隨機樣本，乂上,?，匕為來自總體

___1_1_叫

N(也,202)的簡單隨機樣本，且兩樣本相互獨立，記X

S；=—[1z“(X「一X)2,邑2=」172工一—廳，則(

T)

n-\/=1m-\i=]

S2s2

A.念F(n,m)F(n-l,m-l)

$2

2S'22S'2

C.——Y-F(n.m)D.—F(n—l,m—1)

$2$2

【答案】D.

【解析】由兩樣本相互獨立可得(〃一?SJ與(加一?S?一相互獨立,且

b2b

<y-2<j~

(n-l)5,24八

2(〃-1)2S2

因此一0~~，------=」9-/(〃一1,團一1),故選)

E二呼除一\)s：

2b

10.已知總體X服從正態分布N(〃,b2),其中。＞0為未知參數，x「X2為來自總體X

的簡單隨機樣本，記S=a|X|—X?|,若E(b)=b,則。=().

A近B.叵C.品D,岳

22

【答案】A.

【解析】由與X-X2為來自總體X的簡單隨機樣本，X「X2相互獨立，且

X,X2

因而X1-X2~N(o,2b2),令y=X1-X2,所以y的概率密度為

/r(y)=22<r

72^Cef

所以

.)心，

由E(d)=aE(|X1-X2l)=b,即

2b

aE(\Y\)=a-廿’

解得a=近,故選A.

2

二、填空題：1廣16小題,每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

11.求極限lim/12-xsin--cos—|=___________.

-aIxx)

2

【答案】

3

csinZ

/I［、］2------cost

【國軍析】limx22-xsin——cos—l±lim----J-----

xeIxxJtor

isinf1

1_____2

「1-cosZrf_2「"sin/

=lim--；——+lim----—=+lim----——

/->0廠f->0y/->0『/->0/

11

=—I—

26

_2

-3,

12.己知函數f(x,y)滿足4/'(x,y)=3廠吁,且f(l,l)=工，則”6,3)=

xz+y~4

IT

【答案】--

3

――,「心5f(x,y)-y5f(x,y)x…

【解析】由已知J[?二，J)，\=———7，則

oxx+yoyx~+y

-y,x/、

于(x,y)=Jdx=-arctan—+夕(y),

x9+y7y

所以*:卡+%0'即以y)=。，e(y)=c，

XT[TT

從而/(x,y)=-arctan—+C,又/(1,1)=一，解得C=—,故

y42

百TC

/(Qg.arcta喙于小3吟-arctan——=—

233

00丫2〃

13.y—

4(2〃)!

__._e'+e_x

［答案］-------

2

【解析】令S(x)=宜匚,則S(O)=1,

且

“=o(2〃)！

02n-l

s'。)=￡----,S'(0)=0,

8r2/i-2s2n

sn(x)=y———Z^-=S(x),

￡(2〃-2)!￡(2〃)！

v

從而可得微分方程S\x)-S(x)=0,解得S(x)=C盧+C2e

又S(O)=1,S'(())=(),解得G=C,=—，故

2

9丫2”-x

14.某公司在t時刻的資產為/Q),則從0時刻到/時刻的平均資產等于3-r,假設

/⑺連續且/(())=(),貝”/(/)=

【答案】2(ez-r-l).

[/(r)dff(t\,

【解析】由已知可得蟲------=整理變形J。/。)由=/?)-產，

等式兩邊求導/(，)=7")一2/,即)=2r,解得一階線性微分方程通解為

/(r)=-2(r+l)+Ce,.

又/(())=(),解得。=2,故/⑺=2(e——l).

時+X,=1,

a01

X1+0%2+*3=0，

15.有解，其中為常數，若1a1=4則

%+2X+ax=0,

2312a

ax,+bx2=2

1a1

12a=.

ab0

【答案】8

011

1a1a0I

1a10

【解析】方程組有解，則IA|=]12a+21a1=0故

2a0

ab012a

b02

1a1

12"8.

ab0

16.設隨機變量x與y相互獨立，且xB(i,p),yB(2,p),P6(0,1)則x+y

與x-y的相關系數為.

【答案】--

3

【解析】由題意可得，D(X)=p(l-/2),D(Y)=2p(l-p),又由X與丫相互獨立可

知，D(X±Y)^D(X)+D(Y),故

Cov(x+y,x-y)________D(x)-D(y)

P{X+Y-X-Y}~g(x+Y)-JD(X-Y)―JD(X)+D(Y)7D(X)+D(Y5

D(x)-D(y)=pQ-p)-2p(l-p)=」

D(X)+D(Y)—p(l-p)+2p(l-p)~~3

三、解答題：17~22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知函數y=y(x)滿足aev+y2+y-In(l+x)cosy+b=0,且y(0)=0,/(0)=0.

(1)求a,9的值;

(2)判斷x=0是否為函數y=y(x)的極值點.

【解】(1)將y(0)=0代入ae*+y2+y-ln(l+x)cosy+人=0得a+8=0.

方程aex+y2+j-ln(l+x)cosy+b=0兩邊對x求導得

aex+2yy'+y'---------cosy+ln(l+x)siny?y'=0,

1+x

將y'(0)=0代入上式得a-1=0,解得。=1/=一1.

⑵由(1)知e"+2yy'+y'----—cosy+ln(l+x)siny-y*=0,上式兩邊再對x求導得

1+x

e'+2(/)2+2yy"+y"-------7cosyd———siny-y,Jr—!—siny+ln(l+x)cosy-y'y'+ln(l+x)siny?)

(1+x)1+JC|_l+x

將y(o)=o,y(o)=o代入上式得y(o)=-2,所以％=o是函數y=六為的極大值點.

18.(本題滿分12分)

已知平面區域(x,y)|()VyWJ，，無

Xy/1+X2,

(1)求平面區域。的面積S.

(2)求平面區域。繞X一周所形成得旋轉體的體積

_/、cr”l1PTsectpT1

［解］(1)S=-idx=—dt=L；-------dtt

Wl+-24tanrsec/匕sin/

------r-dcosz

1-cosr

7t

11cos-121[V2+1

—In-----------=—In———?

2cos+1￡2V2-1

~4

1

(2)V<Lr=

=4x2(l+x2)

19.(本題滿分12分)

已知。={(x,y)I(x—1)2+y2<l],求lldxdy.

D

【解】令3={(X,y)|(X—l)2+y2Wl,x2+y2〈1},則

JJl+,-儂dy

D

=JJ（4+y2_］Rdy+加一&+y2如），

DfA'

=JJ（J-+）,2-iji^dy+2“（1一出+,2.⑦

=『必9/+與"+2仁/命如d”法

2J3y

20.（本題滿分12分）

設函數/（x）在［-a,a］上有二階連續導數.

（1）證明：若/（0）=0,存在Je（—a,a）,使得/"⑹=±"（。）+/（-公］；

6r,

（2）若f（x）在（一名。）上存在極值，證明：存在”（—a,a）,使得

?r（7）^Ai/（?）-/（-?）I.

2a

【證明】（1）將/（x）在毛=0處展開為

小）=〃。）+八。）x+*=/3+號’

其中5介于0與x之間.

分別令x=-a和x=a,則

+中‘"

/9）=八0）（幻+，"室",0＜專＜。，

兩式相加可得

+—="”?飛）,

又函數/（行在上有二階連續導數，由介值定理知存在小€［。42］匚（—。,。），使得

即/?)=*"(—a)+/(a)].

⑵設f(x)在x0處取得極值,則八玉))=0.

將/(x)在/處展開為

f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+，嗎-獷=/Uo)+于⑻彳一飛),

其中S介于瓦與X之間.

分別令x=-a和x=a,則

/"(7)(。+入0)2

/(-?)=/U0)+-——―1~~—，-a<小<X。,

，/、〃、f"(小)(a-Xo￥

f(a)=f(xQ)+----丁~—，x0<r12<a,

兩式相減可得

/⑷_/(一。)=/(〃2)(。-/)，_f"(7)(a+飛產,

所以

\f(a)-f(-a)\=/嗎-X)一/嗎+/)2

“(7)|(a+x°)2?"〃(％)|(…°)?

22

<Ka+.I+(a-x°A](|廣⑺|=max(|)|,|/〃(％)1))

22

<+x0)+(a-x0)]=2a\f\rj)\,

B[J|r(7)|>-^-|/(?)-/(-a)|.

21.（本題滿分12分）

%]+々+&\

設矩陣A滿足對任意的七,入2，七均有Ax2=2%-x2+X3-

⑴求4

(2)求可逆矩陣尸與對角陣/,使得尸-4尸=/.

【解】(1)由A%=2xl-x24-x3得

Ix—x,

<X323

(X.yfi11Vx}y

'111](xjq

即方程組A-2-11X2=0對任意的王,々，％3均成立,故4=2

101

、0

1-2111-201

(2)|A-2E|=2-1-Z1=(2+4)20-2

01-1-201-1-2

=-(2+^)(2-2)(2+1)=0,

特征值為4=-2,4=2,4=-1.

'31nH00](0、

A+2E=211—o11,?=-1

J〔。ooj〔I,

、01

一11]p0-4]