第17章

虛位移原理※

引言※

約束及其分類※

自由度和廣義坐標※

以廣義坐標表示的質點系平衡條件※

虛位移原理※

虛位移和理想約束※質點系在有勢力作用下的平衡問題※

結論與討論第17章虛位移原理※引言※1

引言

虛位移原理是應用功的概念分析系統的平衡問題，是研究靜力學平衡問題的另一途徑。對于只有理想約束的物體系統，由于求知的約束反力不作功，有時應用虛位移原理求解比列平衡方程更方便。

虛位移原理與達朗伯原理結合起來組成動力學普遍方程，又為求解復雜系統的動力學問題提供另一種普遍的方法。這些理論構成分析力學的基礎。引言虛位移原理是應用功的概念分析2§17-1約束及其分類約束——物體運動所受到的限制1.

幾何約束與運動約束yxOAA0l幾何約束在質點系中，所加的約束只能限制各質點在空間的位置或質點系的位形。§17-1約束及其分類約束——物體運動所受到的3《理論力學》第十五章虛位移原理ppt課件4COyxvCC*運動約束在質點系中，所加的約束不僅限制各質點在空間的位置，還限制它們運動的速度。OyxAxByBxAyABvACOyxvCC*運動約束在質點系中，所加的約束不僅52.

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時間的約束：yxvOM2.定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時間的約63.

單面約束與雙面約束雙面約束——約束方程可以寫成等式的約束。

單面約束——約束方程不能寫成等式、但是可以寫成不等式的約束。BByxOyxO3.單面約束與雙面約束雙面約束——約束方程可以寫成等式7yxO單面約束還是雙面約束？約束方程？yxOAAA0lA0l3.

單面約束與雙面約束yxO單面約束還是雙面約束？約束方程？yxOAAA0lA0l84.

完整約束與非完整約束

完整約束——約束方程不包含質點速度，或者包含質點速度但約束方程是可以積分的約束。

非完整約束——約束方程包含質點速度、且約束方程不可以積分的約束。4.完整約束與非完整約束完整約束——約束方程不94.

完整約束與非完整約束COyxvCC*OyxAxByBxAyAvA約束方程不可積分，所以導彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。B4.完整約束與非完整約束COyxvCC*OyxAxByBx10§17-2廣義坐標與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標——確定質點系位形的獨立參變量。§17-2廣義坐標與自由度yxOlA(x,y11廣義坐標——確定質點系位形的獨立參變量。用q1，q2，…表示。自由度——在完整約束條件下，確定質點系位置的獨立參變量的數目等于系統的自由度數。對于穩定的完整約束，各質點的坐標可以寫成廣義坐標的函數形式N=3n—s廣義坐標——確定質點系位形的獨立參變量。自由度12§17-3虛位移和理想約束1.虛位移xyOBAMF質點系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個假想的位移，它與實位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。§17-3虛位移和理想約束1.虛位移xyOB13虛位移與實位移的區別和聯系（1）在完整定常約束下，實位移是諸多虛位移中的一個；MM1drdrerdr——實位移

r——虛位移實位移——質點或質點系在其真實運動中，在一定的時間間隔內發生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。虛位移與實位移的區別和聯系（1）在完整定常約束下，實位移142.虛功質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。W=F·

r3.理想約束質點或質點系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統稱為理想約束。W=M·

∑FNi·

ri

=02.虛功質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功—15§17-4虛位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主動力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對于具有理想約束的質點系，其平衡條件是：作用于質點系的主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理§17-4虛位移原理FiFNim1m2miriF16

∑Fi·

ri=0上式稱為虛位移原理的解析表達式應用虛位移原理解題時，主要是建立虛位移間的關系，通常采用以下方法：（1）通過運動學關系，直接找出虛位移間的幾何關系；（2）建立坐標系，選廣義坐標，然后仿照函數求微分的方法對坐標求變分，從而找出虛位移（坐標變分）間的關系。∑Fi·ri=0上式稱為虛位移原理的17例題1已知：OA=r

,AB=l,不計各桿質量。求：平衡時F與M間的關系。BAO解：取系統為研究對象

∑Fi·

ri=0由運動學關系可知：MF例題1已知：OA=r,AB=l,不計各桿質量18CBADM例題2已知：菱形邊長為a

,求：物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2，主動力偶為M.FNrArC解：(1)取系統為研究對象(2)建立虛位移間的關系CBADM例題2已知：菱形邊長為a,求：19xyCBADMFN解法二：取建立圖示坐標系xyCBADMFN解法二：取建立圖示坐標系20rCOABCDPQ例題3圖示操縱汽門的杠桿系統，已知OA/OB=1/3，求此系統平衡時主動力P和Q間的關系。rBrA解：(1)取系統為研究對象由運動學關系可知：rCOABCDPQ例題3圖示操縱汽門的杠桿系統，21例題4圖示系統中除連接H點的兩桿長度為l外,其余各桿長度均為2l,彈簧的彈性系數為k,當未加水平力P時彈簧不受力，且=0，求平衡時水平力P的大小。解：(1)建立圖示坐標系(2)系統的虛功方程例題4圖示系統中除連接H點的兩桿長度為l外,其余22(2)系統的虛功方程(2)系統的虛功方程23例題5求圖示連續梁的支座反力。PMqll2lABCD解：(1)解除D處約束，代之以反力FD，并將其視為主動力。PMqABCDFDsEsD其中解得例題5求圖示連續梁的支座反力。PMqll2lABCD解24(2)解除B處約束，代之以反力FB，并將其視為主動力。FBsBsCPMqABCD其中解得sE由虛功方程，得代入虛功方程，得(2)解除B處約束，代之以反力FB，并將其視為主動力。F25PMqABCDFAsAsCsE(3)解除A處約束，代之以反力FA，并將其視為主動力。由虛功方程，得其中代入虛功方程，得解得PMqABCDFAsAsCsE(3)解除A處約束，代26§17-5用廣義坐標表示的質點系平衡條件qk——廣義虛位移§17-5用廣義坐標表示的質點系平衡條件qk——27Qk——廣義力Q1

=Q2

=…=Qk=0★質點系的平衡條件是所有的廣義力都等于零令Qk——廣義力Q1=Q2=…=Qk=28廣義力的計算方法1.按定義計算2.用一組特定的廣義坐標變分來計算廣義力的計算方法1.按定義計算2.用一組特定的廣292yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB例題6求平衡時1、2與FA、

FB、

F間的關系。解法一：按定義計算，取1、2為系統的廣義坐標。2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAF302yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB解得2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAF31解法二：（1）令：1≠0，2=0

yxOAB1解得解法二：（1）令：1≠0，2=0yxOAB32（2）令：1=0，2≠

0

yxOAB1解得（2）令：1=0，2≠0yxOAB133ACEDBM1M2M360°60°例題7已知：AC=CD=DE，M1求：平衡時M2、M3。解：（1）令：1≠0，2=0

ACEDB11解得ACEDBM1M2M360°60°例題7已知：AC=34ACEDBM1M2M360°60°解：（2）令：2≠0，1=0

32ACEDB60°rBrE由運動學關系可知：解得ACEDBM1M2M360°60°解：（2）令：2≠35§17-6質點系在有勢力作用下的平衡問題1.平衡條件某質點系由n個質點組成，內有d個完整、定常的理想約束，處于勢力場中。作用在各質點上的主動力Fi都是有勢力，因此，該質點系是保守系統，它的勢能函數V可以表示為各質點坐標的函數，即這些主動力Fi主可以有勢能函數對坐標的偏導數表示，即將上式代入虛功方程，得§17-6質點系在有勢力作用下的平衡問題1.平衡36上式表明，在勢力場中，具有完整、定常的理想約束的質點系其平衡的充分必要條件是：該質點系勢能的一階變分等于零。當選擇廣義坐標，則直角坐標表示的勢能函數可改寫為用廣義坐標表示的勢能函數上式表明，在勢力場中，具有完整、定常的理想約束的質37因此用廣義坐標表示的平衡條件可寫成如下形式：2.平衡穩定性的概念（a）穩定平衡（b）非穩定平衡（c）隨遇平衡。因此用廣義坐標表示的平衡條件可寫成如下形式：2.平衡穩定383.單自由度系統平衡穩定性質的判別方法平衡位置：3.單自由度系統平衡穩定性質的判別方法平衡位置：39例題8已知：AB=l，m,R。求：平衡位置并判別其穩定性。OABmgCxy解：取為其廣義坐標，建立圖示坐標系。例題8已知：AB=l，m,R。求：平衡位置并判別40llOAmm

研究：1、應用勢能駐值定理，確定蹺板的可能平衡位形；蹺板2、應用機械能守恒確定蹺板作二維微振動的振動方程；3、確定二維微振動的固有頻率與運動穩定性條件。如圖所示為玩具蹺板簡圖。在不計質量的木釘上固結兩個與木釘夾角為

的剛性臂。臂端分別安裝的質量均為m的小球。兩臂等長均為。釘長OA＝d

，分別與兩臂所夾角的范圍。將木釘的尖端O放置在柱形支承的表面，玩者可隨意讓蹺板旋轉或擺動。蹺板llOAmm研究：1、應用勢能駐值定理，確定蹺板的可能41OAmmllC2mg

解：一般情形下，蹺板繞點O作定點運動。本例主要研究二維運動，因此，這是一個自由度的理想約束系統。取為廣義坐標。以支點O作為零勢能位置1.蹺板的靜平衡位置OAmmllC2mg解：一般情形下，蹺板繞點O作定點42OAmmllC2mgOAmmllC2mg43OAmmllC2mg2.蹺板的二維微振動方程為了計算系統的動能，令l1為每個小球到支點O的距離，系統的總動能為系統的總勢能為由系統的機械能守恒，得將上式對時間求導，并注意到：得蹺板的二維微振動方程OAmmllC2mg2.蹺板的二維微振動方程44OAmmllC2mg3.蹺板的固有頻率OAmmllC2mg3.蹺板的固有頻率45

結論與討論1.虛位移質點系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移——虛位移作用在質點上的力在虛位移上所做的功——虛功2.理想約束質點或質點系的約束