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直線一級倒立擺的牛頓—歐拉方法建模直線一級倒立擺的牛頓—歐拉方法建模概述系統建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統的輸入—輸出關系；機理建模就是在了解研究對象的運動規律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起系統內部的輸入—狀態關系。概述系統建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。建模方法對于倒立擺系統，由于其本身是自不穩定的系統，實驗建模存在一定的困難。但經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統就是一個典型的運動的剛體系統，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程。建模方法對于倒立擺系統，由于其本身是自不穩系統模型在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖所示。系統模型在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將系統模型

我們不妨做以下假設：M 小車質量m 擺桿質量b 小車摩擦系數l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度I 擺桿慣量F 加在小車上的力x 小車位置a

擺桿與垂直向上方向的夾角系統模型我們不妨做以下假設：微分方程的推導下面是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車和擺桿相互作用力的水平和垂直的分量。注意：圖示方向為矢量正方向。微分方程的推導下面是系統中小車和擺桿的受力微分方程的推導分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：微分方程的推導分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程微分方程的推導分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：擺桿水平方向的受力進行分析，可以得到下面等式：

即：代入上式中，得到系統的第一個運動方程：

微分方程的推導分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程微分方程的推導

分析擺桿垂直方向所受的合力，可以得到以下方程：即：力矩平衡方程如下：

合并這兩個方程，約去P和N，得到系統的第二個運動方程：

微分方程的推導分析擺桿垂直方向所受的合力，可以得到以下方程微分方程的推導假設很小，即，則可以進行近似處理：用來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下：微分方程的推導假設很小，即，則可以傳遞函數對方程組(1.3)進行拉普拉斯變換，得到整理消去X(s)后得到傳遞函數：(假設初始條件為0)其中：傳遞函數對方程組(1.3)進行拉普拉斯變換，得到整理消去X(狀態空間方程系統狀態空間方程為：方程組(1.3)對，解代數方程，得到解如下：狀態空間方程系統狀態空間方程為：方程組(1.3)對，狀態空間方程整理后得到系統狀態空間方程：狀態空間方程整理后得到系統狀態空間方程：開環系統仿真實際系統的模型參數如下：M 小車質量m 擺

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