1第八章函數主要內容函數的定義與性質函數定義函數性質函數運算函數的逆函數的合成雙射函數與集合的基數1第八章函數主要內容28.1

函數的定義與性質主要內容函數定義與相關概念函數定義函數相等從A到B的函數f:ABBA函數的像與完全原像函數的性質單射、滿射、雙射函數的定義與實例構造雙射函數某些重要的函數28.1函數的定義與性質主要內容3函數定義定義8.1

設F為二元關系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,則稱F為函數

對于函數F,如果有xFy,則記作y=F(x),并稱y為F在x的值.例F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}F2={<x1,y1>,<x1,y2>}F1是函數,F2不是函數定義8.2

設F,G為函數,則

F=G

FG∧GF

如果兩個函數F和G

相等,一定滿足下面兩個條件：

(1)domF=domG

(2)x∈domF=domG都有F(x)=G(x)函數F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因為domFdomG.3函數定義定義8.1設F為二元關系,若x∈do4從A到B的函數定義8.3

設A,B為集合,如果

f為函數,domf=A,ranfB,則稱f為從A到B的函數,記作f：A→B.例f：N→N,f(x)=2x是從N到N的函數,g：N→N,g(x)=2也是從N到N的函數.定義8.4

所有從A到B的函數的集合記作BA,符號化表示為BA={f|f：A→B}|A|=m,|B|=n,且m,n>0,|BA|=nmA=,則BA=B={}A≠且B=,則BA=A=

4從A到B的函數定義8.3設A,B為集合,如果定義85實例例1

設A={1,2,3},B={a,b},求BA.解BA={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}

f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}

f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}

f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}

f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}5實例例1設A={1,2,3},B={a,b},求6函數的像和完全原像定義8.5

設函數f：A→B,A1A,B1B(1)A1在f下的像

f(A1)={f(x)|x∈A1},函數的像

f(A)(2)B1在f下的完全原像

f1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}注意：函數值與像的區別：函數值f(x)∈B,像f(A1)B一般說來f1(f(A1))≠A1,但是A1f1(f(A1))例設f：N→N,且令A={0,1},B={2},那么有

f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}

f1(B)=f1({2})={1,4}6函數的像和完全原像定義8.5設函數f：A→B,A17函數的性質定義8.6

設f：A→B,(1)若ranf=B,則稱f:A→B是滿射的(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,則稱f:A→B

是單射的(3)若f:A→B既是滿射又是單射的,則稱f:A→B是雙射的例2

判斷下面函數是否為單射,滿射,雙射的,為什么?(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1(2)f:Z+→R,f(x)=lnx,Z+為正整數集(3)f:R→Z,f(x)=x(4)f:R→R,f(x)=2x+1(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+為正實數集.

7函數的性質定義8.6設f：A→B,例2判斷下面8例題解答解(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1

在x=1取得極大值0.既不是單射也不是滿射的(2)f:Z+→R,f(x)=lnx

是單調上升的,是單射的.但不滿射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f:R→Z,f(x)=x

是滿射的,但不是單射的,例如f(1.5)=f(1.2)=1(4)f:R→R,f(x)=2x+1

是滿射、單射、雙射的,因為它是單調函數并且ranf=R(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x

有極小值f(1)=2.該函數既不是單射的也不是滿射的8例題解答解9實例例3

對于給定的集合A和B構造雙射函數f:A→B(1)A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}(2)A=[0,1],B=[1/4,1/2](3)A=Z,B=N(4),B=[1,1]9實例例3對于給定的集合A和B構造雙射函數f:A→B10解答(1)A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

B={f0,f1,…,f7},其中

f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},

f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},

f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},

f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.

令f:A→B,f()=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f7

10解答(1)A={,{1},{2},{3},{1,11(2)令f:[0,1]→[1/4,1/2],f(x)=(x+1)/4(4)令f:[π/2,3π/2]→[1,1]

f(x)=sinx

解答(3)將Z中元素以下列順序排列并與N中元素對應：

Z：0112233…

↓↓↓↓↓↓↓

N：0123456…

這種對應所表示的函數是：11(2)令f:[0,1]→[1/4,1/2],f(12某些重要函數定義8.7

(1)設f:A→B,如果存在c∈B使得對所有的x∈A都有f(x)=c,

則稱f:A→B是常函數.(2)稱A上的恒等關系IA為A上的恒等函數,對所有的x∈A都有IA(x)=x.(3)設<A,?>,<B,?>為偏序集，f:A→B，如果對任意的x1,

x2∈A,x1?x2,就有f(x1)?f(x2),則稱f為單調遞增的；如果對任意的x1,x2∈A,x1?x2,就有f(x1)?f(x2),則稱f為嚴格單調遞增的.類似的也可以定義單調遞減和嚴格單調遞減的函數12某些重要函數定義8.7 13(4)設A為集合,對于任意的A'A,A'的特征函數A

':A→{0,1}定義為A'(a)=1,a∈A'

A'(a)=0,a∈AA'(5)設R是A上的等價關系,令

g:A→A/R

g(a)=[a],a∈A稱g是從A到商集A/R的自然映射某些重要函數13(4)設A為集合,對于任意的A'A,A'的特征函14實例例4(1)偏序集<P({a,b}),R>,<{0,1},≤>,R為包含關系,≤為一般的小于等于關系,令

f:P({a,b})→{0,1},f()=f({a})=f({b})=0,f({a,b})=1,f是單調遞增的,但不是嚴格單調遞增的(3)不同的等價關系確定不同的自然映射,恒等關系確定的自然映射是雙射,其他自然映射一般來說只是滿射.例如

A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>}∪IAg:A→A/R,g(1)=g(2)={1,2},g(3)={3}(2)A的每一個子集A’都對應于一個特征函數,不同的子集對應于不同的特征函數.例如A={a,b,c},則有

={<a,0>,<b,0>,<c,0>}，{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}14實例例4(1)偏序集<P({a,b}),R>,158.2函數的復合與反函數

主要內容復合函數基本定理函數的復合運算與函數性質反函數的存在條件反函數的性質158.2函數的復合與反函數主要內容16復合函數基本定理定理8.1

設F,G是函數,則FG也是函數,且滿足(1)dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}(2)x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))證先證明FG是函數.因為F,G是關系,所以FG也是關系.若對某個x∈dom(FG)有xF

Gy1和xFGy2,則

<x,y1>∈FG∧<x,y2>∈FGt1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G)t1t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G（F為函數）y1=y2（G為函數）所以FG為函數16復合函數基本定理定理8.1設F,G是函數,則FG17證明任取x,

x∈dom(FG)

ty(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)

t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)

x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}

任取x,

x∈domF∧F(x)∈domG

<x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G

<x,G(F(x))>∈FG

x∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x))所以(1)和(2)得證17證明任取x,

x∈dom(FG)

18推論推論1

設F,G,H為函數,則(FG)H和F(GH)都是函數,且(FG)H=F(GH)證由上述定理和運算滿足結合律得證.推論2

設f:A→B,g:B→C,則fg:A→C,且x∈A都有

fg(x)=g(f(x))證由上述定理知fg是函數,且

dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}

={x|x∈A∧f(x)∈B}=Aran(fg)rang

C因此fg:A→C,且x∈A有fg(x)=g(f(x))18推論推論1設F,G,H為函數,則(FG)H19函數復合與函數性質定理8.2

設f:A→B,g:B→C

(1)如果f:A→B,g:B→C是滿射的,則fg:A→C也是滿射的(2)如果f:A→B,g:B→C是單射的,則fg:A→C也是單射的

(3)如果f:A→B,g:B→C是雙射的,則fg:A→C也是雙射的A={a1,a2},B={b1,b2,b3}，C={c1,c2}.

f={<a1,b1>,<a2,b2>},g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}

fg={<a1,c1>,<a2,c2>}f:A→B和f

g:A→C是單射的,但g:B→C不是單射的.A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3},C={c1,c2}.

f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>},g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}

fg={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}g:B→C和fg:A→C是滿射的,但f:A→B不是滿射的.19函數復合與函數性質定理8.2設f:A→B,g:B→C20反函數反函數存在的條件(1)任給函數F,它的逆F1不一定是函數,只是一個二元關系.(2)任給單射函數f:A→B,則f1是函數,且是從ranf到A的雙射函數,但不一定是從B到A的雙射函數(3)對于雙射函數f:A→B,f1:B→A是從B到A的雙射函數.定理8.4

設f:A→B是雙射的,則f1:B→A也是雙射的.證明思路：先證明f1:B→A，即f1是函數，且domf1=B,ranf1=A.再證明f

1:B→A的雙射性質.20反函數反函數存在的條件定理8.4設f:A→B是雙射21證明證因為f是函數,所以f1是關系,且

domf

1=ranf=B,ranf1=domf=A對于任意的x∈B=domf1,假設有y1,y2∈A使得

<x,y1>∈f1∧<x,y2>∈f

1成立,則由逆的定義有

<y1,x>∈f∧<y2,x>∈f根據f的單射性可得y1=y2,從而證明了f

1是函數，且是滿射的.若存在x1,x2∈B使得f

1(x1)=f1(x2)=y,從而有

<x1,y>∈f

1∧<x2,y>∈f

1<y,x1>∈f∧<y,x2>∈f

x1=x2

對于雙射函數f:A→B,稱f

1:B→A是它的反函數.

21證明證因為f是函數,所以f1是關系,且22反函數的性質定理8.5

(1)設f:A→B是雙射的,則f

1f=IB,ff1=IA(2)對于雙射函數f:A→A,有f

1

f=f

f

1=IA

證明思路：根據定理可知f

1:B→A也是雙射的,由合成基本定理可知

f

1f:B→B,f

f

1:A→A，且它們都是恒等函數.

例5

設

求f

g,g

f.如果f和g存在反函數,求出它們的反函數.22反函數的性質定理8.5例5設23解f:R→R不是雙射的,不存在反函數.g:R→R是雙射的,它的反函數是

g1:R→R,g1(x)=x2求解23解f:R→R不是雙射的,不存在反函數.求解248.3

雙射函數與集合的基數主要內容集合的等勢及其性質重要的等勢或不等勢的結果集合的優勢及其性質集合的基數可數集248.3雙射函數與集合的基數主要內容25則f是Z到N的雙射函數.從而證明了Z≈N.

集合的等勢集合等勢的實例例6(1)Z≈N.定義8.8

設A,B是集合,如果存在著從A到B的雙射函數,就稱A和B是等勢的,記作A≈B.如果A不與B等勢,則記作A?B.25則f是Z到N的雙射函數.從而證明了Z≈N.

集合26集合等勢的實例:N×N≈NN×N≈N.N×N中所有的元素排成有序圖形26集合等勢的實例:N×N≈NN×N≈N.N×N中27-2/1[5]-1/1[4]-3/1[18]2/1[10]3/1[11]0/1[0]1/1[1]-2/2-1/2[3]-3/2[17]2/23/2[12]0/21/2[2]-2/3[6]-1/3[7]-3/32/3[9]3/30/31/3[8]-2/4-1/4[15]-3/4[16]2/43/4[13]0/41/4[14]……………………PLAYN≈Q.雙射函數f:N→Q,其中f(n)是[n]下方的有理數.集合等勢的實例:N≈Q27-2/1[5]-1/1[4]-3/1[18]2/1[1028

對任何a,b∈R,a<b,[0,1]≈[a,b]，雙射函數f:[0,1]→[a,b],

f(x)=(ba)x+a類似地可以證明,對任何a,b∈R,a<b,有(0,1)≈(a,b).(4)(0,1)≈R.其中實數區間(0,1)={x|x∈R∧0<x<1}.令(5)[0,1]≈(0,1).其中(0,1)和[0,1]分別為實數開區間和閉區間.令f:[0,1](0,1)實數集合的等勢28對任何a,b∈R,a<b,[0,1]≈[a,b]29等勢的性質及結果定理8.6

設A,B,C是任意集合，(1)A≈A(2)若A≈B，則B≈A(3)

若A≈B，B≈C，則A≈C.不等勢的結果:定理8.7(康托定理)(1)N?R；

(2)

對任意集合A都有A?P(A)等勢結果N≈Z≈Q≈N×N任何實數區間都與實數集合R等勢29等勢的性質及結果定理8.6設A,B,C是任意集合，不30集合的優勢定義8.9(1)設A,B是集合,如果存在從A到B的單射函數,就稱B優勢于A,記作A?B.如果B不是優勢于A,則記作A?B.(2)設A,B是集合,若A?B且AB,則稱B真優勢于A,記作

A?B.如果B不是真優勢于A,則記作A?B.實例N?N,N?R,A?P(A),R?NN?R,A?P(A),但N?N定理8.8

設A,B,C是任意的集合,則(1)A?A(2)若A?B且B?A,則A≈B(3)若A?B且B?C,則A?C

30集合的優勢定義8.9(1)設A,B是集合,如31集合基數的定義定義8.10(1)對于有窮集合A,稱A的元素個數為A的基數,記作cardA(也可以記作|A|)cardA=n

A≈n

(2)自然數集合N的基數記作0,即cardN

=0(3)實數集R的基數記作,即

cardR

=

31集合基數的定義定義8.1032基數的相等和大小定義8.11

設A,B為集合,則(1)cardA=cardB

A≈B(2)cardA≤cardB

A?B(3)cardA<cardBcardA≤cardB∧cardA≠cardB根據上一節關于勢的討論不難得到：

cardZ

=cardQ=cardN×N

=0

cardP(N)=card2N

=card[a,b]=card(c,d)=

0<cardA<cardP(A)其中2N

={0,1}N32基數的相等和大小定義8.11設A,B為集合,則根33基數的大小不存在最大的基數.將已知的基數按從小到大的順序排列就得到：

0,1,2,…,n,…,0,,…

其中：

0,1,2…,n,…是全體自然數,是有窮基數.0,,…是無窮基數,0是最小的無窮基數,后面還有更大的基數,如cardP(R)等.33基數的大小不存在最大的基數.將已知的基數按從小到大的順34可數集定義8.12

設A為集合,若cardA≤0,則稱A為可數集或可列集.實例：{a,b,c},5,整數集Z,有理數集Q,N×N等都是可數集,實數集R不是可數集,與R等勢的集合也不是可數集.對于任何的可數集,它的元素都可以排列成一個有序圖形.換句話說,都可以找到一個“數遍”集合中全體元素的順序.可數集的性質：可數集的任何子集都是可數集.兩個可數集的并是可數集.兩個可數集的笛卡兒積是可數集.可數個可數集的笛卡兒積仍是可數集.無窮集A的冪集P(A)不是可數集34可數集定義8.12設A為集合,若cardA≤0,35實例解(1)由T={B,A,S,E,L}知cardT=5(2)由B=,可知cardB=0.(3)由|A|=4可知cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.例7

求下列集合的基數(1)T={x|x是單詞“BASEBALL”中的字母}(2)B={x|x∈R∧x2=9∧2x=8}(3)C=P(A),A={1,3,7,11}

35實例解(1)由T={B,A,S,E,L}知36例8

設A,B為集合,且cardA=0,cardB=n,n是自然數,n≠0.

求cardA×B.實例解方法一構造雙射函數由cardA=0,cardB=n,可知A,B都是可數集.令

A={a0,a1,a2,…},B={b0,b1,b2,…,bn1}對任意的<ai,bj>,<ak,bl>∈A×B有

<ai,bj>=<ak,bl>

i=k∧j=l定義函數

f:A×B→N

f(<ai,bj>)=in+j,i=0,1,…,j=0,1,…,n1易見f是A×B到N的雙射函數,所以

cardA×B=card

N=036例8設A,B為集合,且cardA=0,ca37方法二直接使用可數集的性質求解.因為cardA=0,cardB=n,所以A,B都是可數集.根據性質(3)可知A×B也是可數集,所以

cardA×B≤0顯然當B≠時,cardAcardA×B,這就推出0cardA×B綜合上述得到

cardA×B=0.實例37方法二直接使用可數集的性質求解.實例38第八章習題課主要內容函數，從A到B的函數f:AB，BA，函數的像與完全原像函數的性質：單射、滿射、雙射函數重要函數：恒等函數、常函數、單調函數、集合的特征函數、自然映射集合等勢的定義與性質集合優勢的定義與性質重要的集合等勢以及優勢的結果集合基數的定義38第八章習題課主要內容39基本要求給定f,A,B,判別f是否為從A到B的函數判別函數f:AB的性質（單射、滿射、雙射）熟練計算函數的值、像、復合以及反函數證明函數f:AB的性質（單射、滿射、雙射）給定集合A,B，構造雙射函數f:AB

能夠證明兩個集合等勢能夠證明一個集合優勢于另一個集合知道什么是可數集與不可數集會求一個簡單集合的基數39基本要求給定f,A,B,判別f是否為從A到B40練習11．給定A,B和f,判斷是否構成函數f:A→B.如果是,說明該函數是否為單射、滿射、雙射的.并根據要求進行計算.(1)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}.(2)A,B同(1),f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}.(3)A,B同(1),f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}.(4)A=B=R,f(x)=x3(5)A=B=R+,f(x)=x/(x2+1).(6)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y,xy>,令

L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},計算

f(L).(7)A=N×N,B=N,f(<x,y>)=|x2y2|.計算f(N×{0}),f1({0})40練習11．給定A,B和f,判斷是否構成函數f:41解解答(1)能構成f:A→B,f:A→B既不是單射也不是滿射,因為

f(3)=f(5)=9,且7ranf.(2)不構成f:A→B,因為f不是函數.<1,7>∈f且<1,9>∈f,與函數定義矛盾(3)不構成f:A→B,因為domf={1,2,3,4}≠A(4)能構成f:A→B,且f:A→B是雙射的(5)能構成f:A→B,f:A→B既不是單射的也不是滿射的.因為該函數在x=1取極大值f(1)=1/2.函數不是單調的,且ranf≠R+.(6)能構成f:A→B,且f:A→B是雙射的.

f(L)={<2x+1,1>|x∈R}=R×{1}(7)能構成f:A→B,f:A→B既不是單射的也不是滿射的.因為

f(<1,1>)=f(<2,2>)=0,2ranf.

f(N×{0})={n202|n∈N}={n2|n∈N}

f1({0})={<n,n>|n∈N41解解答(1)能構成f:A→B,f:A→B既不是單射42練習22.設f1,f2,f3,f4RR，且令Ei是由fi導出的等價關系，i=1,2,3,4，即xEiy

fi(x)=fi(y)(1)畫出偏序集<{R/E1,R/E2,R/E3,R/E4},T>的哈斯圖，其中T

是加細關系：

<R/Ei,R/Ej>T

x(xR/Eiy(yR/Ej

xy))(2)gi:RR/Ei是自然映射，求gi(0),i=1,2,3,4.(3)對每個i,說明gi的性質（單射、滿射、雙射）.42練習22.設f1,f2,f3,f4RR43(1)哈斯圖如下(2)g1(0)={x|xRx0},g2(0)={0},g3(0)=Z,g4(0)=R(3)g1,g3,g4是滿射的；g2是雙射的.解圖1解答43(1)哈斯圖如下解圖1解答44練習33．對于以下集合A和B，構造從A到B的雙射函數f:A→B(1)A={1,2,3}，B={a,b,c}(2)A=(0,1)，B=(0,2)(3)A={x|xZ∧x<0}，B=N

(4)A=R，B=R+

解(1)f={<1,a>,<2,b>,<3,c>}(2)f:AB,f(x)=2x(3)f:AB,f(x)=x1(4)f:AB,f(x)=ex

44練習33．對于以下集合A和B，構造從A到B的雙射函數f454.設證明f既是滿射的，也是單射的.

證任取<u,v>RR，存在使得

練習4因此f是滿射的對于任意的<x,y>,<u,v>RR,有因此f是單射的.454.設證任取<u,v>RR，存在使得練習4因此46證明方法1.證明f:AB是滿射的方法:任取yB,找到x(即給出x的表示)或者證明存在xA，使得f(x)=y.2.證明f:AB是單射的方法方法一x1,x2A,f(x1)=f(x2)…x1=x2

推理前提推理過程推理結論方法二x1,x2A,x1x2

…f(x1)f(x2)

推理前提推理過程推理結論3.證明f:AB不是滿射的方法：找到yB,yranf

4.證明f:AB不是單射的方法：找到x1,x2A,x1x2,且

f(x1)=f(x2)46證明方法1.證明f:AB是滿射的方法:任取y475.設A,B為二集合,證明：如果A≈B,則P(A)≈P(B)練習5證因為A≈B，存在雙射函數f