魯教版初三數學知識點編輯人:魯東大學08級經濟系李建鵬第一章分式一、分式1?分式的概念：如果整式A除以整式B,可以表示成A的形式，且除式B中B含有字母，那么稱式子A為分式。其中,A叫分式的分子，BB叫分式的分母。注意：①判斷一個代數式是否為分式，不能將它變形，不能約分后去判斷，即使它約分后是整式也不能說它就是整式,約分之前是分式這個式子就是分式。女口：X2/x是分式，雖然約分之后等于x是整式，但約分前是分式。②n是常數，所以a/n不是分式而是整式。2?有理式：整式和分式統稱有理式。(整式的分母中不含有字母)關于分式的幾點說明：分式的分母中必須含有未知數；分式是兩個整式相除的商式，對任意一個分式，分母都不為零；分數線有除號和括號的作用，如：出表示(a+b)三(c—d)；c一d“分式的值為零”包含兩層意思：一是分式有意義(分母工0),二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”。4?一般的，對分式A/B都有：①分式有意義=BH0；分式無意義^B=0；分式的值為0=A=0且B#0；分式的值大于0分子分母同號；分式的值小于0=分子分母異號。5．基本性質：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式值不變。二、分式的乘除法分式的乘除法則:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的冪相除。約分:把一個分式的分子和分母的公因式（不為1的數）約去，這種變形稱為約分。注意:①當分式的分子分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式時,直接約分；分式的分子和分母都是多項式時，將分子和分母分解因式再約分。最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般要將一個分式化為最簡分式。三、分式的加減法通分:利用分式的基本性質,把異分母的分式化為同分分母的過程。通分原則:異分母通分時,通常取各分母的最簡公分母作為它們的共同分母。通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變為最簡公分母，同時各分式按照分母所擴大的倍數,相應擴大各自的分子。最簡公分母的確定方法:系數取各因式系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪及單獨字母的冪的乘積。法則:同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,再按同分母分式的加減法法則進行計算。四、分式方程概念:分母中含有未知數的方程叫做分式方程。分式方程的解法:①去分母（方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程化為整式程若遇到互為相反數時，不要忘了改變符號）；按解整式方程的步驟求出未知數的值；③驗根。3.分式方程的增根:在方程變形時，有時會產生不適合原方程的根即代入方程后分母的值為0的根，叫做原方程的增根。例題：m取時，方程丄-2=旦會產生增根（或說無解）。x—3x—3（思路）在這里增根就是x=3,但不能直接帶入方程求m,所以要先去分母再將x=3帶入求m第二章相似圖形一、線段的比概念:在同一單位長度下，兩條線段的長度的比叫這兩條線段的比。在a:b或(中,a叫比例的前項,b叫比例的后項。注意:①若a:b=k,說明a是b的k倍；兩條線段的比與所采用的長度單位無關，但求比時兩條線段的長度單位必須一致；兩條線段的比值是一個沒有單位的正數；除a=b夕h,a:b#b:a,a/b與b/a互為倒數。二、比例線段1?概念：四條線段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即a:b二c:d(或a/b=c/d),那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡稱比例線段。a、b、c、d叫比例的項,其中，a、d叫外項,b、c叫內項。比例中項:當a:b=b:c時，稱b為a與c的比例中項。(b2=ac)性質:內項之積等于外項之積若a/b=c/d則ad=bc合比性質若a/b=c/d則(a+b)/b=(c+d)/d分比性質若a/b=c/d則(a-b)/b=(c-d)/d等比性質若a/b二c/d=...=m/n(b+d+...+n#0)，貝ij(a+c+…+m)/(b+d+...+n)=a/b合分比性質若a/b=c/d貝(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)更比性質若a/b=c/d貝c/a=d/b(當然也就有a/c=b/d)反比性質若a/b=c/d貝b/a=d/c三、形狀相同的圖形例如:兩個半徑不相等的圓；所有的等邊三角形；所有的正方形；所有的正六邊形。一個圖形各點的橫坐標、縱坐標都乘以或除以同一個數，則連接所得到點的圖形與原圖形形狀相同。四、相似三角形概念:對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形（相似符號為“s”）。平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。A相似比：相似三角形對應邊的比叫做相似比。2.全等一定相似，相似不一定全等（全等△是相似△中相似比為1時的特殊情況）五、探索三角形相似的條件1．定義判定：對應角相等、對應邊成比例2．判定1：兩個角對應相等判定2：兩邊對應成比例且夾角相等判定3：三邊對應成比例Rt△相似的判定：（除上述三個外）斜邊與一直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。（補充）射影定理：在RtAABC中，ZACB=90。，CD是斜邊AB上的高，則AC2二AD?ABBC2=BD?ABCD2二AD?BD（補充）三角形的重心概念:三角形三條中線的交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍。六、相似三角形的性質1．相似三角形的三個對應角相等，三邊對應成比例；2．相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比，3.相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方。七、測量旗桿的高度（略）八、相似多邊形概念:對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。性質:性質1：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例；性質2：相似多邊形的周長之比等于相似比;面積之比等于相似比的平方。九、位似圖形概念:如果兩圖形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比。性質:位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。探索:①利用位似可以把一個圖形放大或縮小；對應點連線都交于位似中心，對應線段平行或在一條直線上；在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.。第三章證明（一）一、定義與命題定義的概念:能清楚地規定某一名稱或術語的句子叫做該名稱或術語的定義。命題的概念:一般地,判斷一件事情的句子，叫做命題（命題必須是對某事作出判斷）。命題的特征:每個命題都是由條件和結論兩部分組成，條件是已知的事項結論是由已知事項推斷出的事項。一般地,命題都可以寫成“如果……，那么……”的形式其中,“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結論。真假命題:如果條件成立，那么結論成立（正確的命題）,像這樣的命題叫做真命題；條件成立時，不能保證結論總是正確的，也就是說結論不成立（錯誤的命題），這樣的命題叫做假命題。二、證明的必要性三、公理與定理公理:通過長期實踐總結出來，并且被人們公認的真命題叫做公理。定理:通過推理得到證實的真命題叫做定理,可以作為判斷其它命題真假的依據。本教科書選用如下命題作為公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡單說成：同位角相等，兩直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。也可以簡單說成：兩直線平行，同位角相等。兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。三邊對應相等的兩個三角形全等。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。此外，等式的有關性質和不等式的有關性質都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替”，簡稱為“等量代換”。四、平行線的判定定理五、平行線的性質定理把一個命題的條件和結論交換后,就構成了一個新的命題。如果把原來的命題叫做原命題,那么這個新的命題就叫做原命題的逆命題。一個命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題。六、三角形內角和定理三角形三個內角之和為1800；直角三角形的兩個銳角互余。關于輔助線：輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線（輔助線通常畫成虛線）；它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現出來，起到牽線搭橋的作用；添加輔助線，可構造新圖形，形成新關系，找到聯系已知與未知的橋梁，把問題轉化，但輔助線的添法沒有一定的規律，要根據需要而定,平時做題時要注意總結。第四章數據的收集與處理一、普查和抽樣調查普查:為了一定的目的而考察對象進行的全面調查,稱為普查。其中，所要考察的對象的全體稱為總體,而組成總體的每一個考察對象稱為個體。普查的優點及缺陷:可以直接獲得總體情況,但總體中個體數目很多時,工作量大,無法一一考察；有時受客觀條件的限制,無法對個體一一考查；有時調查具有破壞性,不允許對個體一一考查。抽樣調查:從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查,其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本,樣本中的個體的數目稱為樣本容量。二、數據的收集議一議:抽樣調查時應注意什么?答:抽樣調查時要注意樣本的代表性、廣泛性和真實性:即被調查的對象不得太少，被調查對象應是隨意抽取的，調查數據應是真實的。抽樣調查的可行性：抽樣調查只考查總體的一部分，因此其優點是調查范圍小，節省時間、人力、物力和財力；但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。三、數據的整理對數據進行分組整理,就是將收集到的所有數據按照一定的標準劃分為若干組。通過分組整理,可比較清晰地掌握數據的整體分布情況。四、頻數和頻率我們稱每個考查對象出現的次數為頻數,而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。公式:頻率二頻數/總次數f頻數二總次數X頻率；總次數二頻數/頻率頻數之和=總次數；頻率之和=1頻數、頻率、頻數分布表、頻數分布直方圖和頻數分布折線圖都反映了一組數據的分布情況。五、數據的波動極差的概念:刻畫數據離散程度（即相對于“平均水平”的偏離情況）的一個統計量,是指一組數據中最大數據與最小數據的差（極差=最大值-最小值）。極差的意義:極差是最簡單的一種度量數據波動情況的量（一般而言,極差小,各個數據的波動也就小,它們的平均數對這組數據一般水平的代表性也就大；極差大,平均數的代表性也就小）,但只能反映數據的波動范圍,不能衡量每個數據的變化情況,而且受極端值的影響較大（當個別極端值遠離其它數據時,極差往往不能充分反映全體數據的實際離散程度）。方差的概念:各個數據與平均數的差的平方的平均數。方差越小，波動越小；方差越大，波動越大。公式:s2=11X一X）2+（X一X）2+...+（X一X）2n12n標準差：就是方差的算術平方根-XXS2S2規律：有兩組數據，設其平均數當第二組每個數據比第一組每個數據增加m個單位時，則有X牙+mS2=S當第二組每個數據比第一組每個數據增加m個單位時，則有X牙+mS2=S22121當第二組每個數據是的第一組每個數據n倍時，則有X=nX，S2=nS22121當第二組每個數據是的第一組每個數據n倍加m時，則有X=]X+m，s2=n2s22121第五章二次根式、二次根式概念:形如＜a（a20）這樣的式子叫做二次根式（a、拓也是二次根式）。其中a可以是數,也可是單項式和多項式。求二次根式中字母的取值范圍的基本依據：①被開方數不小于零；②分母中有字母時，要保證分母不為零。二、二次根式的性質基本性質一：（、:G）2=a（a20）基本性質二：.Ja2a積的性質：爲Tfa?歷（a20,b20）商的性質：0=衛（a20,b〉O）b注：①一般地，二次根式化簡的結果中分母中不含根號，而且根號內的數就是一個自然數，且自然數的因數中，不含有除1以外的自然數的平方數，②被開方數為帶分數時，還要先化為假分數再利用性質化簡。三、二次根式的加減法最簡二次根式的兩個條件：（1）被開方數不含分母（即因數是整數，因式是整式）；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式（與二次根式的系數無關）。二次根式的加減:（在二次根式加減或其它運算時，把根號前的乘數看作它的系數）合并同類二次根式一化為最簡二次根式；系數相加減；二次根式不變。與合并同類項類似,把同類二次根式的系數相加減,作為結果的系數,根號及根號內部都不變四、二次根式的乘除法算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根込?爲=湎（a$0,b20）兩個二次根式相除，等于把被開方數相除，作為商的被開方數斗￡（a20,b>0）注意:如果被開方數是帶分數，應先化成假分數。第六章證明（二）一、全等三角形（具體性質和判定見初一知識點）根據書寫規范,按照對應頂點找對應邊或對角。公共角、對頂角必為對應角；公共邊必為對邊。對應角的對邊為對應邊；對應邊的對角為對應角。在兩個全等三角形中,最長邊對最長邊；最小邊對最小邊；最大角對最大角；最小角對最小角。二、等腰三角形等腰三角形的性質定理:等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊由推論得:等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高互相重合（三線合一）推論2:等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°三、直角三角形性質:直角三角形的兩個銳角互余。反過來,有兩個角互余的三角形是直角三角形。等腰直角三角形:兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（具有等腰三角形和直角三角形的所有性質）。等腰直角三角形的兩個銳角都是45°性質定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半四、線段的垂直平分線定義:垂直且平分一條線段的直線是這條線段的垂直平分線（中垂線）結論1：如果兩點A、B關于直線CD對稱,則直線CD是線段AB的垂直平分線；結論2:如果CD是線段AB的垂直平分線，則點A、B關于直線CD對稱。線段垂直平分線的性質定理:線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等線段垂直平分線的判定（性質定理逆定理）:到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點并且這點到三頂點的距離相等五、角平分線角平分線性質定理:角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等逆定理:在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上第七章一元二次方程一、一元二次方程定義:方程的兩邊都是整式,只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2次,我們把這樣的方程叫做一元二次方程。（條件:①方程兩邊都是整式②只含有一個未知數③未知數的最高次數是2次）一般形式:ax2+bx+c=0（a,b,c為常數且a#0）。一般地,任何一個關于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式。其中ax2,bx,c分別稱為二次項，一次項，常數項,a、b分別稱為二次項系數，一次項系數。（b和c可以為0,但a不能為0,因為一元二次方程必須有二次項，一次項和常數項沒有的時候就是b和c為0的情況）注意:二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都是包括符號的。一元二次方程的解:使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解（或根）。二、判別式：人=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）根的情況：⑴當A>0時,方程有兩個不相等的實數根；（2）當A=0時,方程有兩個相等的實數根；⑶當AV0時,方程無實數根。根據根的情況，也可以逆推出A的情況,這方面的知識主要用來求取值范圍等問題。三、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）一元二次方程的求根公式:一元二次方程根與系數的關系:若方程ax2+bx+c=0（a#0）的兩根分別為x、x,則x+x二一b/a,xx=c/a121212補充規律:兩根均為負的條件:X+xV0,xx>01212兩根均為正的條件:x+x>0,xx>01212兩根一正負的條件:xxV012當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件:b2-4ac$0三、一元二次方程的解法直接開平方法配方法:通過配方,將方程的左邊化成一個含未知數的完全平方式,右邊是一個非負常數，運用直接開平方求出方程的解的方法，即轉化成(x+b)2二a(a$0)的形式,再利用開平方步驟:把方程化成一元二次方程的一般形式；把二次項系數化為1(方程兩邊都除以二次項系數)；把含有未知數的項放在方程的左邊，不含未知數的項放在方程的右邊；(4)方程的兩邊同加上一次項系數一半的平方(這是關鍵)；方程的左邊化成完全平方的形式，方程的右邊化成非負數利用直接開平方的方法去解。如果整理后左邊是完全平方式，如果右邊是個負數，則指出原方程無實根。3.公式法步驟:把方程化成一元二次方程的一般形式；寫出方程各項的系數；(3)計算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值與0的關系，若b2-4ac〈0,則此方程沒有實數根；⑷當b2-4ac$0時，代入求根公式計算出方程的值。注意:用公式法解一元二次方程的前提是:必須是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(aH0)；b2-4ac$0。因式分解法當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，可用分解因式法來解AB=0〈=〉A=0或B=0(A、B表示兩個因式)步驟:移項，使方程的右邊為0(用該方法方程右邊一定要為0)；利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法對左邊進行因式分解；令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。簡記歌訣:右化零，左分解；兩因式，各求解四、一元一次方程的應用能利用一元二次方程解決有關實際問題，并根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性；求增長率，利潤最大化問題。第八章證明(三)一、平行四邊形(具體見初二知識點)兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的性質：對邊平行、對邊相等、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分二、特殊的平行四邊形矩形:四個角相等；對邊平行且相等；對角線互相平分且相等菱形:對角相等；對邊平行,四條邊都相等；對角線互相垂直平分正方形:四個角都相等；對邊平行,四條邊都相等；對角線互相垂直平分且相等三、等腰梯形定義:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形是軸對稱圖形,經過兩底中點的直線是它的對稱軸梯形的性質定理等腰梯形的同一條底邊上的兩個內角相等等腰梯形的兩條對角線相等梯形的判定定理同一條底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形兩條對角線相等的梯形是等腰梯形四、中位線定理平行線等分線段定理及其推論(1)定理:若一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等(2)推論1:經過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線,必平分另一腰推論2:經過三角形一邊的中點且與另一邊平行的直線必平分第三邊三角形中位線定理(1)定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。一個三角形有三條中位線(2)三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半規律:順次連接三角形各邊中點所得的三角形周長是原三角形周長的一半，即如果三邊的長分別為a、b、c,那么順次連接各邊中點所得的三角形周長是l/2(a+b+c)順次連接三角形各邊中點所得的三角形面積是原三角形面積的1/4梯形中位線定理定義:連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。梯形中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,且等于兩底和的一半梯形面積公式:S=1/2(a+b)h=m?h(a、b為上、下底,m為中位線,h為高)第九章反比例函數一、反比例函數1.定義:一般地，形如y=k/x(k為常數,kH0)的函數叫做反比例函數，其中x是自變量，是x