第3章水文統計的基本原理與方法3.1概述3.2概率與頻率的基本概念3.3隨機變量及其概率分布3.4統計參數3.5水文頻率曲線線型3.6抽樣誤差3.7水文頻率計算適線法3.8相關分析1第3章水文統計的基本原理與方法3.1概述1水文現象的統計規律水文現象是一種自然現象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。偶然現象也稱隨機現象；偶然現象仍然是有規律的，一般稱為統計規律。水文統計及其任務數學中研究隨機現象統計規律的學科稱為概率論,而由隨機現象的一部分試驗資料去研究總體現象的數字特征和規律的學科稱為數理統計學。概率論與數理統計學應用到水文分析與計算上則稱為水文統計。

水文統計的任務就是研究和分析水文隨機現象的統計變化特性。并以此為基礎對水文現象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定量預估，以滿足工程規劃、設計、施工以及運營期間的需要。3.1概述2水文現象的統計規律3.1概述2一、概率的基本概念與定理

（1)事件:是指隨機試驗的結果。事件有兩種屬性：

數量性質：直接測量的量或計算的量，如年降雨量，年徑流量...

屬性性質:

直接觀測到的現象，如天氣的雨天和晴天，錢幣的正面和背面...3.2概率與頻率的基本概念3一、概率的基本概念與定理3.2概率與頻率的基本概念3A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件事件可以分為三種類型：（2)概率

為了比較某隨機事件出現（或不出現)的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數量表示)指標，這個數量指標就是事件的概率。（）4A.必然事件事件可以分為三種類型：（2)概率（）4

式中，P(A)：一定條件下隨機事件A的概率；

n：試驗中所有可能的出現的結果數；

m：出現隨機事件A的結果數。簡單的隨機事件的概率定義用下式表示：隨機試驗是指所有試驗的可能結果都是等可能的，而且試驗的可能結果的總數是有限的。但水文事件不一定符合這種性質。5式中，P(A)：一定條件下隨機事件A的概率；簡單的隨機對于不是古典概型事件，只能通過多次重復試驗來估計事件的概率。

設事件A在n次隨機試驗中出現了m次，則稱：（3）頻率為事件A在n次試驗中出現的頻率。注意：n

不是所有可能的結果總數，僅是隨機試驗的次數。6對于不是古典概型事件，只能通過多次重復試驗來估計事件二、頻率和概率的區別和聯系區別：概率是抽象數．是個理論值；頻率是具體數，是個經驗值。聯系：頻率隨實驗次數的增多而逐漸穩定．并趨近于概率。實驗者擲硬幣次數正面出現的次數正面出現的頻率蒲豐（Buffon)404020480.5069皮爾遜（K.Pearson)1200060190.5016皮爾遜（K.Pearson）24000120140.5005頻率越接近概率0.5表6-1擲幣實驗出現正面的頻率7二、頻率和概率的區別和聯系實驗者擲硬幣次數正面出現的次數正面兩事件和的概率：兩個互斥事件A、B出現的概率P（A+B）=P（A）+P（B）條件概率P（B|A）：在事件A發生的條件下發生事件B的概率。兩事件積的概率：兩事件同時出現的概率：P（AB）=P（A）×P（B|A）P（AB）=P（B）×P（A|B）P（A）≠0，P（B）≠0若A、B相互獨立。即事件的發生互不影響，則P（B|A）=P（B），P（AB）=P（A）P（B）

三、概率加法定理和乘法定理8兩事件和的概率：兩個互斥事件A、B出現的概率三、概率加法定用以表示隨機試驗結果的一個數量(事先是未知的)，由于它事先不能確定，是隨機的，稱為隨機變量。水文現象中的隨機變量，一般指某個水文特征值(如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等)。3.3隨機變量及其概率分布9用以表示隨機試驗結果的一個數量(事先是未知的)，由于它

總體

在統計數學中，把某種隨機變量所取數值的全體，稱為總體。如年徑流量的總體數是無窮的。（1）統計學中幾個概念：樣本

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項數，稱為樣本容量。如實測的水文資料是有限的，是一樣本。10總體（1）統計學中幾個概念：樣本10

它是指隨機試驗結果的一個數量。在水文學中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般稱之為隨機系列或隨機數列。（2）隨機變量的表示11它是指隨機試驗結果的一個數量。在水文學中，常用大寫字離散型隨機變量

隨機變量僅取得區間內某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機變量。如洪峰次數，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數值之間的任何值。（3）隨機變量的分類連續型隨機變量

隨機變量可以取得一個有限區間內的任何數值，則稱為連續型隨機變量。如某河流斷面的流量可以取0~極限值之間的任何實數值。12離散型隨機變量（3）隨機變量的分類連續型隨機變量12對于離散型隨機變量：

隨機變量的取某一可能值的機會有的大有的小，即隨機變量取值都有一定的概率與之相對應，可表示為：（4）隨機變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機變量X

取值x1,x2,…xn

所對應的概率。13對于離散型隨機變量：（4）隨機變量的概率分布

x1x2x3x4……xn一般將這種對應關系稱作隨機變量的概率分布規律，簡稱為分布律。可以用以下的分布圖形表示：XP離散型隨機變量概率分布圖14x1x2x3x4…由于它的所有可能取值有無限個，而取個別值的概率為零，故無法研究個別值的概率。水文學上習慣研究隨機變量的取值等于或大于某個值的概率，表示為：它是x的函數，稱作隨機變量X的分布函數，記作F(x),即

F(x)=P(Xx)表示隨機變量X大于或等于值x的概率，其幾何曲線稱作隨機變量的概率分布曲線（水文學上通常稱累計頻率曲線，簡稱頻率曲線）。對于連續型隨機變量：15由于它的所有可能取值有無限個，而取個別值的概率為零，故由圖中可知，X=900，相應的P(Xx)=0.15，說明大于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)16由圖中可知，X=900，相應的P(Xx)=0.1P(Xx)=P(X>x+x)+P(x+x>Xx)

P(x+x>Xx)=P(Xx)-P(X>x+x)=F(x)-F(x+x)

(1)由概率的加法定理：則，降雨量落在900和500mm的可能性為:60%-15%=45%

x

x+

x

PXP(Xx)P(X>x+x)隨機變量X落在(x，x+x)

的概率可用下式表示:17P(Xx)=P(X>x+x)+平均概率密度：

隨機變量落在區間(x,x+x)的概率與該區間長度的比值稱作隨機變量落在區間(x,x+x)平均概率。（5）概率密度函數:18平均概率密度：隨機變量落在區間(x,x+x)的概稱f(x)為概率密度函數，簡稱密度函數。而密度函數的幾何曲線稱作密度曲線。當x

0，取極限得：19稱f(x)為概率密度函數，簡稱密度函數。當x0f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx20f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx20通過密度函數f(x)可求出隨機變量X落在(x~x+dx)區間即dx上的概率=f(x)dx，稱之為概率元素，即為圖中的陰影面積；通過密度函數f(x)可求出隨機變量X概率分布函數F(x)，其與密度函數f(x)有如下的數學關系:21通過密度函數f(x)可求出隨機變量X落在(x~x+dx

F(x)

分布函數，反映隨機變量X超過某個值x的概率。這兩個函數能完整地描述隨機變量的分布規律。

f(x)

密度函數，反映隨機變量X落入dx區間的平均概率；可見，隨機變量的二個函數：

22F(x)分布函數，反映隨機變量X超過某個值x的3.4隨機變量統計參數

能說明隨機變量統計規律的某些特征數值，稱為統計參數，或特征參數，有時為分布參數。位置特征參數均值（平均數）眾值（眾數）中值（中位數）離散程度特征參數均方差變差系數Cv對稱程度特征參數偏態系數Cs233.4隨機變量統計參數能說明隨機變量統計規律的某些（1）平均數/數學期望離散型隨機變量的平均數是以概率為權重的加權平均值。若各隨機變量很少重復出現，可不考慮出現次數的影響，可用算數平均法求平均值一、反映位置特征參數

對于離散型隨機變量：24（1）平均數/數學期望離散型隨機變量的平均數

式中，a、b分別為隨機變量X取值的上下限。

數學期望或平均數代表整個隨機變量的總水平的高低，它為分布的中心。對于連續的隨機變量：25式中，a、b分別為隨機變量X取值的上下限。

表示概率密度分布峰點所對應的數。對于離散型隨機變量：

M0(x)

是使概率P(=xi)等于最大時所相應的xi值。M0(x)=xiPi-1PiPi+1

Px離散型隨機變量的眾數(2)眾數，記為M0(x)26表示概率密度分布峰點所對應的數。M0(x)=M0(x)是概率密度函數f(x)等于最大時所對應的xi值M0(x)f(x)x連續的隨機變量的眾數對于連續型隨機變量：27M0(x)是概率密度函數f(x)等于最大把概率密度分布分為二個相等部分的數。對于離散型的隨機變量：

將所有變量的可能取值按大小次序排列，位置居中的數字。(3)中位數，記為Me(x)28把概率密度分布分為二個相等部分的數。(3)對于連續的隨機變量中位數滿足：式中，a,b分別為隨機變量X取值的上下限Me(x)xf(x)1/21/2ab29對于連續的隨機變量式中，a,b分別為隨機變量X

該參數用以反映隨機變量分布離散程度(相對于隨機變量分布中心即平均值的差距)的指標，通常有以下幾種：二、反映離散特征參數

值愈大，分布愈分散；值愈小，分布愈集中。（1）標準差（均方差)

(Standarddeviation)122>1f(x)x標準差對密度函數的影響30該參數用以反映隨機變量分布離散程度(相對于隨例1：兩系列：甲---5，10，15；

乙---1，10，19。

比較其離散程度表明：乙系列的離散程度大于甲系列均值相同時，均方差可以反映其離散程度；但均值不同時，卻無法比較-----因此，引入離差系數（變差系數）31例1：兩系列：甲---5，10，15；

（2）變差系數（離差系數，離勢系數〕CV1CV2CV2>CV1f(x)x變差系數對密度函數的影響CV值愈大，分布愈分散；CV

值愈小，分布愈集中。對于均值不同的二個系列，用均方差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比來表示：32（2）變差系數（離差系數，離勢系數〕CV1CV2CV2>C表明：甲系列的離散程度大于乙系列例2：比較兩系列的離散程度：

甲---5，10，15；乙---995，1000，1005。33表明：甲系列的離散程度大于乙系列例2：比較兩系列的離散程度：f(x)x偏態系數對密度函數的影響Cs=0Cs>0Cs<0若不對稱：CS

>0,稱為正偏；CS

<0,稱為負偏。三、反映對稱特征的參數:

偏態系數（偏差系數)一般有經驗關系：34f(x)x偏態系數對密度函數的影響Cs=0Cs>0Cs<0若當Cs>0，密度曲線峰頂在均值的左邊，為左偏或正偏，概率分布曲線為向下凹曲線。當Cs<0，密度曲線峰頂在均值的右邊，為右偏或負偏，概率分布曲線為向上凸曲線。當Cs=0，密度曲線峰頂在均值處，為對稱分布或正態分布，概率分布曲線為一直線。35當Cs>0，密度曲線峰頂在均值的左邊，為左偏或正偏，概率分水文現象大多屬于正偏，Cs>0（PIII曲線）。當其他參數不變時，Cs值越大，則概率曲線的凹度越大，即兩端都在正態直線以上，中間部分向下。36水文現象大多屬于正偏，Cs>0（PIII曲線）。當其他參數3.5水文頻率曲線線型

水文頻率曲線是指水文分析計算中使用的分布曲線。可分為：經驗頻率曲線：習慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經驗頻率曲線，理論頻率曲線：而把由數學方程式所表示的頻率曲線稱為理論頻率曲線。水文中常用的理論概率頻率曲線正態分布極值分布型皮爾遜Ⅲ型分布型373.5水文頻率曲線線型水文頻率曲線是指水文分析計算中式中，：平均數；

：標準差。許多隨機變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態分布。一、正態分布隨機變量x的密度函數為38式中，：平均數；許多隨機變量如水f(x)

a.單峰，只有一個眾數；b.以均值為軸對稱,Cs=0；c.曲線二端趨于±∞，并以x軸為漸近線;d.正態分布曲線的特點：正態分布的均值和標準差

確定后，分布就唯一確定了。39f(x)a.單峰，只有一個眾數；正態分布曲線的特點：概率密度函數表達式：

二、皮爾遜Ⅲ型分布式中,（）~的伽瑪函數,,,a

0：三個參數，它們與三個統計參數有一定的關系，其表達式為：可見，當以上三個參數確定后，P-III型密度函數亦完全確定。40概率密度函數表達式： 二、皮爾遜Ⅲ型分布式中,（f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線41f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線a0M0(x)Me(x)x在水文計算中，一般要求出指定概率P所相應的隨機變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：

按上式計算相當復雜，故實用中，采用標準化變換：取標準變量(離均系數)，即代入上式，,

,a0以相應的和關系式表示，簡化后得：42在水文計算中，一般要求出指定概率P所相應0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)pCsP-III型曲線離均系數

P值表被積函數含有參數,Cs，而包含在

中，制成對應關系表：430.031.302.473.384.160.20.021.2因此，由給定的CS

及P，從P-III型曲線離均系數

值表，查出P，再由下式求： 即求出指定概率P所相應的隨機變量的取值xP44因此，由給定的CS及P，從P-III型曲線已知:某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,若年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量。【例】解：由CS=1.0及P=1%，查附表1得p=3.0245已知:某地年平均降雨量=1000mm,CV=引入模比系數：

另一種求解方法：由由此建立的對應數值關系[P-III型曲線模比系數KP

值表]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2

CV

，P=1%查附表2得:46引入模比系數：另一種求解方法：由由此建立的P-III型曲線模比系數KP值表（附表）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV。。。。。。（三）CS=6CV47P-III型曲線模比系數KP值表（附表）P(%)0.三、統計參數對皮爾遜III型頻率曲線的影響（1）均值對頻率曲線的影響Cv和Cs不變時，均值不同，頻率曲線不同48三、統計參數對皮爾遜III型頻率曲線的影響（1）均值（2）變差系數Cv對頻率曲線的影響Cs=1時，Cv增大，頻率曲線的偏離程度也隨之增大，曲線越來越陡49（2）變差系數Cv對頻率曲線的影響Cs=1時，Cv增大，頻率（3）Cs對頻率曲線的影響Cv=0.1，Cs增大，均值對應的頻率愈小，頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩。50（3）Cs對頻率曲線的影響Cv=0.1，Cs增大，均值對應的3.6抽樣誤差由隨機抽樣而引起的誤差，在統計學中稱為抽樣誤差。513.6抽樣誤差由隨機抽樣而引起的誤差，在統計學中稱為抽樣誤525253535454

水文隨機變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計總體參數。3.7隨機變量系列統計參數的估計估算方法有：

矩法；矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數之間的關系，來估計頻率曲線參數的一種方法。

適線法；………55水文隨機變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情現行水文頻率計算方法～配線法(適線法)是以經驗頻率點據為基礎，在一定的適線準則下，求解與經驗點據擬合最優的頻率曲線參數，這是一種較好的參數估計方法，是我國估計洪水頻率曲線統計參數的主要方法。56現行水文頻率計算方法～配線法(適線法)是以經有關的概念介紹：（1)經驗頻率及經驗頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經驗頻率；m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現大于或等于某一值x的次數。57有關的概念介紹：（1)經驗頻率及經驗頻率曲線：【例】已知某經驗頻率計算表：n=1258經驗頻率計算表：n=1258其反映年降雨量(Xx)的經驗頻率P(Xx)和x的關系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經驗分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經驗分布曲線:P(Xx)x59其反映年降雨量(Xx)的經驗頻率P(Xx)和x的注意：樣本的每一項的經驗頻率用公式P=m/n進行計算，當m=n時，P=100%，說明樣本的最末項為總體的最小值，這是不合理的。故必須進行修正，中國常采用下面的公式進行計算：經驗頻率的計算公式：這樣，當m=n=12

時，該公式在水文計算中通常稱為期望公式60注意：樣本的每一項的經驗頻率用公式P=m/n進行計算，當m=

所謂的重現期是指某一隨機事件在很長時期內平均多長時間出現一次（水文學中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗中，某一隨機事件重復出現的時間間隔的平均數，即平均的重現間隔期。在水文分析中，重現期可以等效地替代頻率。（2)重現期61所謂的重現期是指某一隨機事件在很長時期內平頻率P與重現期T關系的兩種表示法：62頻率P與重現期T關系的兩種表示法：62具體求解步驟：a

根據實測樣本資料進行點繪[縱坐標為隨機變量X=x，橫坐標為對應的經驗頻率P(Xx)]，經驗頻率計算公式為：b

假定一組參數

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數，可選K＝1.5,2,2.5,3...（3)適線法（配線法）的步驟已知：經驗頻率分布，求：總體分布參數63具體求解步驟：b假定一組參數，可選用矩d根據選定的參數，由P-III型曲線離均系數值(附表)或P-III型曲線模比系數KP值表(附表)，求出xP~P

的頻率曲線，將其繪在有經驗點據的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關的參數(主要調整CV及K=CS/CV)，重復以上的步驟，重新配線；c選定線型，對于水文的隨機變量，一般選P-III型;e根據配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應的參數作為總體參數的估值。64d根據選定的參數，由PxP適線法的實質是通過樣本經驗分布來推求總體分布，適線法的關鍵在于“最佳配合”的判別。經驗點據理論頻率曲線為避免修改參數的盲目性，要了解參數對頻率曲線形狀的影響：65PxP適線法的實質是通過樣本經驗分布來推求總體分布，適線xPPPxPPxP66xPPPxPPxP66皮爾遜Ⅲ型頻率曲線計算表(例3.1）頻率12.751.83121951.801.541025101.331.40933200.801.2482650-0.100.9764675-0.720.7852090-1.200.6442695-1.450.5637399-1.880.4429367皮爾遜Ⅲ型頻率曲線計算表(例3.1）頻率12.751.831一、相關分析的意義

（1）相關關系的意義與應用

水文現象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯系，則分析研究二個或二個以上隨機變量之間的關系，稱作相關關系。

水文計算中，相關分析可以用來延長和插補短系列。如某一水文要素的實測資料系列很短，而與其相關的另一要素的資料卻比較長，這樣我們就可以通過相關分析來把短系列延長。水文預報中也經常采用相關分析的方法。3.8相關分析68一、相關分析的意義3.8相關分析68

如果兩個變量x,y，其中變量x的每一個值，變量y都有一個或多個確定值與之對應，而且x,y成函數關系，即x,y的關系點完全落在直線或曲線上，則稱這二個變量是完全相關的。完全相關yx完全相關（函數關系〕直線關系曲線關系（2）相關的種類：二個隨機變量之間的關系按密切關系程度有以下三種情況69如果兩個變量x,y，其中變量x的每一個值零相關YXb.零相關(沒有關系)如果兩個變量x,y之間互不影響互不相關，則稱這二個變量沒有關系或零相關。即x,y的關系點毫無規律，十分分散。70零相關YXb.零相關(沒有關系)如果兩個如果兩個變量x,y之間關系介于以上二者之間，x,y的關系點雖有點分散，但有明顯的趨勢，數學上可以用一定的表達式進行擬合。則稱這二個變量關系為:

統計相關或相關關系。c.統計相關（相關關系〕yx統計相關71如果兩個變量x,y之間關系介于以上二者之間a.確定二個變量間相關關系的數學表達式,以相關方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；b.判斷二個變量間相關關系的密切程度,用一稱為相關系數的參數來表示。（3）水文計算中的相關分析的主要任務72a.確定二個變量間相關關系的數學表達式,水文計算中，一般處理兩個變量間的相關關系，稱簡相關，有時也要處理三個或三個以上變量關系，稱為復相關。簡相關可分為直線相關和曲線相關。曲線相關直線相關二、相關分析法相關分析法可分為圖解法和回歸分析法。73水文計算中，一般處理兩個變量間的相關關系，稱根據實測值，將對應點繪于方格紙上，如果點群分布平均趨勢為一直線，則可以直線來近似代表這種相關關系。通過點群中心目估繪出一條直線，然后在圖上量出直線的斜率a和截距b，則直線方程:

y=a+bx即為所求的相關方程。該方法簡便實用，而且一般情況下精度可以保證。（1）圖解法74根據實測值，將對應點繪于方格紙上，如果點群分布平均趨（2）相關分析法——回歸分析法若相關點分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用分析法來確定相關線的方程。設該直線方程形式為：

y=a+bx式中，x：自變量y：倚變量a,b：分別為一常數，待定。則相關點與直線在縱軸方向必然存在離差。75（2）相關分析法——回歸分析法若相關點分布較散，目估配合曲線與觀測點在縱軸方向的離差為：xiy76配合曲線與觀測點在縱軸方向的離差為：xiy76要求配合曲線與所有的觀測點能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測點的離差y的平方和為最小，即：分別對a,b求一階偏導數，并令其為零：77要求配合曲線與所有的觀測點能“最佳”擬合，即求解上列兩聯立方程式，可得:78求解上列兩聯立方程式，可得:78式中，：分別為x,y系列的均方差/標準差; ：分別為x,y系列的平均值; ：x,y系列的變差系數(按不偏估計公式計算):

：相關系數;Kxi，Kyi：分別為xi,yi系列的模比系數:79式中，：分別為x,y系列的均方為回歸線的斜率，稱y為x倚的回歸系數式即為y倚x的回歸方程，其曲線稱為(僅是對點據擬合最佳一條線)，亦可表示為：將

，

代入y=a+bx中得：80為回歸線的斜率，稱y為x倚的回歸系數式即為y倚x三、回歸線的誤差回歸線只能反映兩變量間的平均關系，由于x,y并非確定性關系，對于x=x0，無法知道其相應的真正值y0，利用回歸線來插補展延短期系列時，總有一定誤差。通過回歸方程求到：僅僅是真正值y0的一個估計值。故其與真正值y0存在偏差。根據統計學的研究，由于隨機因素的影響，y0在估計值上下波動呈正態分布，為了衡量回歸線與觀測點之間的誤差，采用均方誤，其均方誤差可用公式表示。81三、回歸線的誤差回歸線只能反映兩變量間的平均關系式中，Sy：y倚x回歸線的均方誤;

yi

：觀測點的縱坐標值;y：由回歸方程求到的縱坐標值；n：觀測項的數目

y倚x回歸線的均方誤估算公式：如前所述，可以用均方誤進行誤差分析，即對于任一固定的x=x0值，若以作為y的估值，其誤差不超過Sy的可能性為68.3%;其誤差不超過3Sy的可能性為99.7%。82式中，Sy：y倚x回歸線的均方誤; y倚x回歸線的均方誤另外，可以證明回歸線的均方誤與系列標準差及相關系數

有以下關系：式中，為y系列的標準差(無偏估計量)根據均方誤公式，也可以用

2來判斷相關程度:

若

2=1，Sy=0，則y=yi

，屬函數關系;

若

2=0，Sy=y，誤差最大，屬零相關;

若0<

2<1,為統計相關,

2

1,x,y關系愈密切。可知，均方誤Sy值愈大，則回歸方程的誤差愈大。83另外，可以證明回歸線的均方誤與系列標準差及相相關系數的均方誤可用下式來估算：式中，為相關系數；n為觀測項數。

相關系數是根據有限的實測資料(樣本)計算出來的，故相關系數也不免帶有抽樣誤差

故水文上為了推斷二個變量的相關性，必須對樣本相關系數作統計檢驗。四、相關系數顯著水平84相關系數的均方誤可用下式來估算：式中，為相關系數；相關系數的統計檢驗