立體幾何易錯(cuò)大匯聚【高考動(dòng)向】立體幾何考試題是體現(xiàn)高考“穩(wěn)中求變”罪貼切的一部分，重點(diǎn)考查“直線與平面性質(zhì)”是穩(wěn)的一方面，變的方面主要體現(xiàn)在：在填空題方面，陸續(xù)出現(xiàn)了多選、多填的形式，改變了填空題形式單一的弊端，拓寬了填空題的考查功能。近幾年高考題中又出現(xiàn)了開(kāi)放性的填空題，重點(diǎn)考查探索、分析和解決問(wèn)題的能力，解答題由單純的直線與平面的證明題的變?yōu)橐远嗝骟w為載體的多角度考查的試題，表現(xiàn)為計(jì)算中有證明、證明中有計(jì)算的新特點(diǎn)。高考中立體幾何試題側(cè)重于對(duì)線線、線面、面面等各種位置關(guān)系的考查，一般以特殊的多面體為載體，將點(diǎn)、線、面融合在一起，考查內(nèi)部位置關(guān)系，計(jì)算各種角、距離、面積、體積等。解答題中以小步設(shè)問(wèn)的方式，各問(wèn)之間既獨(dú)立成題，又有相互聯(lián)系；既有平行與垂直等位置關(guān)系的證明，又有角、距離、體積等的計(jì)算，突出對(duì)空間概念、空間想象能力和邏輯思維、邏輯表達(dá)能力的考查，對(duì)于線線、線面、面面的各種位置關(guān)系，平行與垂直是特殊的兩種，它們之間的推理與論證是高考的重點(diǎn)。近年來(lái)高考題常立足于棱柱、棱錐、正方體及長(zhǎng)方體，對(duì)于給定的一個(gè)特殊幾何體，利用隱含的點(diǎn)、線、面的關(guān)系建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，借助空間向量把抽象推理向計(jì)算型推理轉(zhuǎn)變。【知識(shí)死角】一、概念理解錯(cuò)誤解立體幾何問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)一些對(duì)基本概念或公式及定理的考查。如對(duì)各種空間角、空間距離的考查，對(duì)各種多面體的定義及性質(zhì)的考查，對(duì)幾何體體積的考查等，因此在解題過(guò)程中，概念或范圍不清、公式錯(cuò)用是常見(jiàn)的解題失誤。例1、已知二面角a—l一卩的大小為600,m,n為異面直線，且m丄a,n丄卩，則m,n所成的角【】A、300B、600C、900D、1200錯(cuò)解：如圖，設(shè)m丄a于A,過(guò)m的點(diǎn)P引n的平行線交0于B,設(shè)平面PAB與l交于O點(diǎn)，連結(jié)AO、BO,由m丄a,n丄卩可知面l丄面PAB,所以l丄AO,l丄BO，所以ZAOB是二面角的平面角，所以ZAOB=60。，可得ZAPB=120。，則m,n所成的角為1200，故選D.剖析：錯(cuò)解中很明顯沒(méi)有弄清異面直線所成的角的范圍。正解：如錯(cuò)解，又異面直線所成的角小于等于900，所以0=600，故選B.兀r點(diǎn)評(píng)：同學(xué)們要注意異面直線所成角的范圍是（0,-］，求解異面直線所成的角的時(shí)候很容易忘記該范圍而犯錯(cuò)誤。111111候很容易忘記該范圍而犯錯(cuò)誤。111111bc^2在RtABCC中，BC二1,CC=<■!ntanZBCC==，所以B^與側(cè)面ACCASi1iCC21111J2所成的角是arctan于.剖析：顯然該題沒(méi)有對(duì)BC在側(cè)面ACCA內(nèi)的射影展開(kāi)敘述，線面角是平面的斜線111與其在平面內(nèi)的射影的夾角，頂點(diǎn)B在側(cè)面ACCA的射影應(yīng)該是▲ABC中BC邊的垂線。11正解：在RtABCC中，BC二1,CC二v'2nBC二呂，由于三棱柱ABC-ABC111111為正棱柱，底面ABC與側(cè)面垂直，所以正三角形ABC中AC邊的高即為B到側(cè)面ACCA11,'31的距離，點(diǎn)B到平面ACCA的距離為三-，所以sin0=亍0=300.1122點(diǎn)評(píng)：處理夾角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)完全回扣定義，不能憑主觀感受、主觀認(rèn)識(shí)來(lái)處理問(wèn)題，通常情況下角需要重新構(gòu)造，借助題設(shè)條件作出輔助線最終得到要求的角。二、平面與空間性質(zhì)混淆在立體幾何證明中盲目類(lèi)比平面幾何定理，而立體幾何問(wèn)題只有在化歸為平面幾何問(wèn)題后才能直接使用平面幾何知識(shí)解題。例3、如圖，在正方體ABCD-ABCD中，P是側(cè)面BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直111111線BC與直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是【】11A、直線B、圓C、雙曲線D、拋物線錯(cuò)解：因?yàn)榈浇莾蛇叺木嚯x相等的點(diǎn)的軌跡是直線，所以到直線BC與直線CD的距11

離相等的點(diǎn)的軌跡是直線，選A.剖析：上述錯(cuò)誤沒(méi)有合理轉(zhuǎn)化空間距離到平面內(nèi)。正解：因?yàn)樵谡襟w中CD丄面BBCC，所以PC即為P點(diǎn)到CD1111111的距離，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為側(cè)面BBCC內(nèi)P到C點(diǎn)的距離與到直線BC111的距離相等，則由解析幾何知識(shí)知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線。點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化思想是處理空間軌跡問(wèn)題的主要手段，我們?cè)谔幚磉@類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往需要將空間問(wèn)題向平面內(nèi)轉(zhuǎn)化。三、審題不周全產(chǎn)生錯(cuò)誤由于對(duì)題目限定條件沒(méi)有深挖，就不能充分利用已知得到正確結(jié)論，可能缺少分類(lèi)討論或錯(cuò)用已知條件產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4、多面體上位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱(chēng)為相鄰的。如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面A內(nèi)，其余頂點(diǎn)在A的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到d的距離分別為1，2,和4,P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面d的距離可能是【】2）4（3）5（4）6（5）7以上結(jié)論正確的為（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）錯(cuò)解：由圖觀察可得C點(diǎn)到平面d的距離與D點(diǎn)相等，B,C,D到平面d的距離大111于4，故選（2）（3）（4）（5）.剖析：對(duì)題目中的正方體沒(méi)有適當(dāng)引申，沒(méi)有抓住問(wèn)題的切入點(diǎn)解題，只是由圖猜想正解：如圖，因?yàn)檎襟w的各側(cè)面都是正方形，所以各面的對(duì)角線互相平分。因?yàn)锽,DA1到平面d的距離分別為1，2,4,則DA】的中點(diǎn)到平面d的距離為3,所以D到平面d的距離為6；B,A的中點(diǎn)到平面d的距離為1123所以B到平面d的距離為5；則D，B的中點(diǎn)到平面d的距離為三,12一7所以C到平面d的距離為3；C,A的中點(diǎn)到平面d的距離為只,12所以B到平面d的距離為7；而P為C,B,C,D中的一點(diǎn)，1111所以選（1）（3）（4）（5）.點(diǎn)評(píng)：本題在求解時(shí)要把條件適當(dāng)引申，之后利用對(duì)角線互相平分來(lái)解題。四、不求甚解，落入命題者的圈套立體幾何中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系復(fù)雜，若對(duì)定理、性質(zhì)理解不透，或解題按照固定的思維模式去解決，往往掉入命題者的圈套。所以在解決問(wèn)題時(shí)一定要思考全面，仔細(xì)推敲例5、已知平面d外不共線的三點(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，則正確的結(jié)論是（）A、平面ABC必平行于dB、平面ABC必與d相交C、平面ABC必不垂直于dD、存在▲ABC的一條中位線平行于d或在d內(nèi)錯(cuò)解：因?yàn)槿c(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，所以平面ABC必平行于d,故選A.剖析：上述解法考慮不全面，只考慮了三點(diǎn)在平面同側(cè)的情況。正解：平面d外不共線的三點(diǎn)A、B、C到d的距離都相等，則可能三點(diǎn)在d的同側(cè)，即平面ABC平行于d；也可能一個(gè)點(diǎn)A在平面一側(cè)，另兩點(diǎn)B、C在平面另一側(cè)，側(cè)存在

一條中位線DE//BC,DE在a內(nèi)，故選D.例6、如圖，四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC丄底面ABCD,已知ZABC=45o,AB二2,BC二2^2,SA=SB=<3，（1）證明：SA丄BC；2）求直線SD與平面SAB所成角的大小。錯(cuò)解：（1）略（2）過(guò)D作DO垂直于AB于O,連結(jié)SO,因?yàn)镾AB丄底面ABCD,所以DO丄底面SAB，則ZDSO為直線SD與平面SAB所成角，由已知ZABC二45o,AB二2,BC二2「2，所以DO=2，故SA丄AD,由所以sin皿=D0=營(yíng),所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin2-JH11AD=BC=22,SA=\：3AO—\所以sin皿=D0=營(yíng),所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin2-JH11剖析：求解線面角通常要作出線面垂直關(guān)系來(lái)確定射影，錯(cuò)解正是因?yàn)榇嬖诰€面角一定要確定射影的思維定勢(shì)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解：（1）如圖，作SO丄BC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC丄底面ABCD,得SO丄底面ABCD,因?yàn)镾A=SB，所以AO=BO,又ZABC—450，故▲AOB為等腰直角三角形且AO丄BO,貝ySA丄BC.B（2）由（1）知SA丄BC,依題設(shè)AD//BC，故SA丄AD,由AD—BC—2、2,SA—、3,AO=\2，得SO=1,SD=、11,B所以ASAB的面積為S1所以ASAB的面積為S1=12AB?、:SA2—（2AB）2=2，連結(jié)DB,得ADAB的面積S—1AB?ADsin135o—2.設(shè)D到平面SAB的距離為h,22由V—V，得］h?S—SO?S，解得h=x2.D-SABS-ABD3132設(shè)SD與平面SAB所成角為a，則設(shè)SD與平面SAB所成角為a，則sina—hSD2VT1<227T所以直線SD與平面SAB所成角的大小為arcsin<22"IT點(diǎn)評(píng)：解得第（2）問(wèn)時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)都考慮去找SD在面SAB上的射影，之后就會(huì)發(fā)現(xiàn)垂線無(wú)法作，射影找不到，這是命題者所設(shè)置的陷阱，這時(shí)候，思維全面的同學(xué)，就會(huì)尋找其他的途經(jīng)一一求點(diǎn)D到平面SAB的距離，即可求得線面角的正弦值。【總結(jié)方法】1、熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法直線、平面的位置關(guān)系，角與距離的計(jì)算問(wèn)題，側(cè)面積與表面積及體積的計(jì)算問(wèn)題組

合體問(wèn)題等均屬于基本問(wèn)題；等積變換（如改變頂點(diǎn)求體積），面積射影定理（限于選擇與填空中使用），割補(bǔ)思想、高維到低維的降維思想等都是立體幾何中常用的思想與方法，所有這些內(nèi)容都應(yīng)熟練掌握。2、加強(qiáng)邏輯推理能力的訓(xùn)練解答題中一般既有證明又有計(jì)算，可能是邊證邊算，也可能先證后算。解答題一般有2?3問(wèn)，難度逐步加深，因此平時(shí)練習(xí)時(shí)對(duì)于解答題的每一問(wèn)都要認(rèn)真作答，不要輕言放棄，書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意論證的嚴(yán)密性，證明時(shí)要規(guī)范，推理要有理有據(jù)，減少無(wú)謂失分，堅(jiān)決克服“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的毛病，另外，由于解答題一般都可以一題兩解（傳統(tǒng)方法與向量方法），而且向量方法對(duì)思維與推理要求相對(duì)較低，故考前應(yīng)加強(qiáng)這種兩解題型的訓(xùn)練，爭(zhēng)取做到考時(shí)應(yīng)用自如，得心應(yīng)手。【鞏固練習(xí)】1、如圖，三棱錐P—ABC的高PO=8,AC=BC=3,ZACB=30°,M、N分別在BC和PO上，且CM=x,PN=2CM，則下面四個(gè)圖象中大致描繪了三棱錐N—AMC的體積V與x變化關(guān)系（xW（0,3］）2010>0BC2010>0BC2、在正方體ABCD-ABCD中，E、F、G、H分別是棱CC、CD、DD、CD的中11111111點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件時(shí),有MN//平面B1BDD3、如圖（1）是一正方體的表面展開(kāi)圖，MN和PB是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將MN和PB畫(huà)出來(lái)，并就這個(gè)正方體解決下面問(wèn)題。（I）求證：MN〃平面PBD；（II）求證：AQ平面PBD；

答案與提示：1、AV=-SxNO=-x-ACxCMsin3Oox(8—2x)、N-AMC3▲AMC324x3xxx(8—2x)=2x-2x2=-2(x-2)2+2由解析式可知應(yīng)該選擇A2、Me線段FH.以D為原點(diǎn)，DA為x軸、DC為y軸、DD】為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則M(0，y，z)，又容易證明平面BBDD.的一個(gè)法向量是AC，111要使MN//平面BBDD.，應(yīng)有MN丄AC，即MN-AC=0，解得M(0,—,z)，因112此M點(diǎn)應(yīng)在線段FH上運(yùn)動(dòng)，即MeFH.3、MN和PB的位置如右圖示：?.?ND#MB且ND=MB???四邊形NDBM為平行四邊形???MN〃DB?.?NMg平面PDB,DBU平面PDBAMN〃平面PBD?QC